数学笔记

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实变函数 04：Lebesgue 积分

从非负简单函数出发定义 Lebesgue 积分，整理可积函数的性质、Fatou 引理、单调与控制收敛定理、积分绝对连续性及 Tonelli–Fubini 定理。

系统整理可测函数的定义与等价判据、运算和极限封闭性、简单函数逼近、几乎处处收敛、依测度收敛以及 Egorov、Lusin 定理。

系统整理 Lebesgue 外测度、Carathéodory 可测性、Lebesgue 测度的可数可加性与连续性、零测集、正则性及不可测集。

系统整理集合的基数、可数与不可数集合、集合列的上下极限，以及欧氏空间中开集、闭集、紧集、完美集和 Borel 集等基础概念。

系统整理数列极限的定义与性质、无穷小量和无穷大量、单调收敛定理、Cauchy 准则、子列、上下极限及常用判定方法。

系统整理集合与映射、实数的序结构、绝对值、区间与邻域、上下界、确界原理以及实函数的基本性质。