泛函分析 03：赋范线性空间

度量空间只要求集合中的点能够比较距离。泛函分析还需要对这些点进行加法和数乘，因此研究对象通常同时具有线性结构和度量结构。

范数用一个非负数描述向量的大小，并通过

d(x,y)=\|x-y\|

产生与线性运算相容的度量。赋范线性空间由此成为泛函分析最基本的空间。

本文约定：

$\mathbb K$ 表示实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$ ；
$X$ 表示 $\mathbb K$ 上的线性空间；
除非特别说明，子空间均指线性子空间。

1. 线性空间

1.1 定义

定义（线性空间）
若非空集合 $X$ 上定义了向量加法

X\times X\to X,\qquad (x,y)\mapsto x+y,

以及标量乘法

\mathbb K\times X\to X,\qquad (\alpha,x)\mapsto\alpha x,

并满足加法交换律、结合律、零元与负元、公理

\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y,

(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x,

(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x),\qquad 1x=x,

则称 $X$ 是 $\mathbb K$ 上的线性空间。

1.2 线性组合与张成

向量 $x_1,\ldots,x_n\in X$ 的线性组合是

\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n.

集合 $A\subseteq X$ 的线性张成记作

\operatorname{span}A,

它是包含 $A$ 的最小线性子空间。

若 $X$ 存在有限基，则称 $X$ 是有限维空间，基中向量个数称为 $\dim X$ ；否则称为无限维空间。

2. 范数

2.1 范数的定义

定义（范数）
映射

\|\cdot\|:X\to[0,+\infty)

称为 $X$ 上的范数，如果对任意 $x,y\in X$ 和 $\alpha\in\mathbb K$ 满足：

正定性
$\|x\|\ge0,\qquad \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0;$
绝对齐次性
$\|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|;$
三角不等式
$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|.$

二元组 $(X,\|\cdot\|)$ 称为赋范线性空间，简称赋范空间。

2.2 范数的基本不等式

由三角不等式可得反三角不等式

\bigl|\|x\|-\|y\|\bigr| \le\|x-y\|.

因此范数函数

x\mapsto\|x\|

是 $1$ -Lipschitz 连续的。

特别地，若 $x_n\to x$ ，则

\|x_n\|\to\|x\|.

2.3 范数诱导的度量

定义

d(x,y)=\|x-y\|,

则 $d$ 是 $X$ 上的度量，并且满足平移不变性与齐次性：

d(x+z,y+z)=d(x,y),

d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha|d(x,y).

并非每个度量都能由范数诱导。范数诱导的度量必须与线性结构满足上述相容关系。

3. 半范数

3.1 定义

定义（半范数）
若映射 $p:X\to[0,+\infty)$ 满足

p(\alpha x)=|\alpha|p(x),

以及

p(x+y)\le p(x)+p(y),

则称 $p$ 是半范数。

半范数允许非零向量满足 $p(x)=0$ ，因此它不一定能区分不同向量。

3.2 零空间与商空间

令

N_p=\{x\in X:p(x)=0\}.

则 $N_p$ 是线性子空间。半范数 $p$ 在商空间 $X/N_p$ 上诱导范数

\|x+N_p\|=p(x).

这说明从半范数得到范数通常需要把“距离为零”的元素视为同一个元素。

$L^p$ 空间把几乎处处相等的函数归入同一个等价类，正是这种思想的重要例子。

4. 有限维空间中的常见范数

对 $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb K^n$ ，常见范数包括：

4.1 $1$ -范数

\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_k|.

4.2 $2$ -范数

\|x\|_2 = \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^2\right)^{1/2}.

4.3 最大范数

\|x\|_\infty=\max_{1\le k\le n}|x_k|.

更一般地，当 $1\le p<\infty$ 时，

\|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}.

这些范数满足

\|x\|_\infty \le \|x\|_p \le n^{1/p}\|x\|_\infty.

因此它们给出相同的收敛、开集和闭集，但单位球的几何形状不同。

5. 范数收敛与 Cauchy 点列

5.1 范数收敛

定义
点列 $\{x_n\}\subseteq X$ 收敛到 $x\in X$ ，是指

\|x_n-x\|\to0.

通常称其为范数收敛或强收敛，并记作

x_n\xrightarrow{\|\cdot\|}x.

后续引入弱收敛后，“强收敛”一词可以明确区别两种收敛。

5.2 线性运算与极限

定理
若 $x_n\to x$ 、 $y_n\to y$ 、 $\alpha_n\to\alpha$ ，则

x_n+y_n\to x+y,

\alpha_nx_n\to\alpha x.

因此向量加法和标量乘法都是连续映射。

5.3 Cauchy 点列

点列 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 点列，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使 $m,n\ge N$ 时

\|x_m-x_n\|<\varepsilon.

赋范空间不一定完备。完备的赋范空间称为 Banach 空间，将在下一篇集中整理。

6. 向量级数

6.1 收敛

设 $\{x_n\}\subseteq X$ 。向量级数

\sum_{n=1}^{\infty}x_n

称为收敛，如果部分和

s_N=\sum_{n=1}^Nx_n

在范数下收敛。

6.2 Cauchy 准则

级数 $\sum x_n$ 收敛的必要条件是 $x_n\to0$ 。

如果 $X$ 完备，则级数收敛当且仅当对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使对任意 $n\ge m\ge N$ ，

\left\|\sum_{k=m}^nx_k\right\|<\varepsilon.

6.3 绝对收敛

定义（绝对收敛）
若实数级数

\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|

收敛，则称向量级数 $\sum x_n$ 绝对收敛。

由三角不等式，

\left\|\sum_{k=m}^nx_k\right\| \le \sum_{k=m}^n\|x_k\|.

因此在 Banach 空间中，绝对收敛必推出收敛。事实上，这一性质可以反过来刻画 Banach 空间。

7. 子空间与闭包

7.1 线性子空间

非空集合 $M\subseteq X$ 是线性子空间，当且仅当对任意 $x,y\in M$ 和 $\alpha,\beta\in\mathbb K$ ，

\alpha x+\beta y\in M.

在限制度量下， $M$ 本身是赋范空间。

7.2 子空间的闭包

定理
线性子空间 $M$ 的闭包 $\overline M$ 仍然是线性子空间。

如果

\overline M=X,

则称 $M$ 是 $X$ 的稠密线性子空间。

7.3 有限维子空间

定理
赋范空间中的每个有限维线性子空间都是闭集。

因此，有限维真子空间不可能在整个赋范空间中稠密。

无限维子空间则可能不是闭集。例如连续函数空间中的多项式集合通常是稠密的真子空间，但不是闭子空间。

7.4 点到子空间的距离

对非空子空间 $M\subseteq X$ ，定义

d(x,M)=\inf_{y\in M}\|x-y\|.

若 $M$ 是闭子空间，则

d(x,M)=0 \Longleftrightarrow x\in M.

即使 $M$ 闭，最小距离也未必能由某个 $y_0\in M$ 达到。Hilbert 空间中的闭子空间具有最佳逼近，这将由正交投影定理保证。

8. 等价范数

8.1 定义

设 $\|\cdot\|_a$ 和 $\|\cdot\|_b$ 是 $X$ 上的两个范数。若存在常数 $c,C>0$ ，使对任意 $x\in X$ ，

c\|x\|_a \le \|x\|_b \le C\|x\|_a,

则称两个范数等价。

等价范数具有相同的：

收敛点列；
Cauchy 点列；
开集和闭集；
有界集；
完备性。

8.2 有限维范数等价定理

定理
有限维线性空间上的任意两个范数都等价。

因此在有限维空间中，范数的具体选择通常不影响收敛、连续、紧致和完备等定性问题。

8.3 无限维情形

无限维空间上的不同范数一般不等价。

例如在 $C^1[0,1]$ 上考虑

\|f\|_\infty=\max_{x\in[0,1]}|f(x)|

和

\|f\|_{C^1} = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty.

第二个范数能控制导数，第一个不能，因此它们不等价。

9. 凸集、平衡集与吸收集

9.1 凸集

定义（凸集）
集合 $C\subseteq X$ 称为凸集，如果对任意 $x,y\in C$ 和 $t\in[0,1]$ ，

tx+(1-t)y\in C.

也就是说，连接 $x$ 与 $y$ 的线段完全包含在 $C$ 中。

9.2 平衡集

定义（平衡集）
集合 $A\subseteq X$ 称为平衡集，如果

x\in A,\quad |\alpha|\le1 \Longrightarrow \alpha x\in A.

9.3 吸收集

定义（吸收集）
集合 $A\subseteq X$ 称为吸收集，如果对每个 $x\in X$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得当 $|\lambda|\le\delta$ 时，

\lambda x\in A.

等价地，对每个 $x\in X$ ，当标量 $t$ 的模充分大时，都有 $x\in tA$ 。

9.4 单位球

赋范空间的开单位球和闭单位球分别为

B_X=\{x\in X:\|x\|<1\},

\overline B_X=\{x\in X:\|x\|\le1\}.

它们都是凸集和平衡集，开单位球还是吸收集。

范数可以由单位球的几何形状恢复。Hahn–Banach 定理也将借助凸集和半范数表述。

10. Riesz 引理

10.1 定理

定理（Riesz 引理）
设 $M$ 是赋范空间 $X$ 的闭真子空间。对任意 $\alpha\in(0,1)$ ，都存在 $x_\alpha\in X$ ，使

\|x_\alpha\|=1

并且

d(x_\alpha,M)>\alpha.

Riesz 引理说明：闭真子空间外总能找到与整个子空间保持固定距离的单位向量。

10.2 无限维单位球不紧

定理
若 $X$ 是无限维赋范空间，则其闭单位球 $\overline B_X$ 不紧。

利用 Riesz 引理，可以在单位球中递归选出点列 $\{x_n\}$ ，使不同项之间保持统一的正距离，因此没有 Cauchy 子列，也就没有收敛子列。

10.3 有限维性的刻画

对赋范空间 $X$ ，以下条件等价：

$X$ 有限维；
闭单位球 $\overline B_X$ 紧；
$X$ 的每个闭有界子集都紧；
$X$ 是局部紧的，即 $0$ 有紧邻域。

这组结论是有限维与无限维空间之间最重要的分界之一。

11. 有限维赋范空间

设 $\dim X=n$ ， $\{e_1,\ldots,e_n\}$ 是 $X$ 的一组基。坐标映射

T:\mathbb K^n\to X, \qquad T(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) =\sum_{k=1}^n\alpha_ke_k

是线性同构。

定理

$T$ 及 $T^{-1}$ 连续；
$X$ 与 $\mathbb K^n$ 拓扑同构；
$X$ 完备；
$X$ 中闭且有界的集合紧；
$X$ 的有限维子空间闭。

因此有限维线性代数中的许多结论不依赖所选范数。泛函分析真正的新现象主要出现在无限维空间。

12. 概念辨析

12.1 范数与度量

每个范数都诱导度量，但一般度量未必来自范数。范数还必须与加法和数乘相容。

12.2 范数与半范数

范数满足

\|x\|=0\Longrightarrow x=0,

半范数不要求这一点。半范数通常需要通过商掉零空间才能成为范数。

12.3 代数基与可数稠密集

有限维空间由有限基线性张成。无限维可分空间虽然有可数稠密集，但通常不能由可数多个向量作有限线性组合得到整个空间。

因此“可分”不等于“存在可数 Hamel 基”。

12.4 闭单位球与单位球面

闭单位球为

\{x:\|x\|\le1\},

单位球面为

\{x:\|x\|=1\}.

在无限维赋范空间中，两者通常都不紧。

13. 本篇要点

范数给出向量大小，并通过 $\|x-y\|$ 诱导平移不变的度量。
范数收敛与线性运算相容，范数函数本身是连续的。
半范数允许非零元素长度为零，商掉零空间后可得到范数。
赋范空间中的有限维子空间总是闭的。
有限维空间上的任意两个范数等价，且有限维赋范空间自动完备。
凸集、平衡集和吸收集描述单位球的线性几何。
Riesz 引理说明闭真子空间不能逼近所有单位向量。
闭单位球紧当且仅当赋范空间有限维。

下一篇将整理Banach 空间及其典型例子，包括 $\ell^p$ 、 $c_0$ 、 $c$ 、 $\ell^\infty$ 、连续函数空间和已有的 $L^p$ 空间。

参考教材

张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.