泛函分析 01：导论与度量空间

泛函分析把数学分析中的“函数”看作空间中的点，把微分、积分和极限过程看作空间之间的算子。它研究的核心对象是无限维线性空间及其上的连续线性算子。

为了讨论无限维空间，首先需要把 $\mathbb R^n$ 中的距离、收敛、连续和紧致等概念推广到抽象集合。本篇从度量空间开始，整理后续泛函分析反复使用的基本语言。

除非特别说明：

标量域 $\mathbb K$ 表示 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ ；
$X,Y$ 表示非空集合；
本文只讨论由度量定义的拓扑，不展开一般拓扑空间理论。

1. 泛函分析研究什么

1.1 从有限维到无限维

有限维空间中的向量通常写成

x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb K^n.

在泛函分析中，一个“向量”也可以是一列数或一个函数，例如

x=(x_1,x_2,\ldots),\qquad f:[a,b]\to\mathbb K.

这些对象仍然可以相加和数乘，因此组成线性空间；再赋予合适的距离或范数后，就可以讨论收敛和连续。

1.2 三类基本对象

泛函分析主要研究：

空间：度量空间、赋范线性空间、Banach 空间和 Hilbert 空间；
算子：从一个空间映到另一个空间的映射，特别是线性算子；
泛函：取值为标量的算子，即形如 $f:X\to\mathbb K$ 的映射。

例如，对连续函数 $\varphi$ 定义

F(\varphi)=\int_a^b\varphi(t)\,dt,

则 $F$ 是函数空间上的线性泛函。

2. 度量空间

2.1 度量

定义（度量）
设 $X$ 为非空集合。映射

d:X\times X\to[0,+\infty)

称为 $X$ 上的度量，如果对任意 $x,y,z\in X$ 都满足：

非负性： $d(x,y)\ge0$ ；
正定性： $d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$ ；
对称性： $d(x,y)=d(y,x)$ ；
三角不等式：
$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).$

二元组 $(X,d)$ 称为度量空间。

度量描述空间中两点之间的距离。集合相同而度量不同，得到的收敛和连续概念也可能不同。

2.2 常见度量

例 1：实数上的通常度量

d(x,y)=|x-y|.

例 2：Euclid 度量

对 $x,y\in\mathbb K^n$ ，

d_2(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|^2\right)^{1/2}.

例 3：离散度量

在任意非空集合 $X$ 上定义

d(x,y)= \begin{cases} 0,&x=y,\\ 1,&x\ne y. \end{cases}

则 $d$ 是度量。在离散度量下，每个单点集都是开集，点列收敛当且仅当它最终恒等于极限。

例 4：连续函数之间的距离

对 $f,g\in C[a,b]$ ，定义

d_\infty(f,g) =\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|.

它衡量两个函数在整个区间上的最大偏差。相对于这一度量的收敛就是一致收敛。

2.3 度量的有界化

若 $d$ 是 $X$ 上的度量，则

\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

也是度量，并且总有 $0\le\rho(x,y)<1$ 。

$d$ 与 $\rho$ 产生相同的开集和收敛点列。这说明“空间的度量有界”不等于“空间本身在原度量下有界”，也说明不同度量可以描述相同的拓扑结构。

3. 开球、邻域与有界集

3.1 开球与闭球

设 $(X,d)$ 为度量空间， $x_0\in X$ ， $r>0$ 。

定义（开球）

B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}.

定义（闭球）

\overline B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)\le r\}.

$x_0$ 称为球心， $r$ 称为半径。

“闭球”按不等式 $d(x,x_0)\le r$ 定义。它在度量空间中确实是闭集，但未必等于开球 $B(x_0,r)$ 的闭包。

例如在至少含两个点的离散度量空间中，

B(x_0,1)=\{x_0\},\qquad \overline{B(x_0,1)}=\{x_0\},

但

\overline B(x_0,1)=X.

3.2 邻域

定义（邻域）
若集合 $U\subseteq X$ 包含某个开球 $B(x,r)$ ，则称 $U$ 是点 $x$ 的一个邻域。

邻域不要求自身是开集；它只需要在 $x$ 附近包含一个足够小的开球。

3.3 有界集与直径

定义（有界集）
若存在 $x_0\in X$ 和 $R>0$ ，使

A\subseteq B(x_0,R),

则称 $A\subseteq X$ 有界。

定义（直径）

\operatorname{diam}A =\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.

非空集合 $A$ 有界，当且仅当 $\operatorname{diam}A<\infty$ 。

4. 开集与闭集

4.1 开集

定义（开集）
集合 $G\subseteq X$ 称为开集，如果对任意 $x\in G$ ，都存在 $r>0$ ，使

B(x,r)\subseteq G.

空集和 $X$ 都是开集。

定理（开集的运算）

任意多个开集的并集是开集；
有限多个开集的交集是开集。

无限多个开集的交集未必是开集。例如在 $\mathbb R$ 中，

\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right)=\{0\}.

4.2 闭集

定义（闭集）
集合 $F\subseteq X$ 称为闭集，如果其补集 $X\setminus F$ 是开集。

定理（闭集的运算）

任意多个闭集的交集是闭集；
有限多个闭集的并集是闭集。

一个集合可以既开又闭。例如 $\varnothing$ 和 $X$ 总是既开又闭；在离散度量空间中，每个子集都既开又闭。

4.3 相对开集与相对闭集

设 $A\subseteq X$ 。在 $A$ 上使用限制度量

d_A(x,y)=d(x,y),\qquad x,y\in A,

就得到子空间 $(A,d_A)$ 。

集合 $G\subseteq A$ 在子空间 $A$ 中是开集，当且仅当存在 $X$ 中的开集 $U$ ，使

G=A\cap U.

相对闭集也有类似结论： $F\subseteq A$ 在 $A$ 中闭，当且仅当 $F=A\cap C$ ，其中 $C$ 在 $X$ 中闭。

5. 内部、闭包与边界

5.1 内点与内部

定义（内点）
若存在 $r>0$ 使 $B(x,r)\subseteq A$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的内点。

$A$ 的所有内点组成的集合称为 $A$ 的内部，记作

A^\circ\quad\text{或}\quad\operatorname{int}A.

$A^\circ$ 是包含于 $A$ 的最大开集，并且

A\text{ 是开集}\Longleftrightarrow A=A^\circ.

5.2 聚点与闭包

定义（聚点）
若点 $x$ 的每个邻域都包含 $A$ 中异于 $x$ 的点，则称 $x$ 是 $A$ 的聚点。

$A$ 的所有聚点组成的集合记作 $A'$ 。

定义（闭包）
$A$ 的闭包 $\overline A$ 是包含 $A$ 的最小闭集。

在度量空间中，

\overline A=A\cup A'.

并且

x\in\overline A \Longleftrightarrow \forall r>0,\ B(x,r)\cap A\ne\varnothing.

定理（闭集的点列判定）

F\text{ 是闭集} \Longleftrightarrow \text{$F$ 中每个收敛点列的极限仍属于 $F$}.

5.3 边界

定义（边界）

\partial A=\overline A\setminus A^\circ.

等价地， $x\in\partial A$ 当且仅当 $x$ 的每个邻域既与 $A$ 相交，也与 $X\setminus A$ 相交。

常用关系为

\overline A=A^\circ\cup\partial A,\qquad \partial A=\overline A\cap\overline{X\setminus A}.

6. 点列收敛

6.1 收敛

定义（点列收敛）
设 $\{x_n\}\subseteq X$ ， $x\in X$ 。若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\in\mathbb N_+$ ，使得当 $n\ge N$ 时，

d(x_n,x)<\varepsilon,

则称 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$ ，记作

x_n\to x.

定理（极限的唯一性）
度量空间中的收敛点列至多有一个极限。

定理（收敛点列有界）
每个收敛点列的值域都是有界集。

6.2 子列

若 $n_1<n_2<\cdots$ ，则 $\{x_{n_k}\}$ 称为 $\{x_n\}$ 的子列。

定理
若 $x_n\to x$ ，则每个子列也收敛到 $x$ ：

x_{n_k}\to x.

反过来，如果一个点列的任意子列都能再抽出一个收敛到同一点 $x$ 的子列，则原点列收敛到 $x$ 。

6.3 不同度量下的收敛

设 $d$ 和 $\rho$ 是 $X$ 上的两个度量。如果存在常数 $c,C>0$ ，使

c\,d(x,y)\le\rho(x,y)\le C\,d(x,y),

则 $d$ 与 $\rho$ 称为 Lipschitz 等价度量。此时两种度量具有相同的收敛点列、Cauchy 点列、开集和闭集。

7. 连续映射

7.1 点处连续

定义（连续）
设 $(X,d_X)$ 、 $(Y,d_Y)$ 为度量空间， $f:X\to Y$ 。若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得

d_X(x,x_0)<\delta \Longrightarrow d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon,

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

若 $f$ 在每一点都连续，则称 $f$ 是连续映射。

7.2 连续性的等价刻画

定理
对映射 $f:X\to Y$ ，以下条件等价：

$f$ 连续；
对 $Y$ 中任意开集 $G$ ，原像 $f^{-1}(G)$ 在 $X$ 中开；
对 $Y$ 中任意闭集 $F$ ，原像 $f^{-1}(F)$ 在 $X$ 中闭；
若 $x_n\to x$ ，则 $f(x_n)\to f(x)$ 。

第四条称为连续性的点列判定。

7.3 一致连续与 Lipschitz 连续

定义（一致连续）
若对任意 $\varepsilon>0$ ，存在与点 $x$ 无关的 $\delta>0$ ，使对任意 $x,y\in X$ ，

d_X(x,y)<\delta \Longrightarrow d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon,

则称 $f$ 一致连续。

定义（Lipschitz 连续）
若存在常数 $L\ge0$ ，使

d_Y(f(x),f(y))\le Ld_X(x,y),

则称 $f$ 为 Lipschitz 映射。

三者的关系是

\text{Lipschitz 连续} \Longrightarrow \text{一致连续} \Longrightarrow \text{连续}.

反向一般不成立。

7.4 等距映射与同胚

定义（等距映射）
若

d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)

对任意 $x,y\in X$ 成立，则称 $f$ 为等距映射。等距映射必为单射。

定义（同胚）
若 $f:X\to Y$ 是双射，并且 $f$ 与 $f^{-1}$ 都连续，则称 $f$ 为同胚。

同胚保持开集、闭集、紧致性和连通性等拓扑性质；等距映射还保持距离、Cauchy 性和完备性。

8. 稠密集与可分空间

8.1 稠密集

定义（稠密）
若 $A\subseteq X$ 满足

\overline A=X,

则称 $A$ 在 $X$ 中稠密。

等价地， $A$ 稠密当且仅当每个非空开球都与 $A$ 相交。

例如：

\overline{\mathbb Q}=\mathbb R,

所以 $\mathbb Q$ 在 $\mathbb R$ 中稠密。

8.2 可分空间

定义（可分空间）
若度量空间 $X$ 含有可数稠密子集，则称 $X$ 可分。

$\mathbb R^n$ 是可分空间，因为 $\mathbb Q^n$ 是其可数稠密子集。

可分性意味着整个空间可以由可数多个点任意精细地逼近。它在构造基、研究弱拓扑和把紧致性转化为序列性质时十分重要。

8.3 距离函数

设 $A\subseteq X$ 非空，定义点 $x$ 到集合 $A$ 的距离为

d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a).

定理

|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y).

因此函数 $x\mapsto d(x,A)$ 是 $1$ -Lipschitz 连续的。

并且

d(x,A)=0 \Longleftrightarrow x\in\overline A.

只有当 $A$ 闭时，才能进一步推出 $x\in A$ 。

9. 概念之间的区别

概念	核心含义	是否依赖度量的具体数值
开集	每一点附近都含有小开球	只依赖度量产生的拓扑
闭集	包含自身所有极限点	只依赖拓扑
有界集	能被某个有限半径球包含	依赖具体度量
稠密集	闭包等于整个空间	只依赖拓扑
连续	保持点列极限或开集原像	只依赖拓扑
一致连续	同一个 $\delta$ 对所有点有效	依赖度量
等距	完全保持两点距离	依赖具体度量

特别需要注意：

开集不一定有界，有界集也不一定开或闭；
闭集不等于紧集；
连续不等于一致连续；
$d(x,A)=0$ 不保证存在 $a\in A$ 使 $d(x,a)=0$ ，除非 $A$ 闭。

10. 本篇要点

度量把距离、邻域、收敛和连续推广到抽象集合。
开集由开球刻画，闭集可由补集或收敛点列刻画。
闭包是包含集合的最小闭集，内部是包含于集合的最大开集。
度量空间中的点列极限具有唯一性。
连续性可以用 $\varepsilon$ - $\delta$ 、开集原像或点列极限等价刻画。
一致连续比连续更强，Lipschitz 连续又比一致连续更强。
可分空间含有可数稠密子集，可以由可数信息逼近整个空间。
拓扑性质只依赖开集结构，有界性、Cauchy 性和一致连续性还依赖具体度量。

下一篇将整理Cauchy 点列、完备空间、完备化、压缩映射与紧致性。

参考教材

张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.