复变函数 06：留数定理与实积分

留数把围道内每个孤立奇点对积分的贡献压缩成一个复数。利用留数定理，复杂的闭路积分可以化成有限个局部系数之和，许多实积分也由此转化为代数计算。

本文先整理留数及其计算公式，再归纳本科课程中常见的围道积分类型。重点是适用条件和方法选择，而不是展开证明。

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1. 留数

1.1 定义

设 $a$ 是 $f$ 的孤立奇点，Laurent 展开为

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n.$$

定义（留数）
系数 $c_{-1}$ 称为 $f$ 在 $a$ 点的留数，记作

$$\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}.$$

1.2 积分表示

若小圆 $|z-a|=\rho$ 内不含其他奇点，则

$$\operatorname{Res}(f,a) =\frac1{2\pi i} \int_{|z-a|=\rho}f(z)\,dz.$$

因此

$$\int_{|z-a|=\rho}f(z)\,dz =2\pi i\,\operatorname{Res}(f,a).$$

留数是孤立奇点对局部闭路积分的全部贡献。

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2. 留数的计算

2.1 可去奇点

若 $a$ 是可去奇点，则 Laurent 展开没有负幂项，所以

$$\operatorname{Res}(f,a)=0.$$

反之，留数为零并不保证奇点可去；例如 $1/z^2$ 在原点留数为零，但原点是二阶极点。

2.2 简单极点

若 $a$ 是简单极点，则

$$\operatorname{Res}(f,a) =\lim_{z\to a}(z-a)f(z).$$

若

$$f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)},$$

$\varphi,\psi$ 在 $a$ 附近解析，并且

$$\psi(a)=0,\qquad \psi'(a)\ne0,$$

则

$$\operatorname{Res}(f,a) =\frac{\varphi(a)}{\psi'(a)}.$$

2.3 高阶极点

若 $a$ 是 $m$ 阶极点，则

$$\operatorname{Res}(f,a) =\frac1{(m-1)!} \lim_{z\to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-a)^m f(z)\right].$$

例如，

$$f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^3}$$

在 $z=1$ 有三阶极点，并且

$$\operatorname{Res}(f,1) =\frac1{2!} \left.\frac{d^2}{dz^2}e^z\right|_{z=1} =\frac e2.$$

2.4 通过展开取系数

若函数由指数、三角函数或已知级数组成，直接展开并寻找 $(z-a)^{-1}$ 项往往更方便。

例如，

$$\frac{e^z}{z^3} =\frac1{z^3}+\frac1{z^2} +\frac1{2z}+\frac1{3!}+\cdots,$$

所以

$$\operatorname{Res}\left(\frac{e^z}{z^3},0\right) =\frac12.$$

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3. 留数定理

定理（留数定理）
设 $f$ 在正向简单闭曲线 $\gamma$ 及其内部除有限个孤立奇点

$$a_1,\ldots,a_n$$

外解析，并且这些奇点均不在曲线上，则

$$\int_\gamma f(z)\,dz =2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f,a_k).$$

更一般地，对任意适当闭曲线，

$$\int_\gamma f(z)\,dz =2\pi i \sum_k \operatorname{Ind}(\gamma,a_k) \operatorname{Res}(f,a_k).$$

因此只有绕数不为零的奇点才对积分产生贡献。

3.1 使用流程

计算闭路积分时通常按以下顺序：

1. 找出被积函数的全部奇点；
2. 判断哪些奇点位于围道内部；
3. 确认围道上没有奇点；
4. 计算内部各奇点的留数；
5. 乘以 $2\pi i$ 并求和；
6. 若围道不是正向或有多重绕行，再修正方向与绕数。

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4. 无穷远点的留数

4.1 定义

若 $f$ 在充分大的 $|z|$ 外亚纯，则定义

$$\operatorname{Res}(f,\infty) =-\operatorname{Res} \left( \frac1{w^2}f\left(\frac1w\right),0 \right).$$

等价地，若 $f$ 在无穷远处有 Laurent 展开

$$f(z)=\cdots+\frac{c_{-1}}z+\frac{c_{-2}}{z^2}+\cdots,$$

则

$$\operatorname{Res}(f,\infty)=-c_{-1}.$$

4.2 球面上的留数和

定理
Riemann 球面上亚纯函数的全部留数之和为零：

$$\sum_{a\in\mathbb C} \operatorname{Res}(f,a) +\operatorname{Res}(f,\infty)=0.$$

当有限奇点很多而无穷远处展开简单时，可以先计算无穷远点留数，再反推出有限留数之和。

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5. 实轴上的有理积分

考虑

$$\int_{-\infty}^{\infty}R(x)\,dx,$$

其中 $R=P/Q$ 为有理函数。

若：

1. $Q$ 在实轴上无零点；
2. $\deg Q\ge\deg P+2$；

则通常可以在上半平面取大半圆围道。大圆弧积分趋于零，从而

$$\int_{-\infty}^{\infty}R(x)\,dx =2\pi i \sum_{\operatorname{Im}a_k>0} \operatorname{Res}(R,a_k).$$

例如，

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1} =2\pi i\, \operatorname{Res} \left(\frac1{z^2+1},i\right) =\pi.$$

若被积函数为偶函数，则

$$\int_0^\infty R(x)\,dx =\frac12 \int_{-\infty}^{\infty}R(x)\,dx.$$

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6. 正半轴上的有理积分

例如计算

$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^4+1}.$$

由于被积函数为偶函数，可以先求全实轴积分。上半平面的极点为

$$e^{i\pi/4},\qquad e^{3i\pi/4}.$$

留数求和后得到

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} =\frac{\pi}{\sqrt2},$$

所以

$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^4+1} =\frac{\pi}{2\sqrt2}.$$

对于

$$\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{1+x^\beta}\,dx,$$

若含有非整数幂，通常需要选定对数分支并使用扇形或钥匙孔围道。

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7. 三角函数积分

对

$$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta,$$

使用代换

$$z=e^{i\theta},\qquad |z|=1,$$

则

$$d\theta=\frac{dz}{iz},$$ $$\cos\theta=\frac12\left(z+\frac1z\right), \qquad \sin\theta=\frac1{2i}\left(z-\frac1z\right).$$

原积分因此化为单位圆上的有理函数积分，再由留数定理计算。

例如，当 $a>|b|$ 时，

$$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}.$$

代换后必须选择单位圆内部的极点，而不能只按代数方程列出全部根。

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8. Fourier 型积分与 Jordan 引理

考虑

$$\int_{-\infty}^{\infty} R(x)e^{iax}\,dx, \qquad a>0.$$

由于

$$|e^{iaz}|=e^{-a\,\operatorname{Im}z},$$

在上半平面指数因子衰减，因此通常取上半圆围道。

Jordan 引理（常用形式）
在适当衰减条件下，若 $a>0$，则

$$\int_{\Gamma_R} R(z)e^{iaz}\,dz\to0, \qquad R\to\infty,$$

其中 $\Gamma_R$ 是上半圆。

若 $a<0$，则应改用下半平面，使指数项仍然衰减。

最后取复积分的实部或虚部，可以分别得到余弦积分或正弦积分。

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9. Cauchy 主值与实轴奇点

若被积函数在实轴上有奇点，普通反常积分可能不存在，但对称极限可能存在。

定义（Cauchy 主值）

$$\operatorname{PV} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^R f(x)\,dx,$$

并在有限奇点处采用对称挖去的极限。

若使用上半平面围道，并以小半圆从上方绕过实轴上的简单极点，则典型公式为

$$\operatorname{PV} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i \sum_{\text{上半平面}} \operatorname{Res}(f,a_k) +i\pi \sum_{\text{实轴}} \operatorname{Res}(f,b_j).$$

符号取决于围道方向和绕行在上方还是下方，不能机械套用。

经典结果为

$$\operatorname{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}x\,dx=i\pi,$$

从而

$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx =\frac\pi2.$$

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10. 支割与钥匙孔围道

含有

$$z^\alpha,\qquad \log z$$

的函数通常是多值函数。使用留数定理前必须：

1. 选定对数分支；
2. 指定支割；
3. 比较支割两侧的边界值；
4. 估计大圆与小圆上的积分；
5. 再令相应半径趋于 $\infty$ 或 $0$。

钥匙孔围道常用于

$$\int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx, \qquad 0<\alpha<1,$$

并可得到

$$\int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx =\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}.$$

分支约定不同会改变围道两侧的相位因子，但最终实积分结果应一致。

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11. 常见误区

11.1 留数为零不等于奇点可去

$1/z^2$ 的留数为零，但原点仍是二阶极点。

11.2 只计算围道内部的奇点

围道外部的奇点不贡献积分；围道上的奇点则使普通留数定理不能直接使用。

11.3 大圆弧积分不会自动趋于零

必须使用 ML 不等式、Jordan 引理或其他估计同时控制被积函数和弧长。

11.4 上半平面并非总是正确选择

含 $e^{iaz}$ 时应选择指数衰减的半平面：$a>0$ 取上半平面，$a<0$ 取下半平面。

11.5 主值不等于普通反常积分

Cauchy 主值可能存在，而左右两个普通反常积分分别发散。

11.6 多值函数必须先选分支

不指定 $\log z$ 或 $z^\alpha$ 的分支，就无法严格比较支割两侧的值。

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12. 本篇要点

1. 留数是 Laurent 展开中 $(z-a)^{-1}$ 的系数。
2. 简单极点可用极限计算，高阶极点可用求导公式计算。
3. 留数定理把闭路积分化成围道内留数之和。
4. Riemann 球面上全部有限点留数与无穷远点留数之和为零。
5. 有理实积分通常使用半圆围道，前提是圆弧积分能够消失。
6. 三角积分通过 $z=e^{i\theta}$ 化为单位圆积分。
7. Fourier 型积分根据指数衰减方向选择上、下半平面。
8. 实轴奇点需要小圆绕行并区分普通积分与 Cauchy 主值。
9. 非整数幂和对数积分需要支割及钥匙孔围道。

下一篇将整理 辐角原理、对数导数、Rouché 定理以及解析方程的零点计数。

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参考教材

1. 钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
2. 余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
3. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
4. James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
5. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.