Riemann 积分由积分和极限定义；微积分基本定理则把积分与导数联系起来，使定积分可以通过原函数计算。

1. 定积分的基本约定

规定

∫aaf(x) dx=0,\int_a^af(x)\,dx=0, ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx.\int_b^af(x)\,dx =-\int_a^bf(x)\,dx.

积分变量是哑变量：

∫abf(x) dx=∫abf(t) dt.\int_a^bf(x)\,dx =\int_a^bf(t)\,dt.

只要上下限和被积函数对应相同，积分值与积分变量的字母无关。

2. 线性与区间可加性

2.1 线性

若 f,gf,g 在 [a,b][a,b] 上可积，α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb R，则

∫ab[αf(x)+βg(x)] dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx.\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx = \alpha\int_a^bf(x)\,dx +\beta\int_a^bg(x)\,dx.

2.2 区间可加性

若 c∈[a,b]c\in[a,b]，则

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx.\int_a^bf(x)\,dx = \int_a^cf(x)\,dx +\int_c^bf(x)\,dx.

该公式结合积分方向约定，对任意 a,b,ca,b,c 均成立。

3. 保序性与估值

若在 [a,b][a,b] 上

f(x)≤g(x),f(x)\le g(x),

则

∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx.\int_a^bf(x)\,dx \le \int_a^bg(x)\,dx.

特别地，若 f(x)≥0f(x)\ge0，则

∫abf(x) dx≥0.\int_a^bf(x)\,dx\ge0.

若

m≤f(x)≤M,m\le f(x)\le M,

则

m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a).m(b-a) \le \int_a^bf(x)\,dx \le M(b-a).

并且

∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx≤(b−a)max⁡[a,b]∣f∣.\left| \int_a^bf(x)\,dx \right| \le \int_a^b|f(x)|\,dx \le (b-a)\max_{[a,b]}|f|.

4. 积分中值定理

4.1 第一积分中值定理

定理
若 f∈C([a,b])f\in C([a,b])，则存在 ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]，使

∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a).\int_a^bf(x)\,dx =f(\xi)(b-a).

因此函数在区间上的平均值

1b−a∫abf(x) dx\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx

等于函数在区间内某一点的值。

4.2 加权形式

若 f∈C([a,b])f\in C([a,b])，gg 可积且在区间上不变号，则存在 ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]，使

∫abf(x)g(x) dx=f(ξ)∫abg(x) dx.\int_a^bf(x)g(x)\,dx =f(\xi)\int_a^bg(x)\,dx.

4.3 第二积分中值定理

定理（Bonnet 形式）
若 ff 在 [a,b][a,b] 上单调，gg 在 [a,b][a,b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]，使

∫abf(x)g(x) dx=f(a)∫aξg(x) dx+f(b)∫ξbg(x) dx.\int_a^bf(x)g(x)\,dx = f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx +f(b)\int_\xi^b g(x)\,dx.

当 ff 单调减少、非负且 f(b)=0f(b)=0 时，公式化为

∫abf(x)g(x) dx=f(a)∫aξg(x) dx.\int_a^bf(x)g(x)\,dx =f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx.

该定理在反常积分和振荡积分判别中很有用。

5. 变上限积分

设 f∈R([a,b])f\in R([a,b])，定义

F(x)=∫axf(t) dt,x∈[a,b].F(x)=\int_a^xf(t)\,dt, \qquad x\in[a,b].

5.1 连续性

定理
若 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，则 FF 在 [a,b][a,b] 上连续。

若 ∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M，则

∣F(x)−F(y)∣≤M∣x−y∣,|F(x)-F(y)| \le M|x-y|,

所以 FF 甚至满足 Lipschitz 条件。

5.2 可导性

定理（微积分基本定理第一部分）
若 ff 在 x0x_0 连续，则

F′(x0)=f(x0).F'(x_0)=f(x_0).

若 f∈C([a,b])f\in C([a,b])，则

F′(x)=f(x),x∈(a,b).F'(x)=f(x), \qquad x\in(a,b).

因此每个区间上的连续函数都有原函数。

5.3 一般变限积分

若

Φ(x)=∫α(x)β(x)f(t) dt\Phi(x) =\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,dt

且相关函数可导、ff 连续，则

Φ′(x)=f(β(x))β′(x)−f(α(x))α′(x).\Phi'(x) =f(\beta(x))\beta'(x) -f(\alpha(x))\alpha'(x).

6. Newton–Leibniz 公式

定理（微积分基本定理第二部分）
若 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，FF 是 ff 的任意一个原函数，则

∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^bf(x)\,dx =F(b)-F(a).

常记作

∫abf(x) dx=F(x)∣ab.\int_a^bf(x)\,dx =\left.F(x)\right|_a^b.

Newton–Leibniz 公式把由极限定义的定积分转化为原函数在端点的差。

更一般地，只要 ff Riemann 可积并且存在原函数，公式仍成立。

7. 定积分换元法

定理
设 φ∈C1([α,β])\varphi\in C^1([\alpha,\beta])，ff 在 φ([α,β])\varphi([\alpha,\beta]) 上连续，则

∫αβf(φ(t))φ′(t) dt=∫φ(α)φ(β)f(x) dx.\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx.

换元后必须同时更换积分上下限；若已经更换上下限，就不需要再换回原变量。

当 φ\varphi 单调减少时，新上下限的次序会自动体现符号变化。

8. 定积分分部积分

若 u,v∈C1([a,b])u,v\in C^1([a,b])，则

∫abu(x)v′(x) dx=u(x)v(x)∣ab−∫abu′(x)v(x) dx.\int_a^bu(x)v'(x)\,dx = \left.u(x)v(x)\right|_a^b -\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.

也写作

∫abu dv=uv∣ab−∫abv du.\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b -\int_a^b v\,du.

与不定积分不同，定积分分部积分后需要计算边界项。

9. 积分不等式

9.1 Cauchy–Schwarz 不等式

若 f,gf,g 连续，则

(∫abf(x)g(x) dx)2≤(∫abf(x)2 dx)(∫abg(x)2 dx).\left( \int_a^bf(x)g(x)\,dx \right)^2 \le \left(\int_a^bf(x)^2\,dx\right) \left(\int_a^bg(x)^2\,dx\right).

取 g≡1g\equiv1 得

(∫abf(x) dx)2≤(b−a)∫abf(x)2 dx.\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)^2 \le (b-a)\int_a^bf(x)^2\,dx.

9.2 Jensen 不等式的积分形式

若 φ\varphi 为凸函数，ff 可积且取值落在 φ\varphi 的定义区间内，则在适当条件下

φ(1b−a∫abf(x) dx)≤1b−a∫abφ(f(x)) dx.\varphi\left( \frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx \right) \le \frac1{b-a}\int_a^b\varphi(f(x))\,dx.

10. 对称性

若 ff 在 [−a,a][-a,a] 上可积，则：

  • ff 为奇函数时，

    ∫−aaf(x) dx=0;\int_{-a}^af(x)\,dx=0;

  • ff 为偶函数时，

    ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx.\int_{-a}^af(x)\,dx =2\int_0^af(x)\,dx.

若 ff 以 TT 为周期，则对任意 aa，

∫aa+Tf(x) dx=∫0Tf(x) dx.\int_a^{a+T}f(x)\,dx =\int_0^Tf(x)\,dx.

11. 本篇要点

  1. 定积分具有线性、区间可加性和保序性。
  2. 积分中值定理给出函数的平均值。
  3. 可积函数的变上限积分连续。
  4. 被积函数连续时，变上限积分的导数等于被积函数。
  5. Newton–Leibniz 公式用原函数计算定积分。
  6. 换元和分部积分在定积分中必须正确处理上下限与边界项。

下一篇将整理定积分在面积、体积、弧长、曲率和物理量中的应用。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2nd ed.