1. 对数伽马函数 (gammaln) 的斯特林公式

在数值分析和渐近分析中，处理大自变量的伽马函数通常使用对数形式 ln⁡Γ(z)\ln\Gamma(z) 的斯特林渐近展开（Stirling’s asymptotic series）。

当 ∣z∣→∞|z| \to \infty 且 ∣arg⁡(z)∣<π|\arg(z)| < \pi 时：

ln⁡Γ(z)∼(z−12)ln⁡z−z+12ln⁡(2π)+∑k=1∞B2k2k(2k−1)z2k−1\ln \Gamma(z) \sim \left( z - \frac{1}{2} \right) \ln z - z + \frac{1}{2} \ln(2\pi) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}

其中 B2kB_{2k} 为伯努利数。截断前几项的常用形式为：

ln⁡Γ(z)≈(z−12)ln⁡z−z+12ln⁡(2π)+112z−1360z3+O(z−5)\ln \Gamma(z) \approx \left( z - \frac{1}{2} \right) \ln z - z + \frac{1}{2} \ln(2\pi) + \frac{1}{12z} - \frac{1}{360z^3} + \mathcal{O}\left(z^{-5}\right)

2. 伽马函数比值的渐近展开

在计算高阶正交多项式时，常遇到 Γ(n+a)Γ(n+b)\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n+b)}。直接计算 Γ\Gamma 会导致浮点溢出（双精度下 n>171n>171 即溢出），大数 ln⁡Γ\ln\Gamma 直接相减则会导致灾难性取消（Catastrophic cancellation）。

Tricomi-Erdélyi 展开

由 Tricomi 和 Erdélyi 提出，直接描述了伽马函数比值的渐近行为：

Γ(z+a)Γ(z+b)∼za−b∑n=0∞cnz−n\frac{\Gamma(z+a)}{\Gamma(z+b)} \sim z^{a-b} \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^{-n}

展开到前两项的高阶近似形式为：

Γ(n+a)Γ(n+b)∼na−b[1+(a−b)(a+b−1)2n+O(n−2)]\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n+b)} \sim n^{a-b} \left[ 1 + \frac{(a-b)(a+b-1)}{2n} + \mathcal{O}\left(n^{-2}\right) \right]

数值计算策略

  • 中等规模 nn：利用语言内置函数 exp(gammaln(n+a) - gammaln(n+b))。
  • 超大规模 nn：必须使用上述 Tricomi-Erdélyi 渐近公式直接计算，避免精度丢失。

3. gammaln 差值的广义斯特林展开

如果直接处理对数差值 ln⁡Γ(z+a)−ln⁡Γ(z+b)\ln\Gamma(z+a) - \ln\Gamma(z+b)，可以利用带有伯努利多项式 Bn(x)B_n(x) 的广义斯特林展开。该公式结构严密，直接将渐近系数映射到伯努利多项式的差分上：

ln⁡Γ(z+a)−ln⁡Γ(z+b)∼(a−b)ln⁡z+∑k=1∞(−1)k+1(Bk+1(a)−Bk+1(b))k(k+1)zk\ln\Gamma(z+a) - \ln\Gamma(z+b) \sim (a-b)\ln z + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} (B_{k+1}(a) - B_{k+1}(b))}{k(k+1)z^k}

代入 k=1k=1 时的 B2(x)=x2−x+16B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}，可严格推导出现 O(z−1)\mathcal{O}(z^{-1}) 项的系数 (a−b)(a+b−1)2z\frac{(a-b)(a+b-1)}{2z}。

4. 伯努利多项式 (Bernoulli Polynomials) 简析

定义

通过母函数（Generating Function）定义为：

textet−1=∑n=0∞Bn(x)tnn!\frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}

前几项为：

  • B0(x)=1B_0(x) = 1
  • B1(x)=x−12B_1(x) = x - \frac{1}{2}
  • B2(x)=x2−x+16B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}

核心性质与意义

伯努利多项式是连接“离散数学”与“连续数学”的核心桥梁，其在伽马函数分析中频繁出现的原因包括：

  1. 差分算子的逆运算： 具备美妙的差分性质 Bn(x+1)−Bn(x)=nxn−1B_n(x+1) - B_n(x) = n x^{n-1}。因为 Γ\Gamma 函数的核心是差分递推 ln⁡Γ(z+1)−ln⁡Γ(z)=ln⁡z\ln\Gamma(z+1) - \ln\Gamma(z) = \ln z，伯努利多项式天然是解析这种离散差分方程的最优基底。
  2. 欧拉-麦克劳林求和公式 (Euler-Maclaurin Formula)： 用于将离散求和转化为连续积分。斯特林公式的严格推导正是利用该公式对 ln⁡k\ln k 求和，从而引入了伯努利项。
  3. 等幂求和闭式解： 用于推导自然数列等幂求和（Faulhaber 公式）。