泛函分析 06：商空间、直和与 Hahn–Banach 定理

子空间描述一个空间内部的线性结构，商空间则把某个子空间中的差异全部忽略。两者通过对偶空间中的零化子联系起来。

Hahn–Banach 定理是这种联系的核心：它允许把子空间上的连续线性泛函延拓到整个空间，并保持范数不变。由此可以证明连续线性泛函足够丰富，能够区分点、刻画范数、分离闭子空间和建立商空间的对偶关系。

本文设 $X$ 为 $\mathbb K$ 上的赋范空间，其中 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$；$M,N$ 表示 $X$ 的线性子空间。

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1. 商线性空间

1.1 等价关系

固定线性子空间 $M\subseteq X$。定义

$$x\sim y \Longleftrightarrow x-y\in M.$$

这是 $X$ 上的等价关系。$x$ 所在的等价类为

$$x+M=\{x+m:m\in M\},$$

称为 $x$ 关于 $M$ 的陪集。

两个陪集相等当且仅当

$$x+M=y+M \Longleftrightarrow x-y\in M.$$

1.2 商空间

定义（商空间）

$$X/M=\{x+M:x\in X\}$$

称为 $X$ 关于 $M$ 的商线性空间。

加法和数乘定义为

$$(x+M)+(y+M)=(x+y)+M,$$ $$\alpha(x+M)=\alpha x+M.$$

这些定义与代表元的选择无关。

商空间把 $M$ 中的所有向量视为零，因为

$$x+M=M \Longleftrightarrow x\in M.$$

1.3 商映射

定义自然商映射

$$Q:X\to X/M, \qquad Qx=x+M.$$

$Q$ 是线性满射，并且

$$\ker Q=M.$$

由线性代数第一同构定理，任意线性算子 $T:X\to Y$ 都诱导代数同构

$$X/\ker T\cong\operatorname{ran}T.$$

在赋范空间中，要把它提升为拓扑同构，还需要值域闭性和有界逆等额外条件。

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2. 商范数

2.1 定义

设 $M$ 是 $X$ 的闭子空间。对 $x+M\in X/M$，定义

$$\|x+M\| = \inf_{m\in M}\|x-m\| = d(x,M).$$

这称为商范数。

商范数表示陪集 $x+M$ 到零陪集 $M$ 的距离。

2.2 为什么要求 $M$ 闭

如果 $M$ 不闭，并且

$$x\in\overline M\setminus M,$$

则 $x+M\ne M$，但

$$\|x+M\|=d(x,M)=0.$$

此时上式只能定义半范数，不能定义范数。

因此

$$X/M\text{ 上的商半范数是范数} \Longleftrightarrow M\text{ 闭}.$$

2.3 商映射的范数

由

$$\|Qx\| = \inf_{m\in M}\|x-m\| \le \|x\|$$

可知

$$\|Q\|\le1.$$

如果 $M\ne X$，则

$$\|Q\|=1.$$

商范数正是使自然商映射成为范数为 $1$ 的开映射的自然选择。

2.4 商空间的完备性

定理
若 $X$ 是 Banach 空间，$M$ 是闭子空间，则

$$X/M$$

在商范数下也是 Banach 空间。

反过来，若 $M$ 本身和 $X/M$ 都是 Banach 空间，则 $X$ 也是 Banach 空间。

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3. 商空间的例子

3.1 有限维例子

在 $\mathbb R^2$ 上使用 $1$-范数

$$\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,$$

令

$$M=\{(x,0):x\in\mathbb R\}.$$

则

$$\|(x,y)+M\| = \inf_{t\in\mathbb R}\|(x-t,y)\|_1 =|y|.$$

所以 $\mathbb R^2/M$ 与 $\mathbb R$ 等距同构。

3.2 收敛序列模去零收敛序列

在 Banach 空间 $c$ 上定义极限泛函

$$L:c\to\mathbb K, \qquad L(x)=\lim_{n\to\infty}x_n.$$

则

$$\ker L=c_0, \qquad \|L\|=1.$$

由第一同构思想，

$$c/c_0\cong\mathbb K.$$

在商范数下，这个同构还是等距的。

3.3 商掉常数函数

在 $C[a,b]$ 中令

$$M=\{f:f\text{ 为常值函数}\}.$$

则

$$\|f+M\| = \inf_{c\in\mathbb K}\|f-c\|_\infty.$$

商范数衡量 $f$ 与所有常值函数之间的最佳一致逼近误差。

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4. 直和

4.1 代数直和

若

$$X=M+N$$

并且

$$M\cap N=\{0\},$$

则称 $X$ 是 $M$ 与 $N$ 的代数直和，记作

$$X=M\oplus N.$$

此时每个 $x\in X$ 都有唯一分解

$$x=m+n, \qquad m\in M,\ n\in N.$$

4.2 投影

在分解 $X=M\oplus N$ 下，定义

$$P_M(m+n)=m.$$

$P_M$ 称为沿 $N$ 到 $M$ 的投影，并满足

$$P_M^2=P_M,$$ $$\operatorname{ran}P_M=M, \qquad \ker P_M=N.$$

反过来，任意满足 $P^2=P$ 的线性算子都给出分解

$$X=\operatorname{ran}P\oplus\ker P.$$

4.3 拓扑直和与补子空间

若投影 $P_M$ 有界，则称

$$X=M\oplus N$$

为拓扑直和。

闭子空间 $M$ 称为有补的，如果存在闭子空间 $N$，使 $X=M\oplus N$ 为拓扑直和。

定理
若 $X$ 是 Banach 空间，$M,N$ 都闭，并且 $X=M\oplus N$ 是代数直和，则相应投影自动有界。

这个结论可以由下一篇的闭图像定理推出。

4.4 例子

在 $c$ 中，每个收敛序列 $x$ 可以唯一写成

$$x = \bigl(x-L(x)\mathbf1\bigr) +L(x)\mathbf1,$$

其中

$$\mathbf1=(1,1,\ldots).$$

第一项属于 $c_0$，第二项属于 $\operatorname{span}\{\mathbf1\}$，因此

$$c=c_0\oplus\operatorname{span}\{\mathbf1\}.$$

并非 Banach 空间的每个闭子空间都有补空间，这是无限维空间区别于有限维空间的重要现象。

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5. 实 Hahn–Banach 定理

5.1 次线性泛函

设 $X$ 是实线性空间。

定义（次线性泛函）
映射 $p:X\to\mathbb R$ 称为次线性的，如果

$$p(x+y)\le p(x)+p(y)$$

以及

$$p(\lambda x)=\lambda p(x), \qquad \lambda\ge0.$$

次线性泛函不要求 $p(-x)=p(x)$，因此比半范数更一般。

5.2 解析形式

定理（Hahn–Banach，实形式）
设 $M$ 是实线性空间 $X$ 的线性子空间，$p:X\to\mathbb R$ 是次线性泛函，$f:M\to\mathbb R$ 是线性泛函，并且

$$f(x)\le p(x), \qquad x\in M.$$

则存在 $X$ 上的线性泛函 $F:X\to\mathbb R$，使

$$F|_M=f$$

并且

$$F(x)\le p(x), \qquad x\in X.$$

这个定理是纯线性空间结论，不要求 $X$ 完备，甚至不要求 $X$ 已经带有范数。

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6. 范数保持延拓

6.1 实数与复数形式

定理（Hahn–Banach 范数保持延拓）
设 $X$ 是实或复赋范空间，$M\subseteq X$ 是线性子空间，$f\in M^*$。则存在 $F\in X^*$，使

$$F|_M=f$$

并且

$$\|F\|=\|f\|.$$

复数形式可以通过先延拓泛函的实部，再恢复复线性泛函得到。

6.2 不需要闭性和完备性

范数保持延拓不要求：

• $M$ 是闭子空间；
• $X$ 是 Banach 空间；
• $M$ 是 Banach 空间。

延拓的存在由 Hahn–Banach 定理保证，但延拓一般不唯一。

6.3 一维子空间上的延拓

固定 $x_0\ne0$。在

$$M=\operatorname{span}\{x_0\}$$

上定义

$$f(\alpha x_0)=\alpha\|x_0\|.$$

则

$$\|f\|=1.$$

Hahn–Banach 定理保证存在 $F\in X^*$，满足

$$\|F\|=1, \qquad F(x_0)=\|x_0\|.$$

这样的泛函称为 $x_0$ 的一个范数泛函或支撑泛函。

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7. 连续线性泛函分离点

7.1 分离非零向量

定理
对任意 $x_0\in X$，$x_0\ne0$，都存在 $F\in X^*$，使

$$F(x_0)\ne0.$$

更准确地，可以取

$$\|F\|=1, \qquad F(x_0)=\|x_0\|.$$

因此连续对偶足以区分 $X$ 中不同的点：

$$x\ne y \Longrightarrow \exists F\in X^*,\ F(x)\ne F(y).$$

7.2 范数的对偶表示

定理

$$\|x\| = \sup_{\|F\|\le1}|F(x)|.$$

上界来自

$$|F(x)|\le\|F\|\,\|x\|,$$

而 Hahn–Banach 定理保证存在达到该上界的泛函。

这说明原空间的范数可以完全由对偶空间恢复。

7.3 连续对偶的平凡性

在一般拓扑线性空间中，连续对偶可能无法区分点。但对赋范空间，Hahn–Banach 定理保证

$$X^*=\{0\} \Longleftrightarrow X=\{0\}.$$

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8. 到闭子空间的距离

8.1 分离点与闭子空间

设 $M\subseteq X$ 是闭子空间，$x_0\notin M$。则

$$d(x_0,M)>0.$$

定理（Hahn–Banach 分离）
存在 $F\in X^*$，使

$$F|_M=0,$$ $$\|F\|=1,$$

并且

$$F(x_0)=d(x_0,M).$$

在复数情形中可以选择相位，使右端为正实数。

8.2 距离公式

定义 $M$ 的零化子

$$M^\perp = \{F\in X^*:F(m)=0,\ \forall m\in M\}.$$

则

$$d(x,M) = \sup\left\{ |F(x)|: F\in M^\perp,\ \|F\|\le1 \right\}.$$

若 $M$ 闭且 $x\notin M$，上确界可以达到。

8.3 闭子空间的对偶刻画

对任意线性子空间 $M\subseteq X$，

$$\overline M = \bigcap_{F\in M^\perp}\ker F.$$

因此

$$\overline M=X \Longleftrightarrow M^\perp=\{0\}.$$

这与上一篇

$$\overline{\operatorname{ran}T}=Y \Longleftrightarrow \ker T^*=\{0\}$$

是同一个对偶思想。

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9. 凸集的分离

9.1 点与闭凸集

定理（严格分离）
设 $C\subseteq X$ 是非空闭凸集，$x_0\notin C$。则存在 $F\in X^*$ 和实数 $\alpha$，使

$$\sup_{x\in C}\operatorname{Re}F(x) < \alpha < \operatorname{Re}F(x_0).$$

在实数空间中可以去掉 $\operatorname{Re}$。

这个结论把几何上的“点在凸集外”转化为某个连续线性泛函下的严格数值不等式。

9.2 两个凸集

若两个非空凸集不相交，并且其中一个是开集，则存在非零连续线性泛函把它们分离。

若要得到严格分离或正距离分离，通常还需要闭性、紧致性或其中一方具有更强的条件。

9.3 支撑超平面

设 $C$ 是凸集，$x_0\in\partial C$。若存在非零 $F\in X^*$，使

$$\operatorname{Re}F(x) \le \operatorname{Re}F(x_0), \qquad x\in C,$$

则仿射超平面

$$\{x:\operatorname{Re}F(x)=\operatorname{Re}F(x_0)\}$$

称为 $C$ 在 $x_0$ 处的支撑超平面。

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10. 零化子与商空间对偶

10.1 零化子

对任意线性子空间 $M\subseteq X$，

$$M^\perp = \{F\in X^*:F|_M=0\}$$

是 $X^*$ 的闭子空间。

如果只知道 $M$ 而不知道其闭包，则

$$M^\perp=(\overline M)^\perp.$$

10.2 商空间的对偶

设 $M$ 是闭子空间，$Q:X\to X/M$ 是自然商映射。定义

$$Q^*:(X/M)^*\to X^*, \qquad Q^*\varphi=\varphi\circ Q.$$

定理
$Q^*$ 是从 $(X/M)^*$ 到 $M^\perp$ 的等距同构。因此

$$(X/M)^*\cong M^\perp.$$

商空间上的连续线性泛函，等价于原空间上所有在 $M$ 上为零的连续线性泛函。

10.3 子空间的对偶

定义限制映射

$$R:X^*\to M^*, \qquad R(F)=F|_M.$$

Hahn–Banach 定理说明 $R$ 是满射，并且每个 $f\in M^*$ 都有保持范数的延拓。

又因为

$$\ker R=M^\perp,$$

所以

$$M^*\cong X^*/M^\perp$$

为等距同构。

这给出两组对偶关系：

$$(X/M)^*\cong M^\perp,$$ $$M^*\cong X^*/M^\perp.$$

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11. 自然嵌入到二次对偶

11.1 自然映射

对每个 $x\in X$，定义 $Jx\in X^{**}$：

$$(Jx)(F)=F(x), \qquad F\in X^*.$$

由此得到线性映射

$$J:X\to X^{**}.$$

11.2 等距性

由对偶范数表示，

$$\|Jx\| = \sup_{\|F\|\le1}|F(x)| = \|x\|.$$

因此 $J$ 是线性等距嵌入。

这说明每个赋范空间都可以自然地视为其二次对偶的子空间。

若 $J$ 还是满射，则称 $X$ 为自反空间。自反性将在弱拓扑部分集中整理。

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12. 概念辨析

12.1 子空间与商空间

• 子空间 $M$ 保留 $M$ 中的向量；
• 商空间 $X/M$ 把相差一个 $M$ 中向量的元素视为相同；
• $M$ 闭保证商空间中的不同陪集具有正距离。

12.2 代数直和与拓扑直和

代数直和只要求分解存在且唯一；拓扑直和还要求相应投影连续。

在无限维赋范空间中，代数分解不自动给出稳定的拓扑分解。

12.3 Hahn–Banach 定理不保证唯一延拓

定理保证存在保持范数的延拓，但通常有多个不同延拓。只有在额外几何条件下才可能唯一。

12.4 对偶空间不能简单看成原空间

有限维时，$X$ 与 $X^*$ 维数相同，但两者之间没有不依赖基的自然线性同构。

Hilbert 空间借助内积具有 Riesz 表示；一般 Banach 空间没有这种自然识别。

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13. 本篇要点

1. 商空间 $X/M$ 把子空间 $M$ 中的方向视为零。
2. 商半范数成为范数，当且仅当 $M$ 是闭子空间。
3. Banach 空间关于闭子空间的商仍是 Banach 空间。
4. 直和对应唯一分解，有界投影对应拓扑直和。
5. Hahn–Banach 定理允许连续线性泛函保持范数地从子空间延拓到整个空间。
6. 连续线性泛函能够分离不同点，并给出范数的对偶表示。
7. 闭子空间可以由其零化子刻画，点到闭子空间的距离也可由对偶泛函表示。
8. $(X/M)^*\cong M^\perp$，而 $M^*\cong X^*/M^\perp$。
9. 自然映射 $J:X\to X^{**}$ 是线性等距嵌入。

下一篇将以 Baire 纲定理为共同基础，集中整理一致有界原理、开映射定理、逆算子定理和闭图像定理。

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参考教材

1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
3. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
4. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
5. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.