泛函分析 04：Banach 空间与典型例子

赋范空间中的向量可以比较大小和距离，但空间未必包含所有 Cauchy 点列的极限。完备性保证在空间内部进行极限运算不会产生“跑到空间外”的对象。

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间。它是泛函分析最基本的工作环境：一致有界原理、开映射定理和闭图像定理等核心结果都以 Banach 空间为自然假设。

本文集中整理 Banach 空间及其典型例子。$L^p$ 空间已经在实变函数系列中详细介绍，这里只说明它在泛函分析中的位置，不再重复测度、积分与对偶理论。

本文约定 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，并令

$$\mathbb N_+=\{1,2,3,\ldots\}.$$

---

1. Banach 空间

1.1 定义

定义（Banach 空间）
若赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$ 关于范数诱导的度量

$$d(x,y)=\|x-y\|$$

是完备度量空间，则称 $X$ 是 Banach 空间。

也就是说，对 $X$ 中任意 Cauchy 点列 $\{x_n\}$，都存在 $x\in X$，使

$$\|x_n-x\|\to0.$$

1.2 有限维空间

定理
每个有限维赋范空间都是 Banach 空间。

因此有限维空间中的完备性不依赖范数的选择。无限维赋范空间则可能完备，也可能不完备。

1.3 等价范数与完备性

若 $\|\cdot\|_a$ 与 $\|\cdot\|_b$ 是等价范数，则

$$(X,\|\cdot\|_a)\text{ 完备} \Longleftrightarrow (X,\|\cdot\|_b)\text{ 完备}.$$

所以等价范数不会改变 Banach 空间性质。

---

2. Banach 空间的判定

2.1 绝对收敛级数判据

定理（Banach 空间的级数判据）
赋范空间 $X$ 是 Banach 空间，当且仅当对任意序列 $\{x_n\}\subseteq X$，

$$\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|<\infty$$

都能推出向量级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}x_n$$

在 $X$ 中收敛。

这常被概括为：

$$\text{Banach 空间中绝对收敛推出收敛}.$$

2.2 闭子空间

定理
设 $X$ 是 Banach 空间，$M\subseteq X$ 是线性子空间。则

$$M\text{ 是 Banach 空间} \Longleftrightarrow M\text{ 在 }X\text{ 中闭}.$$

因此判断一个具体子空间是否完备，常常可以转化为判断它是否闭。

2.3 乘积空间

若 $X_1,\ldots,X_n$ 都是 Banach 空间，则有限乘积

$$X_1\times\cdots\times X_n$$

在范数

$$\|(x_1,\ldots,x_n)\| = \max_{1\le k\le n}\|x_k\|$$

下是 Banach 空间。

在有限乘积上改用范数和

$$\sum_{k=1}^n\|x_k\|$$

或其他等价乘积范数，不改变完备性。

---

3. 序列空间

3.1 $\ell^p$ 空间

设 $1\le p<\infty$。定义

$$\ell^p = \left\{ x=(x_n)_{n\ge1}: \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty \right\},$$

并定义范数

$$\|x\|_p = \left( \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p \right)^{1/p}.$$

定理
对每个 $1\le p<\infty$，$\ell^p$ 都是 Banach 空间。

三角不等式来自离散形式的 Minkowski 不等式。

3.2 $\ell^\infty$ 空间

定义所有有界标量序列组成的空间

$$\ell^\infty = \left\{ x=(x_n): \sup_{n\ge1}|x_n|<\infty \right\},$$

范数为

$$\|x\|_\infty=\sup_{n\ge1}|x_n|.$$

定理
$\ell^\infty$ 是 Banach 空间。

3.3 $c$、$c_0$ 与 $c_{00}$

定义

$$c=\{x=(x_n):x_n\text{ 收敛}\},$$ $$c_0=\{x=(x_n):x_n\to0\},$$

以及

$$c_{00} = \{x=(x_n):x_n\text{ 只有有限个非零项}\}.$$

这些空间都使用最大范数

$$\|x\|_\infty=\sup_n|x_n|.$$

它们满足

$$c_{00}\subseteq c_0\subseteq c\subseteq\ell^\infty.$$

定理

1. $c_0$ 和 $c$ 是 $\ell^\infty$ 的闭子空间，因此都是 Banach 空间；
2. $c_{00}$ 在 $c_0$ 中稠密；
3. $c_{00}$ 不是完备空间，其完备化是 $c_0$。

3.4 坐标向量

令

$$e_n=(0,\ldots,0,1,0,\ldots),$$

其中第 $n$ 项为 $1$。

对 $x=(x_n)\in\ell^p$，$1\le p<\infty$，有

$$x=\sum_{n=1}^{\infty}x_ne_n$$

并且级数在 $\ell^p$ 范数下收敛。

对 $x\in c_0$，同一展开在最大范数下收敛。

但对常值序列

$$\mathbf 1=(1,1,\ldots)\in\ell^\infty,$$

其截断序列与 $\mathbf 1$ 的最大范数距离始终为 $1$。所以 $c_{00}$ 在 $\ell^\infty$ 中不稠密。

---

4. 序列空间的包含关系

4.1 不同 $\ell^p$ 之间的包含

定理
对序列空间，若

$$1\le p<q\le\infty,$$

则

$$\ell^p\subseteq\ell^q$$

并且

$$\|x\|_q\le\|x\|_p.$$

这个方向与有限测度空间上的 $L^p$ 包含关系相反，不能混淆。

4.2 典型序列

考虑

$$x_n=\frac1{n^\alpha}.$$

则

$$x\in\ell^p \Longleftrightarrow \alpha p>1.$$

特别地，

$$\left(\frac1n\right)\in\ell^p \quad(p>1),$$

但

$$\left(\frac1n\right)\notin\ell^1.$$

另一方面，$1/n\to0$，所以该序列总属于 $c_0$。

4.3 有限支撑序列的稠密性

定理

$$\overline{c_{00}}^{\,\|\cdot\|_p}=\ell^p, \qquad 1\le p<\infty,$$

以及

$$\overline{c_{00}}^{\,\|\cdot\|_\infty}=c_0.$$

因此有限支撑序列可以逼近每个有限指数 $\ell^p$ 序列和每个零收敛序列，但不能逼近一般有界序列。

---

5. 序列空间的可分性

5.1 $\ell^p$ 与 $c_0$

定理

1. 当 $1\le p<\infty$ 时，$\ell^p$ 可分；
2. $c_0$ 可分；
3. $c$ 可分。

可以取所有有限支撑且坐标属于 $\mathbb Q$ 或 $\mathbb Q+i\mathbb Q$ 的序列作为可数稠密集。

5.2 $\ell^\infty$

定理
$\ell^\infty$ 不可分。

直观上，对每个只取 $0$ 和 $1$ 的序列，都得到 $\ell^\infty$ 中的一个点；任意两个不同的这种序列之间的最大范数距离都是 $1$。这样的点有不可数多个，不可能由可数集合稠密逼近。

---

6. 有界函数空间

6.1 $B(S)$

设 $S$ 为任意非空集合。定义

$$B(S) = \{f:S\to\mathbb K:f\text{ 有界}\},$$

并赋予上确界范数

$$\|f\|_\infty=\sup_{x\in S}|f(x)|.$$

定理
$B(S)$ 是 Banach 空间。

其完备性的核心是：一致 Cauchy 的有界函数列逐点存在极限，而且收敛实际上是一致的，极限仍然有界。

6.2 $C_b(S)$

若 $S$ 是拓扑空间，定义

$$C_b(S) = \{f:S\to\mathbb K:f\text{ 连续且有界}\}.$$

在上确界范数下，$C_b(S)$ 是 $B(S)$ 的闭子空间，因此是 Banach 空间。

这里使用了连续函数列一致收敛时，其极限仍连续这一结论。

---

7. 连续函数空间

7.1 $C(K)$

设 $K$ 是紧空间。每个连续函数 $f:K\to\mathbb K$ 都有界，因此定义

$$C(K)=\{f:K\to\mathbb K:f\text{ 连续}\}$$

和范数

$$\|f\|_\infty=\max_{x\in K}|f(x)|.$$

定理
$C(K)$ 在上确界范数下是 Banach 空间。

特别地，

$$C[a,b]$$

是 Banach 空间。

7.2 一致范数的含义

在 $C(K)$ 中，

$$\|f_n-f\|_\infty\to0$$

等价于 $f_n$ 一致收敛到 $f$。

因此 $C(K)$ 的完备性正是：

连续函数的一致 Cauchy 列一致收敛到连续函数。

7.3 多项式子空间

设 $\mathcal P[a,b]$ 是 $[a,b]$ 上所有多项式组成的空间，并使用上确界范数。

由 Weierstrass 逼近定理，

$$\overline{\mathcal P[a,b]}^{\,\|\cdot\|_\infty} =C[a,b].$$

因此 $\mathcal P[a,b]$ 在 $C[a,b]$ 中稠密，但不是闭集，也不是 Banach 空间；其完备化是 $C[a,b]$。

---

8. 可微函数空间

8.1 $C^m[a,b]$

定义

$$C^m[a,b] = \{f:[a,b]\to\mathbb K: f,f',\ldots,f^{(m)}\text{ 连续}\}.$$

赋予范数

$$\|f\|_{C^m} = \sum_{k=0}^m\|f^{(k)}\|_\infty.$$

定理
$C^m[a,b]$ 在 $\|\cdot\|_{C^m}$ 下是 Banach 空间。

也可以使用等价范数

$$\|f\|'_{C^m} = \max_{0\le k\le m}\|f^{(k)}\|_\infty.$$

8.2 为什么只用一致范数不够

$C^1[-1,1]$ 如果只赋予

$$\|f\|_\infty =\max_{x\in[-1,1]}|f(x)|$$

就不是完备空间。

例如

$$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1n}$$

属于 $C^1[-1,1]$，并且

$$\|f_n-|x|\|_\infty=\frac1{\sqrt n}\to0.$$

但极限函数 $|x|$ 在 $x=0$ 处不可微，不属于 $C^1[-1,1]$。

这说明空间是否完备不仅取决于元素集合，也取决于所选范数。$\|\cdot\|_{C^1}$ 同时控制函数和导数，能够阻止上述极限离开空间。

---

9. $L^p$ 空间在泛函分析中的位置

$L^p$ 空间的定义、Hölder 不等式、Minkowski 不等式、完备性、稠密性和对偶性已经在实变函数 07：$L^p$ 空间中整理。

这里只记录泛函分析中最常使用的结论。

Riesz–Fischer 完备性定理
对任意测度空间和

$$1\le p\le\infty,$$

$L^p$ 都是 Banach 空间。

其中：

• $L^p$ 的元素是几乎处处相等意义下的等价类；
• $1\le p<\infty$ 时使用积分范数；
• $p=\infty$ 时使用本质上确界范数；
• $L^2$ 的标准范数来自内积，因此 $L^2$ 还是 Hilbert 空间；
• 一般 $p\ne2$ 时，$L^p$ 的标准范数不来自内积。

泛函分析后续讨论对偶空间、弱收敛和自反性时，会直接使用这些结论。

---

10. 常见 Banach 空间对照

空间	元素	范数	是否可分
$\ell^p,\ 1\le p<\infty$	$p$ 次可和序列	$\left(\sum	x_n
$\ell^\infty$	有界序列	$\sup_n	x_n
$c_0$	收敛到 $0$ 的序列	$\sup_n	x_n
$c$	收敛序列	$\sup_n	x_n
$B(S)$	$S$ 上有界函数	$\sup_{x\in S}	f(x)
$C(K)$	紧空间上的连续函数	$\max_{x\in K}	f(x)
$C^m[a,b]$	$m$ 次连续可微函数	$\sum_{k=0}^m\|f^{(k)}\|_\infty$	是
$L^p$	可测函数的等价类	$L^p$ 范数	依赖测度空间

表中的可分性结论需要相应的常见假设。例如一般测度空间上的 $L^p$ 未必可分，而 Euclid 空间中 Lebesgue 测度下的有限指数 $L^p$ 通常可分。

---

11. 常见非完备空间

11.1 有限支撑序列

$c_{00}$ 在最大范数下不完备，其完备化为 $c_0$。

11.2 多项式空间

$\mathcal P[a,b]$ 在一致范数下不完备，其完备化为 $C[a,b]$。

11.3 使用过弱范数的可微函数空间

$C^1[a,b]$ 在 $\|\cdot\|_\infty$ 下不完备，但在

$$\|f\|_{C^1} =\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$$

下完备。

这些例子体现了同一种现象：Cauchy 点列的极限存在于更大的空间中，却不再满足原空间的额外条件。

---

12. 概念辨析

12.1 Banach 空间与有限维空间

每个有限维赋范空间都是 Banach 空间，但 Banach 空间可以是无限维的，例如 $\ell^p$、$C[a,b]$ 和 $L^p$。

12.2 完备与紧致

Banach 空间只要求 Cauchy 点列收敛，不要求每个有界点列都有收敛子列。

无限维 Banach 空间的闭单位球完备且有界，但不紧。

12.3 $\ell^p$ 与 $L^p$

• $\ell^p$ 使用可数求和，可以看作计数测度下的 $L^p$；
• 一般 $L^p$ 使用积分；
• 对序列空间，$p<q$ 时 $\ell^p\subseteq\ell^q$；
• 对有限测度空间，$p<q$ 时通常是 $L^q\subseteq L^p$。

12.4 完备性依赖范数

同一个线性空间在一个范数下可能完备，在另一个不等价范数下可能不完备。

但等价范数总是同时完备或同时不完备。

---

13. 本篇要点

1. Banach 空间是完备的赋范线性空间。
2. 一个赋范空间是 Banach 空间，当且仅当绝对收敛的向量级数总收敛。
3. Banach 空间的线性子空间完备，当且仅当它是闭子空间。
4. $\ell^p$、$\ell^\infty$、$c_0$ 和 $c$ 都是 Banach 空间，$c_{00}$ 不是。
5. 当 $p<q$ 时有 $\ell^p\subseteq\ell^q$，这一方向不能与有限测度空间上的 $L^p$ 混淆。
6. $B(S)$、$C_b(S)$ 和 $C(K)$ 在上确界范数下都是 Banach 空间。
7. $C^m[a,b]$ 需要使用同时控制各阶导数的范数才能保证完备。
8. 每个 $L^p$ 都是 Banach 空间，而标准范数只有在 $p=2$ 时来自内积。

至此，泛函分析第一部分已经完成：

$$\text{度量空间} \longrightarrow \text{完备性与紧致性} \longrightarrow \text{赋范线性空间} \longrightarrow \text{Banach 空间}.$$

下一篇将进入第二部分，整理有界线性算子、算子范数以及算子空间。

---

参考教材

1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
3. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
4. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
5. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.