复变函数 08：共形映射

共形映射研究在局部保持角度的解析变换。它把复杂区域转换成圆盘、半平面或条带等标准区域，使边值问题、调和函数和流体模型能够在更简单的几何中处理。

本文作为本科复变函数系列的收束篇，整理 Möbius 变换、常用初等映射、标准区域之间的变换、Riemann 映射定理及调和函数应用。

1. 共形映射

1.1 点处保角

若 $f$ 在 $z_0$ 处解析且

f'(z_0)\ne0,

则

f(z_0+\Delta z)-f(z_0) =f'(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|).

局部线性主部 $f'(z_0)$ 表示：

按 $|f'(z_0)|$ 伸缩；
按 $\arg f'(z_0)$ 旋转。

因此 $f$ 在 $z_0$ 保持有向角。

1.2 共形映射与共形等价

定义（共形映射）
若 $f:D\to G$ 是一一的解析映射，并且

f'(z)\ne0,\qquad z\in D,

则称 $f$ 是从区域 $D$ 到区域 $G$ 的共形映射。

此时反函数

f^{-1}:G\to D

也解析，所以 $D$ 与 $G$ 称为共形等价。

对区域间的一一解析映射，导数自动处处非零；否则局部映射重数至少为 $2$ ，与局部单射矛盾。

2. Möbius 变换

2.1 定义

定义（分式线性变换）

T(z)=\frac{az+b}{cz+d},

其中

ad-bc\ne0.

在扩充复平面上约定

T\left(-\frac dc\right)=\infty, \qquad T(\infty)=\frac ac

（当 $c\ne0$ ）。

Möbius 变换是 Riemann 球面到自身的一一共形映射。

2.2 导数与逆变换

T'(z) =\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}.

在有限且有定义的点，导数不为零。

Möbius 变换的逆仍是 Möbius 变换，两个 Möbius 变换的复合也仍是 Möbius 变换。

2.3 矩阵表示

可以用矩阵

\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}

表示 $T$ 。非零常数倍矩阵表示同一个变换，因此 Möbius 变换对应于射影线性群

\operatorname{PGL}(2,\mathbb C).

3. 圆与直线的映射

在扩充复平面中，把普通圆和添加了无穷远点的直线统称为广义圆。

定理
Möbius 变换把广义圆映成广义圆。

更具体地：

若原广义圆经过变换的极点 $-d/c$ ，其像通常是直线；
若不经过该点，其像通常是圆。

判断圆或直线的哪一侧映到目标边界的哪一侧，可以选取一个测试点代入。

例如

w=\frac{z-i}{z+i}

把上半平面

\mathbb H=\{z:\operatorname{Im}z>0\}

映到单位圆盘

\mathbb D=\{w:|w|<1\}.

实轴映到单位圆，点 $z=i$ 映到 $w=0$ ，逆变换为

z=i\frac{1+w}{1-w}.

4. 交比与三点定理

4.1 交比

四个互异点的交比定义为

[z_1,z_2;z_3,z_4] = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)} {(z_1-z_4)(z_2-z_3)}.

当某点为 $\infty$ 时，按极限约去相应因子。

定理
Möbius 变换保持交比：

[T(z_1),T(z_2);T(z_3),T(z_4)] =[z_1,z_2;z_3,z_4].

4.2 三点唯一性

给定扩充复平面上三个互异点

z_1,z_2,z_3

和另外三个互异点

w_1,w_2,w_3,

存在唯一 Möbius 变换满足

T(z_k)=w_k, \qquad k=1,2,3.

实际构造时常把三个边界点依次送到

0,\quad1,\quad\infty,

再通过复合得到目标变换。

5. 标准区域之间的 Möbius 变换

5.1 圆盘到右半平面

变换

w=\frac{1+z}{1-z}

把单位圆盘映到右半平面

\operatorname{Re}w>0.

逆变换为

z=\frac{w-1}{w+1}.

5.2 上半平面到单位圆盘

对任意 $a\in\mathbb H$ ，

w=e^{i\theta} \frac{z-a}{z-\overline a}

把上半平面映到单位圆盘，并把 $a$ 映到 $0$ 。常数 $e^{i\theta}$ 只改变目标圆盘中的旋转。

5.3 圆盘自同构

单位圆盘的全部共形自同构为

\varphi(z) =e^{i\theta} \frac{z-a}{1-\overline a z}, \qquad |a|<1.

它把 $a$ 映到 $0$ 。

5.4 上半平面自同构

上半平面的全部共形自同构为

T(z)=\frac{az+b}{cz+d},

其中 $a,b,c,d\in\mathbb R$ 且

ad-bc>0.

6. 常用初等共形映射

6.1 线性变换

w=az+b,\qquad a\ne0,

表示旋转、伸缩和平移，可以把直线、圆、半平面和圆盘转换到标准位置。

6.2 反演

w=\frac1z

把圆与直线互换，并交换 $0$ 与 $\infty$ 。其辐角变为相反数：

\arg w=-\arg z.

6.3 幂函数

w=z^\alpha

在选定分支后把角域的张角乘以 $\alpha$ 。

特别地，

w=z^{\pi/\beta}

可以把张角为 $\beta$ 的角域映到上半平面。

6.4 指数与对数

w=e^z

把水平条带

\alpha<\operatorname{Im}z<\alpha+2\pi

映到带有相应支割的平面，并把竖直平移转化为径向伸缩。

对数分支

w=\operatorname{Log}z

则把角域映到水平条带，把选定支割后的圆环映到竖直条带。完整圆环围绕原点，不能在其上定义全局单值的对数分支。

7. 区域映射的组合方法

复杂区域通常通过若干基本映射逐步化为标准区域。例如：

\text{圆盘} \longrightarrow \text{半平面} \longrightarrow \text{角域} \longrightarrow \text{条带}.

构造时应逐步检查：

边界各段的像；
区域内部测试点的像；
是否选对幂函数或对数的分支；
映射是否一一；
最终区域的方向和尺度是否符合要求。

只检查边界形状不足以证明区域映射正确；还必须确定边界哪一侧对应目标内部。

8. Joukowski 变换

定义

w=\frac12\left(z+\frac1z\right).

当

z=re^{i\theta}

时，

w =\frac12\left(r+\frac1r\right)\cos\theta +\frac i2\left(r-\frac1r\right)\sin\theta.

因此圆 $|z|=r$ 的像是椭圆。

在单位圆 $z=e^{i\theta}$ 上，

w=\cos\theta,

所以单位圆映到线段 $[-1,1]$ 。

Joukowski 变换把单位圆外部

|z|>1

一一共形地映到割平面

\mathbb C\setminus[-1,1].

它在经典势流和翼型理论中有重要应用。

9. Schwarz 引理与圆盘自同构

若

f:\mathbb D\to\mathbb D

解析且 $f(0)=0$ ，则 Schwarz 引理给出

|f(z)|\le|z|, \qquad |f'(0)|\le1.

等号情形只能是旋转

f(z)=e^{i\theta}z.

对一般点 $a\in\mathbb D$ ，先使用圆盘自同构把 $a$ 和 $f(a)$ 移到原点，再使用 Schwarz 引理，就得到 Schwarz–Pick 不等式。

由此可以证明单位圆盘全部自同构恰为

e^{i\theta} \frac{z-a}{1-\overline a z}.

10. Riemann 映射定理

定理（Riemann 映射定理）
设 $D$ 是复平面中的非空单连通真区域，即

D\ne\mathbb C.

则存在从 $D$ 到单位圆盘 $\mathbb D$ 的一一共形映射。

因此，从共形结构看，所有非空单连通真区域都与单位圆盘等价。

10.1 归一化唯一性

固定 $z_0\in D$ 。若要求

f(z_0)=0, \qquad f'(z_0)>0,

则 Riemann 映射唯一。

若只要求 $f(z_0)=0$ ，则仍可与任意圆盘旋转复合，因此相差一个因子 $e^{i\theta}$ 。

10.2 为什么排除整个复平面

不存在从 $\mathbb C$ 到 $\mathbb D$ 的一一共形映射。否则该映射将是有界整函数，由 Liouville 定理只能是常数。

10.3 边界延拓

Riemann 映射定理本身只保证区域内部的映射。

定理（Carathéodory）
若 $D$ 是 Jordan 区域，则 Riemann 映射可以连续且一一地延拓到边界，从而给出闭圆盘与 $\overline D$ 之间的同胚。

一般区域的边界可能很不规则，不能自动断言映射在边界上连续或一一。

11. Schwarz–Christoffel 变换

Schwarz–Christoffel 公式把上半平面映到多边形内部。

设多边形顶点的内角为

\alpha_k\pi,

实轴上的预顶点为 $x_k$ 。典型形式为

f(z) =A+C \int^z \prod_{k=1}^n (\zeta-x_k)^{\alpha_k-1} \,d\zeta.

其中 $A,C$ 以及预顶点 $x_k$ 需要由目标多边形的几何条件确定。

指数 $\alpha_k-1$ 反映顶点处的转角。该公式是把矩形、三角形和一般多边形化为半平面的基本工具。

12. Poisson 积分公式

设单位圆周上给定连续实函数 $\varphi$ 。单位圆盘内的调和延拓为

u(re^{i\theta}) =\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\theta-t)\varphi(t)\,dt,

其中

P_r(\psi) =\frac{1-r^2} {1-2r\cos\psi+r^2}

称为 Poisson 核。

该函数满足：

$u$ 在 $\mathbb D$ 内调和；
当 $r\to1^-$ 时， $u(re^{i\theta})$ 在适当意义下趋于边界值 $\varphi(\theta)$ ；
$P_r(\psi)>0$ ；

\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi}P_r(\psi)\,d\psi=1.

通过共形映射，可以把其他单连通区域上的 Dirichlet 边值问题转化到单位圆盘上求解。

13. 共形不变量与应用

共形映射保持：

局部角度及其方向；
调和性：若 $u$ 调和、 $f$ 共形，则 $u\circ f$ 在适当区域仍调和；
单连通性；
曲线族的许多极值性质；
复结构和解析函数关系。

但它通常不保持：

Euclid 长度；
面积；
曲率；
一般距离。

局部长度和面积分别按

|f'(z)|

与

|f'(z)|^2

缩放。

14. 常见误区

14.1 解析函数不一定处处保角

必须有

f'(z_0)\ne0.

例如 $z^2$ 在原点解析但不保角。

14.2 边界映对不等于区域映对

还应选取内部测试点，判断边界哪一侧映到目标内部。

14.3 Möbius 变换的系数不唯一

矩阵乘以任意非零常数表示同一个变换。

14.4 幂函数和对数必须选分支

在非单连通区域中，非整数幂或对数可能无法定义为全局单值解析函数。

14.5 Riemann 映射定理不适用于复连通区域

圆环不能一一共形地映到单位圆盘，因为单连通性在共形映射下保持。

14.6 Riemann 映射不自动延拓到边界

边界延拓需要额外正则性；Jordan 区域可以使用 Carathéodory 定理。

14.7 共形映射不保持长度和面积

它保持角度，但局部尺度由 $|f'|$ 改变。

15. 本篇要点

一一解析映射是共形映射，其反函数也解析。
Möbius 变换是 Riemann 球面的全部共形自同构。
Möbius 变换保持交比，并把广义圆映成广义圆。
三个不同点的像唯一确定一个 Möbius 变换。
圆盘、半平面之间的标准变换及其自同构都可显式写出。
线性、反演、幂、指数和对数映射可以通过复合处理多种标准区域。
Joukowski 变换把单位圆外部映到线段割开的平面。
Riemann 映射定理说明每个非空单连通真区域都与单位圆盘共形等价。
Schwarz–Christoffel 公式处理多边形区域，Poisson 公式处理圆盘上的调和边值问题。
共形映射保持角度与调和结构，但通常不保持长度和面积。

至此，本系列已经覆盖本科复变函数课程的核心内容：

\text{复数与复函数} \to \text{解析函数} \to \text{复积分与 Cauchy 理论} \to \text{级数与奇点} \to \text{留数与根数} \to \text{共形映射}.

后续若继续扩展，可以整理 解析延拓、无穷乘积、Mittag–Leffler 定理、Gamma 函数与 Riemann $\zeta$ 函数。

参考教材

钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.