泛函分析 02：完备性与紧致性

度量给出了点列收敛的含义，但一个点列“应该收敛”并不保证其极限仍在空间中。完备性排除了这种缺口，紧致性则进一步保证空间中的点列不会无限逃逸或无限分散。

完备性和紧致性是泛函分析中两条不同但密切相关的主线：

• Banach 空间是完备的赋范线性空间；
• Baire 纲定理及其推论依赖完备性；
• 紧算子用有界集像的相对紧致性定义；
• 有限维与无限维空间的关键差异之一，就是闭单位球是否紧致。

本文设 $(X,d)$ 为度量空间，$\mathbb N_+=\{1,2,3,\ldots\}$。

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1. Cauchy 点列

1.1 定义

定义（Cauchy 点列）
点列 $\{x_n\}\subseteq X$ 称为 Cauchy 点列，如果对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $N\in\mathbb N_+$，使得当 $m,n\ge N$ 时，

$$d(x_m,x_n)<\varepsilon.$$

Cauchy 条件只比较点列后面的项，不预先指定极限。

1.2 收敛与 Cauchy

定理
每个收敛点列都是 Cauchy 点列。

反命题一般不成立。例如在通常度量下，

$$x_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$

是 $\mathbb Q$ 中的 Cauchy 点列，但它在 $\mathbb Q$ 中不收敛，因为其极限 $e\notin\mathbb Q$。

这说明“不收敛”可能不是点列自身的问题，而是空间中缺少应有的极限点。

1.3 Cauchy 点列的性质

定理

1. 每个 Cauchy 点列都是有界点列；
2. Cauchy 点列若含有收敛子列，则整个点列收敛到同一个极限；
3. 若两个度量 Lipschitz 等价，则它们具有相同的 Cauchy 点列。

第三条不能仅由“两个度量产生相同开集”推出。Cauchy 性是度量性质，而不仅是拓扑性质。

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2. 完备度量空间

2.1 完备性

定义（完备空间）
若 $X$ 中每个 Cauchy 点列都收敛于 $X$ 中某一点，则称 $(X,d)$ 是完备度量空间。

例如：

• $\mathbb R^n$ 在通常度量下完备；
• $\mathbb C^n$ 在通常度量下完备；
• $\mathbb Q$ 在通常度量下不完备；
• 开区间 $(0,1)$ 在通常度量下不完备。

2.2 子空间的完备性

定理
完备度量空间 $X$ 的子集 $F$ 在限制度量下完备，当且仅当 $F$ 是 $X$ 的闭集。

因此：

• 完备空间的闭子集仍然完备；
• 完备空间的非闭子集一定不完备；
• 一个不完备空间仍然可能含有完备子集。

需要注意，完备子空间在任何度量空间中都是闭集；但“闭子空间完备”要求母空间完备。

2.3 完备性不是纯拓扑性质

同一个集合上的两个度量即使产生相同开集，完备性也可能不同。

例如 $\mathbb R$ 上的通常度量

$$d(x,y)=|x-y|$$

是完备的，而通过同胚 $\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)$ 定义

$$\rho(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$

得到的度量与通常度量产生相同拓扑，但 $(\mathbb R,\rho)$ 不完备。

因此，同胚不保持完备性；满射等距映射保持完备性。

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3. 完备化

3.1 完备化定理

定理（度量空间的完备化）
对任意度量空间 $(X,d)$，都存在完备度量空间 $(\widehat X,\widehat d)$ 和等距映射

$$J:X\to\widehat X,$$

使 $J(X)$ 在 $\widehat X$ 中稠密。

$\widehat X$ 称为 $X$ 的完备化。

在保持 $X$ 的等距嵌入意义下，完备化本质上唯一。

3.2 完备化的直观意义

完备化就是把所有 Cauchy 点列“缺失的极限”补入空间。严格构造通常把 $X$ 中的 Cauchy 点列按

$$\{x_n\}\sim\{y_n\} \Longleftrightarrow d(x_n,y_n)\to0$$

分成等价类，再把每个等价类看作一个新点。

典型例子包括：

$$\widehat{\mathbb Q}=\mathbb R,$$

以及在一致范数下，多项式空间的完备化是相应的连续函数空间。

3.3 稠密子集上的连续延拓

定理
设 $A$ 在度量空间 $X$ 中稠密，$Y$ 完备，$f:A\to Y$ 一致连续。则 $f$ 存在唯一的一致连续延拓

$$\widetilde f:X\to Y.$$

若 $f$ 是 Lipschitz 映射，则延拓保持相同的 Lipschitz 常数。

这个结论经常用于先在简单对象上定义算子，再通过完备性延拓到整个空间。

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4. 闭集套与完备性

4.1 闭集套定理

定理（Cantor 闭集套定理）
度量空间 $X$ 完备，当且仅当每个满足下列条件的非空闭集列

$$F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$$

都有唯一公共点：

1. 每个 $F_n$ 非空且闭；
2. $F_{n+1}\subseteq F_n$；
3. $\operatorname{diam}F_n\to0$。

此时

$$\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n=\{x\}$$

对某个 $x\in X$ 成立。

直径趋于零保证公共点至多一个，完备性保证公共点确实存在。

4.2 与实数区间套的关系

在 $\mathbb R$ 中，若闭区间满足

$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq\cdots, \qquad b_n-a_n\to0,$$

则其交集恰含一个实数。这正是闭集套定理在实数空间中的特殊情形。

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5. 压缩映射原理

5.1 压缩映射

定义（压缩映射）
映射 $T:X\to X$ 称为压缩映射，如果存在常数 $q\in[0,1)$，使对任意 $x,y\in X$，

$$d(Tx,Ty)\le q\,d(x,y).$$

$q$ 称为压缩常数。

5.2 Banach 不动点定理

定理（压缩映射原理）
设 $(X,d)$ 是非空完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射。则：

1. $T$ 存在唯一不动点 $x^*\in X$，即

   $$Tx^*=x^*;$$

2. 对任意初值 $x_0\in X$，迭代

   $$x_{n+1}=Tx_n$$

   都收敛到 $x^*$；

3. 误差满足

   $$d(x_n,x^*)\le q^n d(x_0,x^*);$$

4. 还可以使用后验估计

   $$d(x_n,x^*) \le \frac{q}{1-q}d(x_n,x_{n-1}).$$

压缩映射原理同时给出存在性、唯一性和可计算的迭代方法。

5.3 简单例子

在 $\mathbb R$ 上定义

$$T(x)=\frac{x+1}{2}.$$

则

$$|T(x)-T(y)|=\frac12|x-y|,$$

所以 $T$ 的压缩常数为 $q=1/2$。唯一不动点为 $x^*=1$，并且

$$x_n=1+\frac{x_0-1}{2^n}\to1.$$

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6. 紧致性

6.1 开覆盖与紧集

定义（开覆盖）
设 $K\subseteq X$。若一族开集 $\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 满足

$$K\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda,$$

则称它是 $K$ 的一个开覆盖。

定义（紧集）
若 $K$ 的每个开覆盖都包含有限子覆盖，则称 $K$ 是紧集。

也就是说，存在有限多个指标 $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，使

$$K\subseteq G_{\lambda_1}\cup\cdots\cup G_{\lambda_m}.$$

6.2 紧集的基本性质

定理

1. 紧集的闭子集仍然紧；
2. 度量空间中的紧集一定闭且有界；
3. Hausdorff 空间中，紧集一定闭；度量空间自动是 Hausdorff 空间；
4. 有限个紧集的并集仍然紧；
5. 连续映射把紧集映成紧集。

“闭且有界推出紧”在一般度量空间中不成立。它是有限维 Euclid 空间的特殊性质。

6.3 Heine–Borel 定理

定理（Heine–Borel）
在有限维空间 $\mathbb R^n$ 或 $\mathbb C^n$ 的通常度量下，

$$K\text{ 紧} \Longleftrightarrow K\text{ 闭且有界}.$$

后续将看到，在无限维赋范空间中，闭单位球不是紧集。

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7. 列紧性与相对紧致性

7.1 列紧集

定义（列紧）
集合 $K\subseteq X$ 称为列紧集，如果 $K$ 中任意点列都存在收敛子列，并且子列极限属于 $K$。

定理
在度量空间中，

$$K\text{ 紧} \Longleftrightarrow K\text{ 列紧}.$$

这个等价关系使我们可以用点列研究紧致性。它在一般拓扑空间中不一定成立。

7.2 相对紧集

定义（相对紧）
若集合 $A\subseteq X$ 的闭包 $\overline A$ 是紧集，则称 $A$ 相对紧或预紧。

在度量空间中，$A$ 相对紧当且仅当 $A$ 中每个点列都有一个在 $X$ 中收敛的子列；子列极限不要求属于 $A$。

例如开区间 $(0,1)$ 在 $\mathbb R$ 中不紧，但它相对紧，因为

$$\overline{(0,1)}=[0,1]$$

是紧集。

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8. 全有界性

8.1 $\varepsilon$-网

定义（有限 $\varepsilon$-网）
设 $A\subseteq X$，$\varepsilon>0$。若存在有限个点 $x_1,\ldots,x_m\in X$，使

$$A\subseteq\bigcup_{k=1}^mB(x_k,\varepsilon),$$

则称 $\{x_1,\ldots,x_m\}$ 是 $A$ 的一个有限 $\varepsilon$-网。

网点可以要求属于 $A$，这不改变全有界性的定义。

8.2 全有界集

定义（全有界）
若对任意 $\varepsilon>0$，集合 $A$ 都存在有限 $\varepsilon$-网，则称 $A$ 全有界。

全有界比有界更强：

$$\text{全有界}\Longrightarrow\text{有界}.$$

反向一般不成立。离散度量空间中的无限集合有界，但当 $0<\varepsilon<1$ 时，不存在有限 $\varepsilon$-网，因此不全有界。

8.3 紧致性的度量刻画

定理
对度量空间 $K$，以下条件等价：

1. $K$ 紧；
2. $K$ 列紧；
3. $K$ 完备且全有界。

进一步，集合 $A\subseteq X$ 相对紧，当且仅当它全有界，并且其闭包所在的环境足以补齐极限。特别地，当 $X$ 完备时，

$$A\text{ 相对紧} \Longleftrightarrow A\text{ 全有界}.$$

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9. 紧集上的连续映射

设 $K$ 是紧度量空间，$f:K\to Y$ 连续。

定理

1. $f(K)$ 是紧集；
2. $f$ 一致连续；
3. 若 $f$ 是到另一个度量空间的连续双射，则 $f^{-1}$ 自动连续；
4. 若 $f:K\to\mathbb R$ 连续，则 $f$ 有界并达到最大值和最小值。

最后一条给出

$$\min_{x\in K}f(x),\qquad \max_{x\in K}f(x)$$

的存在性。

如果定义点到非空集合 $A$ 的距离 $d(x,A)$，那么当 $A$ 紧时，对每个 $x\in X$ 都存在 $a_0\in A$，使

$$d(x,A)=d(x,a_0).$$

一般闭集未必能达到这一最小距离；在有限维空间中闭集具有更好的性质，在无限维空间中则需额外条件。

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10. 概念之间的关系

概念	定义关注点	主要结论
Cauchy 点列	后面的项彼此任意接近	不需要预先知道极限
完备空间	每个 Cauchy 点列都在空间内收敛	空间没有度量意义下的缺口
有界集	被一个有限半径球包含	不保证有收敛子列
全有界集	对每个尺度都有有限网	比有界更强
紧集	每个开覆盖有有限子覆盖	在度量空间中等价于列紧
相对紧集	闭包紧	极限可以落在集合边界上

核心关系可以写成

$$\text{紧} \Longleftrightarrow \text{列紧} \Longleftrightarrow \text{完备且全有界}.$$

还应注意：

• 完备是整个度量空间或子空间的性质，紧致可以讨论任意子集；
• 紧集一定完备、闭且有界；
• 闭且有界一般不推出紧；
• 完备且有界一般也不推出紧；
• 相对紧集未必闭，紧集一定闭。

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11. 本篇要点

1. Cauchy 条件只比较点列后面的项，完备性保证其极限仍在空间中。
2. 完备空间的子集完备，当且仅当它是闭集。
3. 每个度量空间都有本质唯一的完备化。
4. 一致连续映射可以从稠密子集唯一延拓到完备值域。
5. 压缩映射原理给出不动点的存在性、唯一性和迭代逼近。
6. 在度量空间中，紧致性与列紧性等价。
7. 紧致性等价于“完备加全有界”，不能只用“闭且有界”代替。
8. 紧集上的连续映射一致连续，实值连续函数达到最大值和最小值。

下一篇将在线性结构上引入范数，整理赋范线性空间、范数等价、凸集以及有限维和无限维空间的区别。

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参考教材

1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
3. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
4. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.