泛函分析 05：有界线性算子与对偶空间

泛函分析不仅研究无限维空间本身，更关心空间之间保持线性结构的映射。矩阵、微分、积分、函数取值和 Fourier 系数都可以统一看作线性算子。

在线性算子中，连续性与有界性等价。这个结论使我们能够用一个算子范数同时衡量算子的连续性、放大能力和稳定性。

本文设 $X,Y,Z$ 为 $\mathbb K$ 上的赋范空间，其中 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$。除非特别说明，线性算子均与同一个标量域相容。

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1. 线性算子

1.1 定义

定义（线性算子）
映射 $T:X\to Y$ 称为线性算子，如果对任意 $x,y\in X$ 和 $\alpha,\beta\in\mathbb K$，

$$T(\alpha x+\beta y) = \alpha Tx+\beta Ty.$$

线性性等价于同时满足

$$T(x+y)=Tx+Ty, \qquad T(\alpha x)=\alpha Tx.$$

线性算子总满足

$$T0=0.$$

1.2 核与值域

定义

$$\ker T=\{x\in X:Tx=0\}$$

称为 $T$ 的核；

$$\operatorname{ran}T=T(X)=\{Tx:x\in X\}$$

称为 $T$ 的值域。

$\ker T$ 是 $X$ 的线性子空间，$\operatorname{ran}T$ 是 $Y$ 的线性子空间。

定理

$$T\text{ 是单射} \Longleftrightarrow \ker T=\{0\},$$ $$T\text{ 是满射} \Longleftrightarrow \operatorname{ran}T=Y.$$

1.3 线性算子的代数运算

若 $S,T:X\to Y$ 线性，$\alpha,\beta\in\mathbb K$，则

$$(\alpha S+\beta T)x = \alpha Sx+\beta Tx$$

仍是线性算子。

若 $T:X\to Y$、$S:Y\to Z$ 线性，则复合算子

$$ST=S\circ T:X\to Z$$

也是线性的。

算子复合通常不满足交换律：

$$ST\ne TS.$$

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2. 有界线性算子

2.1 有界性

定义（有界线性算子）
线性算子 $T:X\to Y$ 称为有界的，如果存在常数 $C\ge0$，使对任意 $x\in X$，

$$\|Tx\|_Y\le C\|x\|_X.$$

这里的“有界”不是说整个值域 $T(X)$ 是有界集，而是说 $T$ 对向量长度的放大倍数有统一上界。

2.2 有界性与连续性

定理
对线性算子 $T:X\to Y$，以下条件等价：

1. $T$ 有界；
2. $T$ 在 $0$ 处连续；
3. $T$ 在某一点连续；
4. $T$ 在每一点连续；
5. $T$ 把有界集映成有界集；
6. $T$ 把单位球映成有界集。

因此“连续线性算子”和“有界线性算子”表示同一类算子。

线性性十分关键。一般非线性连续映射未必把有界集映成有界集。

2.3 Lipschitz 连续

若 $T$ 有界，则

$$\|Tx-Ty\| = \|T(x-y)\| \le C\|x-y\|.$$

所以有界线性算子自动是全局 Lipschitz 连续的，并且自动一致连续。

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3. 算子范数

3.1 定义

设 $T:X\to Y$ 是有界线性算子。定义

$$\|T\| = \sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|.$$

这个范数称为算子范数。

常用的等价形式为

$$\|T\| = \sup_{\|x\|<1}\|Tx\| = \sup_{\|x\|=1}\|Tx\| = \sup_{x\ne0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|},$$

其中单位球面形式要求 $X\ne\{0\}$。

3.2 最小控制常数

算子范数是所有满足

$$\|Tx\|\le C\|x\|$$

的常数 $C$ 中最小的一个。因此对所有 $x\in X$，

$$\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|.$$

3.3 范数公理

对 $S,T\in\mathcal B(X,Y)$ 和 $\alpha\in\mathbb K$，

$$\|T\|\ge0, \qquad \|T\|=0\Longleftrightarrow T=0,$$ $$\|\alpha T\|=|\alpha|\,\|T\|,$$ $$\|S+T\|\le\|S\|+\|T\|.$$

所以所有有界线性算子在算子范数下构成赋范空间。

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4. 算子空间

4.1 $\mathcal B(X,Y)$

定义
从 $X$ 到 $Y$ 的所有有界线性算子组成的空间记作

$$\mathcal B(X,Y)$$

或 $\mathcal L(X,Y)$。

当 $X=Y$ 时，常简记为

$$\mathcal B(X).$$

4.2 复合算子的范数

若 $T\in\mathcal B(X,Y)$，$S\in\mathcal B(Y,Z)$，则

$$ST\in\mathcal B(X,Z)$$

并且

$$\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|.$$

这个不等式称为算子范数的次乘性。

等号未必成立。例如两个非零算子的复合可能为零。

4.3 单位算子

定义单位算子

$$I_X:X\to X,\qquad I_Xx=x.$$

当 $X\ne\{0\}$ 时，

$$\|I_X\|=1.$$

4.4 算子空间的完备性

定理
若 $Y$ 是 Banach 空间，则对任意赋范空间 $X$，

$$\mathcal B(X,Y)$$

在算子范数下是 Banach 空间。

$X$ 本身不需要完备。证明的核心是：算子范数 Cauchy 保证对每个 $x$，点列 $\{T_nx\}$ 在 $Y$ 中是 Cauchy 点列。

特别地，若 $X$ 是 Banach 空间，则 $\mathcal B(X)$ 是带单位元的 Banach 代数：

$$\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|.$$

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5. 有限维算子与矩阵

5.1 线性算子自动连续

定理
若 $X$ 是有限维赋范空间，则从 $X$ 到任意赋范空间 $Y$ 的每个线性算子都是有界的。

因此有限维线性代数中无需额外区分线性算子和连续线性算子。

如果定义域是无限维空间，则可能存在不连续线性算子；它们通常依赖 Hamel 基构造，难以显式写出。

5.2 诱导矩阵范数

矩阵 $A\in\mathbb K^{m\times n}$ 定义线性算子

$$T_Ax=Ax.$$

相对于向量范数 $\|\cdot\|_p$，诱导算子范数为

$$\|A\|_p = \sup_{x\ne0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}.$$

常用公式包括

$$\|A\|_1 = \max_{1\le j\le n} \sum_{i=1}^m|a_{ij}|,$$

即最大列和；

$$\|A\|_\infty = \max_{1\le i\le m} \sum_{j=1}^n|a_{ij}|,$$

即最大行和；

$$\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^*A)},$$

即最大奇异值。

这里的 $A^*$ 表示共轭转置。

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6. 典型算子

6.1 乘法算子

设 $K$ 是紧空间，$g\in C(K)$。定义

$$M_g:C(K)\to C(K), \qquad (M_gf)(x)=g(x)f(x).$$

则 $M_g$ 有界，并且

$$\|M_g\|=\|g\|_\infty.$$

6.2 积分算子

定义

$$T:C[a,b]\to C[a,b], \qquad (Tf)(x)=\int_a^xf(t)\,dt.$$

则

$$|(Tf)(x)| \le (b-a)\|f\|_\infty,$$

所以

$$\|T\|\le b-a.$$

取 $f\equiv1$ 可得等号，因此

$$\|T\|=b-a.$$

6.3 积分核算子

设 $K\in C([a,b]\times[c,d])$，定义

$$(Tf)(x) = \int_c^dK(x,t)f(t)\,dt.$$

则

$$T:C[c,d]\to C[a,b]$$

有界，并且

$$\|T\| \le \max_{x\in[a,b]} \int_c^d|K(x,t)|\,dt.$$

6.4 微分算子

在空间 $C^1[a,b]$ 上定义

$$Df=f'.$$

若定义域使用范数

$$\|f\|_{C^1} = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty,$$

则

$$D:C^1[a,b]\to C[a,b]$$

有界，因为

$$\|Df\|_\infty \le \|f\|_{C^1}.$$

但若在 $C^1[0,1]$ 上只使用 $\|\cdot\|_\infty$，则 $D$ 不有界。取

$$f_n(x)=x^n$$

可得

$$\|f_n\|_\infty=1, \qquad \|Df_n\|_\infty=n.$$

同一个代数算子是否有界，取决于定义域和值域上的范数。

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7. 连续线性泛函

7.1 定义

定义（线性泛函）
取值于标量域的线性算子

$$f:X\to\mathbb K$$

称为线性泛函。

若 $f$ 有界，则称为连续线性泛函。

泛函的范数为

$$\|f\| = \sup_{\|x\|\le1}|f(x)| = \sup_{x\ne0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}.$$

因此

$$|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|.$$

7.2 对偶空间

定义（对偶空间）
$X$ 上所有连续线性泛函组成的空间称为 $X$ 的连续对偶空间，记作

$$X^*=\mathcal B(X,\mathbb K).$$

由于 $\mathbb K$ 完备，算子空间完备性定理给出：

定理
对任意赋范空间 $X$，其对偶空间 $X^*$ 都是 Banach 空间。

$X$ 本身不需要完备。

7.3 代数对偶与连续对偶

所有线性泛函组成的集合称为代数对偶，常记作 $X^\#$。连续对偶 $X^*$ 只包含其中连续的泛函：

$$X^*\subseteq X^\#.$$

有限维时两者相同；无限维时通常不同。

泛函分析中的“对偶空间”若无特别说明，一般指连续对偶 $X^*$。

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8. 典型线性泛函

8.1 坐标泛函

在 $\mathbb K^n$ 上定义

$$e_j^*(x)=x_j.$$

相对于 $\|\cdot\|_p$，其范数为

$$\|e_j^*\|=1.$$

8.2 点值泛函

固定 $t_0\in[a,b]$，定义

$$\delta_{t_0}:C[a,b]\to\mathbb K, \qquad \delta_{t_0}(f)=f(t_0).$$

则

$$|\delta_{t_0}(f)| \le \|f\|_\infty,$$

并且取 $f\equiv1$ 可知

$$\|\delta_{t_0}\|=1.$$

8.3 积分泛函

设 $g\in C[a,b]$，定义

$$F_g(f)=\int_a^bf(t)g(t)\,dt.$$

则

$$|F_g(f)| \le \|f\|_\infty \int_a^b|g(t)|\,dt,$$

所以

$$\|F_g\| \le \int_a^b|g(t)|\,dt.$$

在实数情形可以用连续函数逼近 $\operatorname{sgn}g$，得到

$$\|F_g\| = \int_a^b|g(t)|\,dt.$$

复数情形使用相位函数的连续逼近得到相同结论。

8.4 $\ell^p$ 上的泛函

设 $1\le p<\infty$，$q$ 满足

$$\frac1p+\frac1q=1.$$

对 $y=(y_n)\in\ell^q$，定义

$$f_y(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n.$$

由 Hölder 不等式，

$$|f_y(x)| \le \|x\|_p\|y\|_q.$$

更进一步，

$$(\ell^p)^*\cong\ell^q, \qquad 1\le p<\infty,$$

其中 $p=1$ 时 $q=\infty$。

但

$$(\ell^\infty)^*$$

严格大于 $\ell^1$，不能直接套用有限指数情形。

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9. 泛函的核与超平面

9.1 核的闭性

若 $f\in X^*$，则

$$\ker f=f^{-1}(\{0\})$$

是闭子空间。

定理
设 $f:X\to\mathbb K$ 是非零线性泛函，则

$$f\text{ 连续} \Longleftrightarrow \ker f\text{ 闭}.$$

9.2 超平面

定义（超平面）
余维为 $1$ 的线性子空间称为超平面。

每个非零线性泛函的核都是代数超平面。闭超平面恰好是某个非零连续线性泛函的核。

若 $f\in X^*$ 非零，$\alpha\in\mathbb K$，则

$$\{x\in X:f(x)=\alpha\}$$

是闭仿射超平面。

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10. 共轭算子

10.1 定义

设 $T\in\mathcal B(X,Y)$。定义共轭算子或对偶算子

$$T^*:Y^*\to X^*$$

为

$$(T^*g)(x)=g(Tx), \qquad g\in Y^*,\ x\in X.$$

也可以写成

$$T^*g=g\circ T.$$

这里的 $T^*$ 是 Banach 空间意义下的共轭算子。它与 Hilbert 空间中由内积定义的伴随算子密切相关，但定义方式不同。

10.2 基本性质

定理

$$T^*\in\mathcal B(Y^*,X^*),$$

并且

$$\|T^*\|=\|T\|.$$

此外，

$$(S+T)^*=S^*+T^*,$$

在复数域上

$$(\alpha T)^*=\alpha T^*$$

采用当前“泛函对向量线性”的约定时成立；若采用共轭线性对偶约定，标量公式会相应改变。

对可复合算子，

$$(ST)^*=T^*S^*.$$

算子顺序发生反转。

10.3 核与值域的关系

定义集合 $M\subseteq X$ 的零化子

$$M^\perp = \{f\in X^*:f(x)=0,\ \forall x\in M\}.$$

则

$$\ker T^* = (\operatorname{ran}T)^\perp.$$

因此

$$\overline{\operatorname{ran}T}=Y \Longleftrightarrow \ker T^*=\{0\}.$$

更深入的值域闭性关系将在对偶性和闭值域理论中继续使用。

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11. 可逆算子

11.1 代数可逆

若线性算子 $T:X\to Y$ 是双射，则存在代数逆算子

$$T^{-1}:Y\to X.$$

$T^{-1}$ 自动线性。

11.2 有界可逆

定义
若 $T\in\mathcal B(X,Y)$ 是双射，并且

$$T^{-1}\in\mathcal B(Y,X),$$

则称 $T$ 有界可逆或拓扑同构。

此时存在常数 $c,C>0$，使

$$c\|x\| \le \|Tx\| \le C\|x\|.$$

其中可以取

$$C=\|T\|, \qquad c=\frac1{\|T^{-1}\|}.$$

有界双射的逆算子不一定自动有界。若 $X,Y$ 都是 Banach 空间，开映射定理将保证其逆算子有界。

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12. 概念辨析

12.1 有界算子与有界值域

有界线性算子满足

$$\|Tx\|\le C\|x\|,$$

但当 $X$ 非平凡时，其整个值域通常不是有界集，因为

$$T(\lambda x)=\lambda Tx.$$

12.2 点态收敛与算子范数收敛

算子列 $\{T_n\}\subseteq\mathcal B(X,Y)$ 点态收敛到 $T$ 是指

$$T_nx\to Tx \qquad \text{对每个固定的 }x\in X.$$

算子范数收敛是指

$$\|T_n-T\|\to0.$$

算子范数收敛推出点态收敛，反向一般不成立。

12.3 泛函与一般函数

泛函的自变量通常是向量、序列或函数，值是标量。它并不是“函数的另一种名称”，而是强调定义在函数空间等抽象空间上的标量值映射。

12.4 共轭算子与 Hilbert 伴随

Banach 空间共轭算子映射

$$T^*:Y^*\to X^*.$$

Hilbert 空间伴随算子则借助 Riesz 表示把对偶空间与原空间对应起来，最终写成从 $Y$ 到 $X$ 的算子。

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13. 本篇要点

1. 线性算子连续、有界、在零点连续和把单位球映成有界集彼此等价。
2. 算子范数是线性算子的最小统一放大常数。
3. 复合算子满足 $\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|$。
4. 当值域 $Y$ 完备时，$\mathcal B(X,Y)$ 是 Banach 空间。
5. 无限维空间中，算子是否有界取决于定义域和值域所选的范数。
6. 对任意赋范空间 $X$，连续对偶 $X^*$ 都是 Banach 空间。
7. 非零线性泛函连续，当且仅当其核是闭超平面。
8. 共轭算子满足 $\|T^*\|=\|T\|$ 和 $(ST)^*=T^*S^*$。
9. 有界双射的逆未必有界；Banach 空间之间的情形需要开映射定理。

下一篇将整理商空间、直和、零化子与 Hahn–Banach 延拓和分离定理。

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参考教材

1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
3. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
4. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
5. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.