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泛函分析 14：紧算子的谱与紧自伴谱定理

系统整理紧算子的 Riesz–Schauder 谱理论、Fredholm 择一定理，以及紧自伴和紧正规算子的谱分解、奇异值分解与积分方程应用。

系统整理有界线性算子的谱与预解集、点谱与连续谱、Neumann 级数、预解恒等式、谱的紧致性、谱半径公式和谱映射定理。

系统整理紧算子的定义与判定、算子理想、有限秩逼近、Schauder 定理、弱收敛到范数收敛，以及积分算子和紧嵌入等典型例子。

系统整理 Hilbert 空间中的标准正交系、Bessel 不等式、Parseval 等式、Fourier 展开、Riesz–Fischer 定理、Riesz 表示定理以及伴随、自伴、正常、酉与正算子。

系统整理内积与内积诱导范数、Hilbert 空间、正交补、最佳逼近、闭凸集投影定理、闭子空间正交分解以及 Hilbert 空间中的弱收敛。

系统整理 Banach–Alaoglu 与 Goldstine 定理、自然嵌入与自反空间、弱紧致性的等价刻画、典型自反和非自反空间及变分应用。

系统整理弱拓扑与弱星拓扑、弱收敛与弱星收敛的定义、性质、典型例子，以及范数拓扑、弱拓扑和弱星拓扑之间的区别。

以 Baire 纲定理为基础，系统整理一致有界原理、开映射定理、逆算子定理和闭图像定理及其条件、推论与反例。

系统整理商空间与商范数、直和与投影、零化子，以及 Hahn–Banach 定理的延拓、分离和对偶性推论。

系统整理有界线性算子、连续性的等价刻画、算子范数、算子空间、连续线性泛函、对偶空间和共轭算子。

系统整理 Banach 空间的定义与判定，并集中介绍序列空间、连续函数空间、可微函数空间和 Lp 空间等典型例子。

系统整理范数与半范数、范数收敛、向量级数、等价范数、子空间、凸集、Riesz 引理以及有限维和无限维赋范空间的区别。

系统整理 Cauchy 点列、完备空间、完备化、压缩映射原理、紧致性、列紧性与全有界性及其相互关系。

介绍泛函分析的研究对象，系统整理度量、开集与闭集、内部与闭包、点列收敛、连续映射、稠密集和可分空间。