数学分析 13：定积分的应用

定积分的应用遵循同一个思想：把整体量分割成许多微小部分，以局部近似量求和，再取极限。

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1. 微元法

使用定积分建立应用模型时，通常按以下步骤：

1. 选择积分变量和积分区间；

2. 在变量处取一个微小区间；

3. 写出所求量的近似微元 $dQ$；

4. 对整个区间积分：

   $$Q=\int dQ.$$

微元表达式必须与实际几何或物理量的量纲一致。

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2. 平面图形的面积

2.1 直角坐标

若在 $[a,b]$ 上

$$f(x)\ge g(x),$$

则两条曲线之间的面积为

$$A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx.$$

若只求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴之间的几何面积，应使用

$$A=\int_a^b|f(x)|\,dx.$$

带符号积分 $\int_a^bf(x)\,dx$ 不一定等于几何面积。

2.2 以 $y$ 为积分变量

若区域可表示为

$$\varphi_1(y)\le x\le\varphi_2(y), \qquad c\le y\le d,$$

则

$$A=\int_c^d [\varphi_2(y)-\varphi_1(y)]\,dy.$$

2.3 参数方程

若曲线由

$$x=x(t),\qquad y=y(t)$$

给出，且方向和单调性适当，则曲线下的带符号面积可写为

$$A=\int y\,dx =\int_\alpha^\beta y(t)x'(t)\,dt.$$

几何面积需要结合曲线方向及区域位置确定符号。

2.4 极坐标

极坐标曲线

$$r=r(\theta), \qquad \alpha\le\theta\le\beta$$

围成的面积为

$$A=\frac12 \int_\alpha^\beta r(\theta)^2\,d\theta.$$

若区域位于两条极坐标曲线 $r_1\le r_2$ 之间，则

$$A=\frac12 \int_\alpha^\beta [r_2(\theta)^2-r_1(\theta)^2]\,d\theta.$$

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3. 平行截面已知的体积

若立体在位置 $x$ 处、垂直于 $x$ 轴的截面面积为 $A(x)$，则体积为

$$V=\int_a^bA(x)\,dx.$$

这是体积计算最一般的一元积分形式。

3.1 圆盘与圆环法

区域绕 $x$ 轴旋转，外半径为 $R(x)$、内半径为 $r(x)$，则

$$V=\pi\int_a^b [R(x)^2-r(x)^2]\,dx.$$

当 $r(x)=0$ 时就是圆盘法。

3.2 柱壳法

平面区域绕 $y$ 轴旋转时，竖直小条形成圆柱壳。若高度为 $h(x)$，则

$$V=2\pi\int_a^b xh(x)\,dx.$$

旋转轴不在坐标轴上时，应把半径改为点到旋转轴的距离。

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4. 平面曲线的弧长

4.1 直角坐标

若 $f\in C^1([a,b])$，则曲线

$$y=f(x)$$

的弧长为

$$L=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

弧长微元为

$$ds=\sqrt{dx^2+dy^2} =\sqrt{1+(y')^2}\,dx.$$

4.2 参数方程

若

$$x=x(t),\qquad y=y(t), \qquad \alpha\le t\le\beta,$$

且曲线分段光滑，则

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt.$$

4.3 极坐标

对极坐标曲线 $r=r(\theta)$，

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{r(\theta)^2+[r'(\theta)]^2}\,d\theta.$$

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5. 旋转曲面的面积

5.1 绕 $x$ 轴

若 $f(x)\ge0$ 且 $f\in C^1([a,b])$，曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转所得曲面面积为

$$S =2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

5.2 参数形式

若平面曲线由 $(x(t),y(t))$ 给出，绕 $x$ 轴旋转，则

$$S =2\pi\int_\alpha^\beta |y(t)| \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt.$$

一般形式可概括为

$$dS=2\pi(\text{旋转半径})\,ds.$$

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6. 曲率

6.1 定义

设 $\alpha$ 为切线方向角，$s$ 为弧长。曲率定义为

$$\kappa =\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|.$$

曲率半径为

$$\rho=\frac1\kappa.$$

6.2 直角坐标公式

对 $y=f(x)$，

$$\kappa = \frac{|f''(x)|} {\left(1+[f'(x)]^2\right)^{3/2}}.$$

6.3 参数方程公式

对正则参数曲线 $(x(t),y(t))$，

$$\kappa = \frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|} {\left([x'(t)]^2+[y'(t)]^2\right)^{3/2}}.$$

直线曲率为 $0$，半径为 $R$ 的圆曲率为 $1/R$。

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7. 质心与静矩

7.1 细杆

设细杆位于 $[a,b]$，线密度为 $\rho(x)\ge0$。总质量为

$$m=\int_a^b\rho(x)\,dx.$$

质心坐标为

$$\bar x =\frac1m \int_a^b x\rho(x)\,dx.$$

7.2 平面薄片

若区域位于

$$g(x)\le y\le f(x)$$

之间且密度均匀，则面积

$$A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx.$$

质心坐标为

$$\bar x =\frac1A \int_a^b x[f(x)-g(x)]\,dx,$$ $$\bar y =\frac1{2A} \int_a^b[f(x)^2-g(x)^2]\,dx.$$

变密度薄片的系统处理将在重积分中给出。

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8. 功

若变力 $F(x)$ 沿直线方向作用，使物体从 $x=a$ 移动到 $x=b$，则所做的功为

$$W=\int_a^bF(x)\,dx.$$

例如弹簧满足 Hooke 定律

$$F(x)=kx,$$

把弹簧从伸长量 $x_1$ 拉到 $x_2$ 所需的功为

$$W =\int_{x_1}^{x_2}kx\,dx =\frac k2(x_2^2-x_1^2).$$

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9. 液体压力

在重力场中，深度为 $h$ 处的液体压强为

$$p=\rho gh,$$

其中 $\rho$ 是液体密度，$g$ 是重力加速度。

若水平小条宽度为 $w(h)$、厚度为 $dh$，则压力微元为

$$dF=\rho gh\,w(h)\,dh.$$

总压力为

$$F=\int\rho gh\,w(h)\,dh.$$

积分上下限由液面与受力区域的深度范围决定。

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10. 平均值与均方根

连续函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为

$$f_{\mathrm{avg}} =\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx.$$

均方根值为

$$f_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac1{b-a}\int_a^bf(x)^2\,dx }.$$

周期函数的平均值和均方根通常取一个完整周期计算。

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11. 建模检查

使用定积分解决应用问题时，应检查：

1. 积分变量是否覆盖整个对象；
2. 微元是否是一阶主量；
3. 上下限是否与变量一致；
4. 长度、面积、体积和物理量的单位是否正确；
5. 几何面积、弧长、质量等非负量是否正确处理绝对值；
6. 参数曲线是否重复描绘同一部分。

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12. 本篇要点

1. 面积微元是“高度差乘宽度”。
2. 体积可由截面积积分，也可使用圆盘、圆环或柱壳法。
3. 弧长来自微小弦长的极限。
4. 旋转曲面面积微元为周长乘弧长微元。
5. 曲率刻画切线方向相对于弧长的变化率。
6. 质量、质心、功和压力都可通过“密度或强度乘微元”建立积分。

至此，数学分析第一部分——一元函数的极限、连续、微分与 Riemann 积分——已经完成。

下一篇将进入第二部分，整理反常积分的定义、收敛性与判别方法。

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参考教材

1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
2. Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2nd ed.