Riemann 积分通过把区间分成许多小段、累加局部矩形面积并取极限，严格定义定积分。

1. 区间分割

1.1 分割

定义（分割）
闭区间 [a,b][a,b] 的一个分割是有限点集

P:a=x0<x1<⋯<xn=b.P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.

第 ii 个小区间为

[xi−1,xi],[x_{i-1},x_i],

其长度为

Δxi=xi−xi−1.\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.

1.2 分割的模

定义分割的模为

∥P∥=max⁡1≤i≤nΔxi.\|P\| =\max_{1\le i\le n}\Delta x_i.

∥P∥→0\|P\|\to0 表示所有小区间的最大长度趋于零。

1.3 标志点

在每个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i] 中任取一点

ξi∈[xi−1,xi],\xi_i\in[x_{i-1},x_i],

称为该小区间的标志点。

2. Riemann 和与定积分

2.1 Riemann 和

对有界函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R，定义 Riemann 和

S(f;P,ξ)=∑i=1nf(ξi)Δxi.S(f;P,\xi) =\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.

2.2 Riemann 可积

定义（Riemann 积分）
若存在实数 II，使得对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在 δ>0\delta>0，只要

∥P∥<δ,\|P\|<\delta,

无论怎样选择标志点 ξi\xi_i，都有

∣∑i=1nf(ξi)Δxi−I∣<ε,\left| \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-I \right|<\varepsilon,

则称 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积，并记

I=∫abf(x) dx.I=\int_a^bf(x)\,dx.

积分值必须与分割方式及标志点选择无关。

2.3 必要条件

定理
Riemann 可积函数必有界。

有界性不是充分条件。Dirichlet 函数

D(x)={1,x∈Q,0,x∉QD(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q \end{cases}

在任意闭区间上有界，但不可 Riemann 积。

3. Darboux 上下和

设 ff 在 [a,b][a,b] 上有界。对分割 PP 的第 ii 个小区间，令

Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x),M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x), mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x).m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x).

定义 Darboux 上和与下和：

U(f,P)=∑i=1nMiΔxi,U(f,P) =\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i, L(f,P)=∑i=1nmiΔxi.L(f,P) =\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i.

总有

L(f,P)≤S(f;P,ξ)≤U(f,P).L(f,P) \le S(f;P,\xi) \le U(f,P).

4. 分割加细

若分割 P∗P^\ast 包含 PP 的所有分点，则称 P∗P^\ast 是 PP 的加细。

定理

L(f,P)≤L(f,P∗),L(f,P)\le L(f,P^\ast), U(f,P∗)≤U(f,P).U(f,P^\ast)\le U(f,P).

即加细分割后，下和不减，上和不增。

对任意两个分割 P1,P2P_1,P_2，总有

L(f,P1)≤U(f,P2).L(f,P_1)\le U(f,P_2).

5. 上积分与下积分

定义 Darboux 下积分

∫ab‾f=sup⁡PL(f,P),\underline{\int_a^b}f =\sup_P L(f,P),

以及 Darboux 上积分

∫ab‾f=inf⁡PU(f,P).\overline{\int_a^b}f =\inf_P U(f,P).

总有

∫ab‾f≤∫ab‾f.\underline{\int_a^b}f \le \overline{\int_a^b}f.

定理（Darboux 可积准则）
有界函数 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，当且仅当

∫ab‾f=∫ab‾f.\underline{\int_a^b}f = \overline{\int_a^b}f.

此时共同的值就是 Riemann 积分。

6. 振幅准则

在小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i] 上定义振幅

ωi=Mi−mi.\omega_i=M_i-m_i.

于是

U(f,P)−L(f,P)=∑i=1nωiΔxi.U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta x_i.

定理（Riemann 可积准则）
有界函数 ff 在 [a,b][a,b] 上可积，当且仅当对任意 ε>0\varepsilon>0，存在分割 PP，使

U(f,P)−L(f,P)<ε.U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.

等价地，

∑i=1nωiΔxi<ε.\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta x_i<\varepsilon.

7. 常见可积函数

7.1 连续函数

定理
闭区间上的连续函数 Riemann 可积：

f∈C([a,b])⟹f∈R([a,b]).f\in C([a,b]) \quad\Longrightarrow\quad f\in R([a,b]).

其基础是连续函数在闭区间上一致连续。

7.2 单调函数

定理
闭区间上的单调函数 Riemann 可积。

单调函数可以有间断点，但其间断只能是跳跃型，且间断点至多可数。

7.3 分段连续函数

若 ff 在 [a,b][a,b] 上只有有限个第一类间断点，则 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积。

7.4 有界且只有有限个间断点

定理
有界函数若在闭区间上只有有限个间断点，则 Riemann 可积。

有限个点上的函数值改变不影响积分值。

8. Lebesgue 可积判别

定理（Lebesgue 判别准则）
有界函数在闭区间上 Riemann 可积，当且仅当其间断点集合的 Lebesgue 测度为零。

这一结论需要测度论。它说明 Riemann 可积函数可以有无穷多个间断点，但这些间断点必须足够“稀少”。

例如 Thomae 函数在有理点间断、无理点连续，其间断点集合可数，所以 Riemann 可积。

9. 可积性的保持

若 f,g∈R([a,b])f,g\in R([a,b])，则

f±g,fg,∣f∣f\pm g,\qquad fg,\qquad |f|

都在 [a,b][a,b] 上可积。

若还存在 m>0m>0 使

∣g(x)∣≥m,|g(x)|\ge m,

则

fg\frac fg

也可积。

若 ff 可积，且 φ\varphi 在包含 f([a,b])f([a,b]) 的区间上连续，则

φ∘f\varphi\circ f

可积。

特别地，若 ff 可积，则 f2f^2 可积。

需要注意：

f2可积f^2\text{可积}

一般不能反推出 ff 可积。

10. 可积函数的绝对值

若 ff 可积，则 ∣f∣|f| 可积，并且

∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx.\left|\int_a^bf(x)\,dx\right| \le \int_a^b|f(x)|\,dx.

逆命题不成立。例如令 ff 在有理点取 11、无理点取 −1-1，则 ∣f∣≡1|f|\equiv1 可积，但 ff 不可积。

11. 本篇要点

  1. Riemann 积分是所有细分和标志点下 Riemann 和的共同极限。
  2. 可积函数必有界，但有界函数未必可积。
  3. Darboux 上下和给出不依赖标志点的可积性刻画。
  4. 上和与下和之差可以任意小时，函数可积。
  5. 连续、单调和分段连续函数在闭区间上可积。
  6. 修改有限个点的函数值不改变积分。

下一篇将整理定积分的性质、积分中值定理以及微积分基本定理。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
  3. Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2nd ed.