复变函数 05：复级数、Laurent 级数与孤立奇点

级数把解析函数的局部性质转化为系数问题。Taylor 级数描述解析点附近的函数，Laurent 级数则允许负幂，从而能够精确刻画孤立奇点。

本文承接 Cauchy 积分公式，系统整理复级数、幂级数、Laurent 展开与奇点分类。仍以定义和定理为主，不展开证明。

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1. 复数项级数

1.1 收敛

设 $\{a_n\}\subset\mathbb C$，部分和为

$$S_N=\sum_{n=0}^N a_n.$$

若 $S_N\to S\in\mathbb C$，则称级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$

收敛，并称 $S$ 为其和。

写成 $a_n=u_n+iv_n$ 后，

$$\sum a_n\text{ 收敛} \quad\Longleftrightarrow\quad \sum u_n,\ \sum v_n\text{ 都收敛}.$$

1.2 Cauchy 准则与绝对收敛

定理（Cauchy 准则）
级数 $\sum a_n$ 收敛，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使 $q>p>N$ 时

$$\left|\sum_{n=p}^q a_n\right|<\varepsilon.$$

若

$$\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty,$$

则称 $\sum a_n$ 绝对收敛。绝对收敛必然推出收敛。

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2. 解析函数列与函数项级数

2.1 一致收敛与内闭一致收敛

函数列 $f_n:D\to\mathbb C$ 一致收敛于 $f$，是指

$$\sup_{z\in D}|f_n(z)-f(z)|\to0.$$

若 $f_n$ 在 $D$ 的每个紧子集上都一致收敛于 $f$，则称 $f_n$ 在 $D$ 上内闭一致收敛，也称局部一致收敛。

2.2 Weierstrass 判别法

若

$$|f_n(z)|\le M_n,\qquad z\in D,$$

并且数项级数 $\sum M_n$ 收敛，则函数项级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}f_n(z)$$

在 $D$ 上绝对且一致收敛。

2.3 解析函数的局部一致极限

定理（Weierstrass 定理）
若 $f_n$ 在区域 $D$ 上解析，并且 $f_n$ 在 $D$ 上内闭一致收敛于 $f$，则 $f$ 在 $D$ 上解析。

而且对每个 $k\ge1$，

$$f_n^{(k)}\to f^{(k)}$$

也在 $D$ 上内闭一致收敛。

普通逐点收敛不足以保持解析性；局部一致收敛是关键条件。

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3. 幂级数

3.1 收敛圆

以 $a$ 为中心的幂级数为

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n.$$

定理
存在唯一的 $R\in[0,\infty]$，使得：

• 当 $|z-a|<R$ 时，级数绝对收敛；
• 当 $|z-a|>R$ 时，级数发散；
• 当 $|z-a|=R$ 时，需要逐点判断。

$R$ 称为收敛半径。

3.2 Cauchy–Hadamard 公式

$$\frac1R =\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n},$$

其中采用 $1/0=\infty$、$1/\infty=0$ 的约定。

若极限存在，也可以使用比值法：

$$R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.$$

3.3 逐项运算

幂级数在收敛圆内部内闭一致收敛，可以逐项求导和积分：

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n\right)' =\sum_{n=1}^{\infty}nc_n(z-a)^{n-1},$$ $$\int\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n\,dz =C+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1}(z-a)^{n+1}.$$

求导、积分后的级数收敛半径仍为 $R$。

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4. Taylor 级数

若 $f$ 在 $|z-a|<R$ 内解析，则

$$f(z) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n.$$

系数唯一，并可由 Cauchy 公式表示为

$$\frac{f^{(n)}(a)}{n!} =\frac1{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta, \qquad 0<r<R.$$

常用展开包括

$$e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},$$ $$\sin z=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos z=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!},$$

以及

$$\frac1{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n, \qquad |z|<1.$$

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5. Laurent 级数

5.1 定义

含有正幂和负幂的双边级数

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$$

称为以 $a$ 为中心的 Laurent 级数。

其中

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$$

称为解析部分，而

$$\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}$$

称为主要部分。

5.2 Laurent 定理

定理（Laurent 展开）
若 $f$ 在圆环

$$r<|z-a|<R$$

内解析，则在该圆环内有唯一展开

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n,$$

其中

$$c_n =\frac1{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=\rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta, \qquad r<\rho<R.$$

积分结果与所选 $\rho$ 无关。

5.3 同一函数的不同展开

Laurent 展开依赖所选圆环。例如

$$f(z)=\frac1{z(z-1)}.$$

在 $0<|z|<1$ 中，

$$f(z) =-\frac1z\frac1{1-z} =-\frac1z-1-z-z^2-\cdots.$$

在 $|z|>1$ 中，

$$f(z) =\frac1{z^2}\frac1{1-1/z} =\frac1{z^2}+\frac1{z^3}+\frac1{z^4}+\cdots.$$

展开中心相同并不保证展开式相同；必须同时标明收敛圆环。

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6. 孤立奇点

6.1 定义

若 $f$ 在某个去心邻域

$$0<|z-a|<R$$

内解析，但未在 $a$ 处定义或不解析，则称 $a$ 是 $f$ 的孤立奇点。

若不存在这样的去心邻域，则称为非孤立奇点。例如奇点列在 $a$ 处聚集时，$a$ 通常是非孤立奇点。

6.2 Laurent 分类

设 $f$ 在 $a$ 的去心邻域内有 Laurent 展开

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n.$$

孤立奇点分为三类：

类型	Laurent 主要部分
可去奇点	没有负幂项
$m$ 阶极点	只有有限个负幂项，最低次为 $(z-a)^{-m}$
本性奇点	有无穷多个非零负幂项

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7. 可去奇点

下列条件等价：

1. $a$ 是 $f$ 的可去奇点；
2. Laurent 主要部分为零；
3. $\lim_{z\to a}f(z)$ 存在且有限；
4. $f$ 在 $a$ 的某个去心邻域内有界。

定理（Riemann 可去奇点定理）
若 $f$ 在 $0<|z-a|<R$ 内解析且在 $a$ 附近有界，则可以补定义 $f(a)$，使延拓后的函数在 $|z-a|<R$ 内解析。

例如

$$\frac{\sin z}{z}$$

在 $z=0$ 有可去奇点，补定义为 $1$ 后成为整函数。

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8. 极点

若 $a$ 是 $m$ 阶极点，则

$$f(z) =\frac{c_{-m}}{(z-a)^m} +\cdots+ \frac{c_{-1}}{z-a} +c_0+c_1(z-a)+\cdots,$$

其中 $c_{-m}\ne0$。

下列条件等价：

1. $a$ 是 $m$ 阶极点；

2. 存在在 $a$ 附近解析且 $g(a)\ne0$ 的函数 $g$，使

   $$f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m};$$

3. $1/f$ 在 $a$ 有 $m$ 阶零点；

4. 在扩充复平面意义下，

   $$\lim_{z\to a}f(z)=\infty.$$

例如 $1/(z-a)^m$ 在 $a$ 有 $m$ 阶极点。

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9. 本性奇点

若 Laurent 主要部分含有无穷多个非零项，则 $a$ 是本性奇点。

例如

$$e^{1/z} =1+\frac1z+\frac1{2!z^2} +\frac1{3!z^3}+\cdots$$

在 $z=0$ 有本性奇点。

定理（Casorati–Weierstrass）
在本性奇点的任意去心邻域内，函数值在复平面中稠密。

定理（Picard 大定理）
在本性奇点的任意去心邻域内，解析函数取到每个复数值无穷多次，至多遗漏一个值。

例如 $e^{1/z}$ 永远不取 $0$，但在 $0$ 的任意去心邻域内取到其他每个非零复数无穷多次。

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10. 亚纯函数

定义（亚纯函数）
若函数在区域 $D$ 内除若干孤立极点外处处解析，则称它在 $D$ 上亚纯。

有理函数是 Riemann 球面上的亚纯函数。两个亚纯函数的和、积和商在有意义时仍为亚纯函数。

若 $f,g$ 在区域 $D$ 上解析，且 $g\not\equiv0$，则

$$\frac fg$$

在 $D$ 上亚纯；其可能的极点来自 $g$ 的零点，但分子、分母的公共零点可能发生约分。

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11. 无穷远点的奇性

研究 $f$ 在 $z=\infty$ 的性质，等价于研究

$$g(w)=f\left(\frac1w\right)$$

在 $w=0$ 的性质。

$g(w)=f(1/w)$ 在 $0$ 的类型	$f$ 在 $\infty$ 的类型
可去奇点	$\lim_{z\to\infty}f(z)$ 有限
$m$ 阶极点	$f$ 在无穷远处按 $
本性奇点	无穷远处具有本性行为

特别地：

• 非常数多项式在 $\infty$ 有极点，阶数等于多项式次数；
• 非多项式整函数在 $\infty$ 有本性奇点；
• 有理函数在 Riemann 球面上只有极点或可去奇点。

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12. 常见误区

12.1 Laurent 展开必须标明圆环

同一函数在不同圆环中的展开可能完全不同。

12.2 收敛半径只确定圆内与圆外

幂级数在边界 $|z-a|=R$ 上可能全部收敛、全部发散或部分收敛，必须单独判断。

12.3 奇点必须先判断是否孤立

Laurent 分类只适用于孤立奇点。若奇点在该点附近聚集，不能直接分成可去、极点或本性奇点。

12.4 函数趋于无穷表示极点

若 $|f(z)|\to\infty$，则是极点而非本性奇点。本性奇点附近的函数值不会趋于单一的扩充复数值。

12.5 分母零点未必都是极点

分子、分母可能具有公共零点。约分后应重新判断奇点类型和阶数。

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13. 本篇要点

1. 解析函数列的局部一致极限仍解析，并可逐阶求导。
2. 幂级数在收敛圆内绝对且局部一致收敛，可以逐项求导和积分。
3. Taylor 级数只含非负幂，Laurent 级数允许负幂。
4. Laurent 展开在指定圆环内唯一，系数由环内闭曲线积分给出。
5. 可去奇点、极点和本性奇点分别对应零项、有限项和无限项 Laurent 主要部分。
6. 在孤立奇点附近有界即可判定为可去奇点。
7. 极点等价于倒数具有零点；本性奇点附近的值域具有极强的稠密性。
8. 亚纯函数是除孤立极点外处处解析的函数。
9. 无穷远点的奇性通过代换 $w=1/z$ 化为原点处的奇性。

下一篇将整理 留数、留数定理以及复积分在实积分计算中的应用。

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参考教材

1. 钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
2. 余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
3. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
4. James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
5. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.