Banach 空间只有范数和线性结构，Hilbert 空间还具有内积。内积不仅给出向量长度，还能描述夹角、正交性和投影，使无限维空间保留 Euclid 几何的核心结构。

这种几何结构带来一系列 Banach 空间中通常不存在的结论：

  • 每个闭子空间都有正交补；
  • 每个向量都能唯一分解为子空间分量与正交分量；
  • 到闭凸集和闭子空间的最佳逼近一定存在且唯一；
  • 对偶空间可以通过内积与原空间自然对应；
  • 自伴和正规算子可以发展正交谱理论。

本文约定标量域 K=R\mathbb K=\mathbb R 或 C\mathbb C。在复空间中，内积对第一个变量线性、对第二个变量共轭线性。

1. 内积空间

1.1 内积

定义（内积）
设 XX 是 K\mathbb K 上的线性空间。映射

⟨⋅,⋅⟩:X×X→K\langle\cdot,\cdot\rangle: X\times X\to\mathbb K

称为内积，如果对任意 x,y,z∈Xx,y,z\in X 和 α,β∈K\alpha,\beta\in\mathbb K 满足：

  1. 正定性

    ⟨x,x⟩≥0,⟨x,x⟩=0⟺x=0;\langle x,x\rangle\ge0, \qquad \langle x,x\rangle=0 \Longleftrightarrow x=0;

  2. 共轭对称性

    ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾;\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle};

  3. 第一变量线性

    ⟨αx+βy,z⟩=α⟨x,z⟩+β⟨y,z⟩.\langle\alpha x+\beta y,z\rangle = \alpha\langle x,z\rangle + \beta\langle y,z\rangle.

由共轭对称性，第二变量满足

⟨x,αy+βz⟩=α‾⟨x,y⟩+β‾⟨x,z⟩.\langle x,\alpha y+\beta z\rangle = \overline\alpha\langle x,y\rangle + \overline\beta\langle x,z\rangle.

二元组 (X,⟨⋅,⋅⟩)(X,\langle\cdot,\cdot\rangle) 称为内积空间。

1.2 实数情形

当 K=R\mathbb K=\mathbb R 时，共轭对称性退化为对称性：

⟨x,y⟩=⟨y,x⟩,\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle,

内积对两个变量分别线性。

2. Cauchy–Schwarz 不等式

2.1 定理

定理（Cauchy–Schwarz）

∣⟨x,y⟩∣≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩.|\langle x,y\rangle| \le \sqrt{\langle x,x\rangle} \sqrt{\langle y,y\rangle}.

等号成立当且仅当 x,yx,y 线性相关。

2.2 内积诱导范数

定义

∥x∥=⟨x,x⟩.\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.

Cauchy–Schwarz 不等式可以写成

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥.|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|.

由此可得三角不等式

∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥.\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|.

所以每个内积都诱导一个范数。

2.3 内积的连续性

由

∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤∥xn−x∥ ∥yn∥+∥x∥ ∥yn−y∥|\langle x_n,y_n\rangle-\langle x,y\rangle| \le \|x_n-x\|\,\|y_n\| + \|x\|\,\|y_n-y\|

可知：若

xn→x,yn→y,x_n\to x, \qquad y_n\to y,

则

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩.\langle x_n,y_n\rangle \to \langle x,y\rangle.

3. 平行四边形恒等式与极化公式

3.1 平行四边形恒等式

内积诱导的范数满足

∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2.\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\|x\|^2+2\|y\|^2.

它表示平行四边形两条对角线平方和等于四条边平方和。

3.2 Jordan–von Neumann 定理

定理
赋范空间的范数来自某个内积，当且仅当它满足平行四边形恒等式。

因此一般 Banach 空间不一定能定义与原范数相容的内积。

例如 ℓp\ell^p 的标准范数只有在

p=2p=2

时来自内积。

3.3 极化公式

范数如果来自内积，就能恢复内积。

在实内积空间中，

⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2).\langle x,y\rangle = \frac14 \left( \|x+y\|^2-\|x-y\|^2 \right).

在采用第一变量线性的复内积空间中，

⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2)+i4(∥x+iy∥2−∥x−iy∥2).\langle x,y\rangle = \frac14 \left( \|x+y\|^2-\|x-y\|^2 \right) + \frac{i}{4} \left( \|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2 \right).

4. Hilbert 空间

4.1 定义

定义（Hilbert 空间）
若内积空间 HH 关于内积诱导的范数

∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}

完备，则称 HH 为 Hilbert 空间。

Hilbert 空间既是内积空间，也是 Banach 空间。

4.2 有限维空间

每个有限维内积空间都是 Hilbert 空间。

典型例子是

Rn\mathbb R^n

上的 Euclid 内积

⟨x,y⟩=∑k=1nxkyk,\langle x,y\rangle = \sum_{k=1}^nx_ky_k,

以及

Cn\mathbb C^n

上的标准内积

⟨x,y⟩=∑k=1nxkyk‾.\langle x,y\rangle = \sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k}.

4.3 序列空间 ℓ2\ell^2

定义

ℓ2={x=(xn):∑n=1∞∣xn∣2<∞},\ell^2 = \left\{ x=(x_n): \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2<\infty \right\},

内积为

⟨x,y⟩=∑n=1∞xnyn‾.\langle x,y\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n\overline{y_n}.

ℓ2\ell^2 完备，因此是 Hilbert 空间。

4.4 函数空间 L2L^2

在测度空间上定义

⟨f,g⟩=∫fg‾ dμ.\langle f,g\rangle = \int f\overline g\,d\mu.

相应范数为

∥f∥2=(∫∣f∣2 dμ)1/2.\|f\|_2 = \left( \int|f|^2\,d\mu \right)^{1/2}.

Riesz–Fischer 完备性定理说明 L2L^2 是 Hilbert 空间。其测度论细节已在实变函数 07：LpL^p 空间中整理。

4.5 不完备的内积空间

内积空间不一定完备。

例如有限支撑序列空间 c00c_{00} 使用 ℓ2\ell^2 内积时不完备，其完备化是 ℓ2\ell^2。

5. 正交性

5.1 正交向量

定义（正交）
若

⟨x,y⟩=0,\langle x,y\rangle=0,

则称 xx 与 yy 正交，记作

x⊥y.x\perp y.

零向量与每个向量正交。

5.2 Pythagoras 定理

若 x⊥yx\perp y，则

∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.\|x+y\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2.

更一般地，若 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n 两两正交，则

∥∑k=1nxk∥2=∑k=1n∥xk∥2.\left\| \sum_{k=1}^nx_k \right\|^2 = \sum_{k=1}^n\|x_k\|^2.

5.3 正交与线性无关

非零的两两正交向量族必线性无关。

因此标准正交系自动是线性无关族。

6. 正交补

6.1 定义

设 M⊆HM\subseteq H。定义

M⊥={x∈H:⟨x,m⟩=0, ∀m∈M}.M^\perp = \{x\in H: \langle x,m\rangle=0,\ \forall m\in M\}.

M⊥M^\perp 称为 MM 的正交补。

6.2 基本性质

定理

  1. M⊥M^\perp 总是闭线性子空间；
M⊆(M⊥)⊥;M\subseteq(M^\perp)^\perp;
(M⊥)⊥=span⁡M‾;(M^\perp)^\perp = \overline{\operatorname{span}M};
M⊥={0}⟺span⁡M‾=H.M^\perp=\{0\} \Longleftrightarrow \overline{\operatorname{span}M}=H.

如果 MM 本身是线性子空间，则

(M⊥)⊥=M‾.(M^\perp)^\perp=\overline M.

6.3 稠密性判定

线性子空间 MM 在 HH 中稠密，当且仅当

M⊥={0}.M^\perp=\{0\}.

这给出 Hilbert 空间中判断函数族或正交系完备性的常用方法。

7. 到闭凸集的最佳逼近

7.1 距离

设 C⊆HC\subseteq H 非空，定义

d(x,C)=inf⁡y∈C∥x−y∥.d(x,C) = \inf_{y\in C}\|x-y\|.

7.2 投影定理

定理（闭凸集投影）
若 CC 非空、闭且凸，则对每个 x∈Hx\in H，存在唯一 y0∈Cy_0\in C，使

∥x−y0∥=d(x,C).\|x-y_0\| = d(x,C).

y0y_0 称为 xx 在 CC 上的最佳逼近或度量投影，记作

PCx=y0.P_Cx=y_0.

在一般 Banach 空间中，即使集合闭且凸，最佳逼近也可能不存在或不唯一。

7.3 变分刻画

y0=PCxy_0=P_Cx 当且仅当

Re⁡⟨x−y0,y−y0⟩≤0,∀y∈C.\operatorname{Re} \langle x-y_0,y-y_0\rangle \le0, \qquad \forall y\in C.

当 CC 是线性子空间时，这个不等式进一步变成正交条件。

7.4 非扩张性

闭凸集投影满足

∥PCx−PCy∥≤∥x−y∥.\|P_Cx-P_Cy\| \le \|x-y\|.

因此 PCP_C 是 11-Lipschitz 连续映射。

但当 CC 不是线性子空间时，PCP_C 一般不是线性映射。

8. 闭子空间投影定理

设 M⊆HM\subseteq H 是闭线性子空间。

8.1 正交分解

定理（正交投影定理）
对每个 x∈Hx\in H，存在唯一的

m∈M,n∈M⊥,m\in M, \qquad n\in M^\perp,

使

x=m+n.x=m+n.

因此

H=M⊕M⊥.H=M\oplus M^\perp.

这是正交直和。

8.2 正交投影

定义

PMx=m,P_Mx=m,

其中 x=m+nx=m+n 是上述唯一分解。

PMP_M 称为到 MM 的正交投影。

并且

x−PMx∈M⊥,x-P_Mx\in M^\perp, ∥x−PMx∥=d(x,M).\|x-P_Mx\| = d(x,M).

8.3 Pythagoras 分解

因为

PMx⊥x−PMx,P_Mx\perp x-P_Mx,

所以

∥x∥2=∥PMx∥2+∥x−PMx∥2.\|x\|^2 = \|P_Mx\|^2 + \|x-P_Mx\|^2.

由此可得

∥PMx∥≤∥x∥.\|P_Mx\|\le\|x\|.

9. 正交投影算子

9.1 基本性质

正交投影 PMP_M 满足

PM2=PM,P_M^2=P_M, ran⁡PM=M,\operatorname{ran}P_M=M, ker⁡PM=M⊥.\ker P_M=M^\perp.

如果 M≠{0}M\ne\{0\}，则

∥PM∥=1.\|P_M\|=1.

9.2 自伴性

正交投影满足

⟨PMx,y⟩=⟨x,PMy⟩.\langle P_Mx,y\rangle = \langle x,P_My\rangle.

引入伴随算子后，这可以写成

PM∗=PM.P_M^*=P_M.

9.3 投影的刻画

定理
有界线性算子 P∈B(H)P\in\mathcal B(H) 是正交投影，当且仅当

P2=PP^2=P

且

P∗=P.P^*=P.

只满足 P2=PP^2=P 的算子称为投影或斜投影，其值域与核未必正交，算子范数也可能大于 11。

9.4 补投影

如果 PMP_M 是到 MM 的正交投影，则

I−PMI-P_M

是到 M⊥M^\perp 的正交投影。

因此

PM⊥=I−PM.P_{M^\perp}=I-P_M.

10. 有限维逼近

设 e1,…,ene_1,\ldots,e_n 是标准正交向量，令

M=span⁡{e1,…,en}.M=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_n\}.

则

PMx=∑k=1n⟨x,ek⟩ek.P_Mx = \sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k.

并且对任意 y∈My\in M，

∥x−PMx∥≤∥x−y∥.\|x-P_Mx\| \le \|x-y\|.

所以 Fourier 截断不是任意近似，而是在该有限维子空间中的唯一最佳逼近。

误差满足

∥x−PMx∥2=∥x∥2−∑k=1n∣⟨x,ek⟩∣2.\|x-P_Mx\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n |\langle x,e_k\rangle|^2.

11. Hilbert 空间中的弱收敛

11.1 内积判定

由 Riesz 表示定理，Hilbert 空间中的每个连续线性泛函都可以写成

fy(x)=⟨x,y⟩.f_y(x)=\langle x,y\rangle.

因此

xn⇀x⟺⟨xn,y⟩→⟨x,y⟩,∀y∈H.x_n\rightharpoonup x \Longleftrightarrow \langle x_n,y\rangle \to \langle x,y\rangle, \quad \forall y\in H.

11.2 标准正交序列

若 {en}\{e_n\} 是标准正交序列，则对每个 y∈Hy\in H，

⟨en,y⟩→0.\langle e_n,y\rangle\to0.

所以

en⇀0.e_n\rightharpoonup0.

但

∥en∥=1,\|e_n\|=1,

因此它通常不范数收敛。

11.3 弱收敛加范数收敛

定理
若

xn⇀xx_n\rightharpoonup x

并且

∥xn∥→∥x∥,\|x_n\|\to\|x\|,

则

∥xn−x∥→0.\|x_n-x\|\to0.

因为

∥xn−x∥2=∥xn∥2+∥x∥2−2Re⁡⟨xn,x⟩.\|x_n-x\|^2 = \|x_n\|^2+\|x\|^2 - 2\operatorname{Re}\langle x_n,x\rangle.

这一性质在一般 Banach 空间中不一定成立。

12. Hilbert 空间的几何性质

12.1 一致凸性

Hilbert 空间满足

∥x+y2∥2=∥x∥2+∥y∥22−∥x−y∥24.\left\| \frac{x+y}{2} \right\|^2 = \frac{\|x\|^2+\|y\|^2}{2} - \frac{\|x-y\|^2}{4}.

所以 Hilbert 空间一致凸。

由 Milman–Pettis 定理，每个 Hilbert 空间都是自反 Banach 空间。

12.2 弱紧致性

Hilbert 空间的闭单位球弱紧。因此每个有界序列都有弱收敛子列。

这与正交投影和弱下半连续性结合，是最小二乘法和变分法存在性结论的基础。

12.3 严格凸性

若 x≠yx\ne y 且 ∥x∥=∥y∥=1\|x\|=\|y\|=1，则

∥x+y2∥<1.\left\|\frac{x+y}{2}\right\|<1.

严格凸性解释了最佳逼近的唯一性；完备性和闭性则保证最佳逼近的存在性。

13. 概念辨析

13.1 内积空间与 Hilbert 空间

内积空间不一定完备；完备的内积空间才是 Hilbert 空间。

13.2 正交补与代数补

M⊥M^\perp 是由内积自然确定的闭子空间。一般代数补空间不唯一，也未必与 MM 正交。

13.3 度量投影与正交投影

  • 到闭凸集的度量投影存在且唯一，但一般非线性；
  • 到闭线性子空间的投影是线性正交投影；
  • 斜投影满足 P2=PP^2=P，但不一定自伴。

13.4 正交分解与普通直和

普通直和只要求表示唯一；正交直和还要求两个子空间彼此正交，并自动具有稳定的范数几何。

14. 本篇要点

  1. 内积诱导范数，并满足 Cauchy–Schwarz、Pythagoras 和平行四边形恒等式。
  2. 范数来自内积，当且仅当满足平行四边形恒等式。
  3. 完备的内积空间称为 Hilbert 空间。
  4. ℓ2\ell^2 和 L2L^2 是最重要的无限维 Hilbert 空间。
  5. M⊥M^\perp 总是闭子空间，并且 (M⊥)⊥=M‾(M^\perp)^\perp=\overline M。
  6. Hilbert 空间中每个非空闭凸集都有唯一最佳逼近。
  7. 每个闭线性子空间 MM 都给出正交分解 H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perp。
  8. 正交投影由 P2=P=P∗P^2=P=P^* 刻画。
  9. Hilbert 空间中弱收敛加范数收敛推出强收敛。
  10. Hilbert 空间一致凸，因此自反。

下一篇将整理标准正交系、Fourier 展开、Riesz 表示定理和 Hilbert 空间伴随算子。

参考教材

  1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
  2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
  3. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
  4. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
  5. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.