复变函数 07：辐角原理与 Rouché 定理

留数定理不仅可以计算积分，还可以计算解析函数的零点数。关键是对数导数

\frac{f'}f,

它在每个 $m$ 阶零点产生留数 $m$ ，在每个 $m$ 阶极点产生留数 $-m$ 。

本文整理辐角原理、Rouché 定理及其常用推论。这些定理关心的是“区域内有多少个根”，通常不需要把根显式求出。

1. 零点与极点的阶数

1.1 零点阶数

若 $f$ 在 $a$ 附近解析，并且

f(z)=(z-a)^m g(z), \qquad g(a)\ne0,

则称 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶零点。

等价地，

f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0, \qquad f^{(m)}(a)\ne0.

1.2 极点阶数

若

f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m}, \qquad g(a)\ne0,

则 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶极点。

零点和极点的阶数都按重数计数。辐角原理中的 $N$ 与 $P$ 始终是带重数的总数。

2. 对数导数

2.1 定义

在 $f(z)\ne0$ 的区域内，

\frac{f'(z)}{f(z)}

称为 $f$ 的对数导数，因为在选定解析对数分支后，

\frac{d}{dz}\log f(z) =\frac{f'(z)}{f(z)}.

2.2 零点处的留数

若 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶零点，则

\frac{f'(z)}{f(z)} =\frac{m}{z-a} +\frac{g'(z)}{g(z)},

所以

\operatorname{Res} \left(\frac{f'}f,a\right)=m.

2.3 极点处的留数

若 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶极点，则

\operatorname{Res} \left(\frac{f'}f,a\right)=-m.

因此对数导数把零点记为正数、极点记为负数。

3. 辐角原理

3.1 定理

定理（辐角原理）
设 $f$ 在正向简单闭曲线 $\gamma$ 上无零点和极点，并在 $\gamma$ 及其内部亚纯。记内部零点总数为 $N$ 、极点总数为 $P$ ，均按重数计，则

\frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz =N-P.

3.2 辐角变化形式

沿 $\gamma$ 走一周时，像曲线 $f(\gamma)$ 绕原点的圈数为

\operatorname{Ind}(f\circ\gamma,0) =N-P.

因此

\Delta_\gamma\arg f(z) =2\pi(N-P).

“辐角原理”这个名称正来源于此：函数值总辐角的变化记录了零点与极点数之差。

3.3 加权形式

若 $g$ 在同一区域内解析，则

\frac1{2\pi i} \int_\gamma g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = \sum_{f(a_k)=0}m_k g(a_k) - \sum_{f\text{ 在 }b_j\text{ 有极点}}n_j g(b_j).

取 $g(z)=z^r$ 可以得到零点和极点幂和的信息。

4. Rouché 定理

定理（Rouché）
设 $f,g$ 在正向简单闭曲线 $\gamma$ 及其内部解析。若在 $\gamma$ 上

|g(z)|<|f(z)|,

则 $f$ 与 $f+g$ 在 $\gamma$ 内部具有相同数目的零点，按重数计。

更对称地，若

|f(z)-g(z)| <|f(z)|+|g(z)|

在边界上成立，则 $f$ 与 $g$ 的内部零点数相同。

Rouché 定理只比较边界上的模，却能确定整个内部的零点总数。

5. 如何选择主导项

使用 Rouché 定理时，通常将待研究函数写成

F=f+g,

其中：

$f$ 的零点容易计数；
在所选边界上容易证明 $|g|<|f|$ 。

常见选择包括：

在大圆上选最高次项；
在小圆上选最低次非零项；
某个中间圆上选系数明显最大的单项；
选择一个零点结构已知的简单函数，而不一定是单项。

不等式必须在整个边界上严格成立，而不是只在部分点成立。

6. 两个根数例子

6.1 单位圆内的三个零点

考虑

F(z)=z^7-5z^3+2.

在 $|z|=1$ 上，

|-5z^3|=5,

而

|z^7+2| \le |z|^7+2=3.

由 Rouché 定理， $F$ 与 $-5z^3$ 在单位圆内零点数相同。因此 $F$ 在

|z|<1

内恰有三个零点，按重数计。

6.2 单位圆内的一个零点

考虑

F(z)=z^5+10z+1.

在 $|z|=1$ 上，

|10z|=10,

|z^5+1|\le2.

所以 $F$ 与 $10z$ 在单位圆内零点数相同，即恰有一个零点。

7. 代数基本定理的 Rouché 形式

设

P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0, \qquad a_n\ne0.

当 $R$ 足够大时，在 $|z|=R$ 上，

|a_nz^n| > |a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0|.

由 Rouché 定理， $P$ 与 $a_nz^n$ 在 $|z|<R$ 内都有 $n$ 个零点。

因此每个 $n$ 次复多项式恰有 $n$ 个复零点，按重数计。

8. 多项式根的位置估计

8.1 Cauchy 根界

设

P(z)=a_nz^n+\cdots+a_0, \qquad a_n\ne0.

所有零点均满足

|z| \le 1+\max_{0\le k<n} \left|\frac{a_k}{a_n}\right|.

这个圆盘称为一种 Cauchy 根界。

8.2 环形根界

分别对 $P(z)$ 与倒数多项式

z^nP(1/z)

使用根界，可以得到

r\le|z|\le R

形式的环形估计。

Rouché 定理还能通过改变比较圆的半径，判断不同环带中分别包含多少个零点。

9. 根数随扰动的稳定性

设 $f$ 在 $\gamma$ 及其内部解析，并且在边界上无零点。若扰动 $g$ 满足

|g(z)|<|f(z)|, \qquad z\in\gamma,

则 $f$ 与 $f+g$ 的内部零点总数相同。

因此，只要扰动在边界上足够小，区域内部的零点可能移动或分裂，但按重数计算的总数不会改变。

这一观点是 Rouché 定理在数值分析、特征值扰动和稳定性理论中的基本意义。

10. Hurwitz 定理

定理（Hurwitz）
设 $f_n$ 在区域 $D$ 上解析、无零点，并且在 $D$ 上内闭一致收敛于 $f$ 。则：

f\equiv0,

或者 $f$ 在 $D$ 上无零点。

另一个常用表述是：若 $f_n\to f$ 内闭一致， $f\not\equiv0$ ，且 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶零点，则在 $a$ 的充分小邻域内， $f_n$ 从某一项起恰有 $m$ 个零点，按重数计。

Hurwitz 定理可以看作 Rouché 定理对解析函数列的应用。

11. 局部映射的重数

若 $f$ 在 $z_0$ 附近解析，并且

f(z)-f(z_0) =(z-z_0)^m g(z), \qquad g(z_0)\ne0,

则称 $f$ 在 $z_0$ 的局部重数为 $m$ 。

当 $m=1$ 时，

f'(z_0)\ne0,

$f$ 在 $z_0$ 附近局部一一对应。

当 $m>1$ 时，

f'(z_0)=0,

对充分接近但不等于 $f(z_0)$ 的值 $w$ ，方程

f(z)=w

在 $z_0$ 附近恰有 $m$ 个解，按重数计。

这说明零点阶数同时描述局部映射覆盖目标邻域的次数。

12. 辐角原理与 Rouché 定理的区别

方法	输入	输出	适合情形
辐角原理	$f'/f$ 的围道积分或像曲线辐角变化	零点数减极点数	能直接分析辐角或计算积分
Rouché 定理	边界上的模不等式	两个函数零点数相同	存在明显主导项
留数定理	各孤立奇点的留数	围道积分	局部 Laurent 系数容易计算

Rouché 定理本质上是辐角原理的稳定性结论，但实际使用时通常比直接计算 $f'/f$ 更简单。

13. 常见误区

13.1 零点和极点必须按重数计

二阶零点对 $N$ 的贡献是 $2$ ，二阶极点对 $P$ 的贡献也是 $2$ 。

13.2 曲线上不能有零点或极点

否则 $f'/f$ 在积分路径上出现奇点，辐角变化也可能失去定义。

13.3 Rouché 不等式必须严格

条件是

|g|<|f|,

不是 $\le$ 。若边界某点取等号，需要更换比较函数、边界或使用其他方法。

13.4 比较的是内部根数，不是根的位置

Rouché 定理告诉我们零点总数相同，并不说明两个函数的零点逐一相等。

13.5 解析区域必须覆盖曲线内部

如果比较函数在内部存在未处理的极点，就不能直接使用只计零点的 Rouché 形式。

13.6 辐角变化必须连续跟踪

主辐角在支割处会跳跃。计算 $\Delta\arg f$ 时应沿曲线连续选取辐角，而不是简单用终点主辐角减起点主辐角。

14. 本篇要点

对数导数在 $m$ 阶零点的留数为 $m$ ，在 $m$ 阶极点的留数为 $-m$ 。
辐角原理用 $f'/f$ 的围道积分计算零点数与极点数之差。
像曲线 $f(\gamma)$ 绕原点的圈数等于 $N-P$ 。
Rouché 定理通过边界上的严格模不等式保持内部零点总数。
大圆上通常由最高次项主导，小圆上通常由最低次非零项主导。
Rouché 定理可以证明代数基本定理并估计多项式根的位置。
小扰动不会改变边界内按重数计算的零点总数。
Hurwitz 定理描述局部一致极限下零点的稳定性。
解析函数在临界点附近的局部映射重数由首个非零 Taylor 项决定。

下一篇将整理 Möbius 变换、标准区域之间的共形映射以及 Riemann 映射定理。

参考教材

钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.