微分运算从函数得到导数；不定积分研究相反的问题：已知导数，寻找原函数。

1. 原函数与不定积分

1.1 原函数

定义（原函数）
设函数 ff 定义在区间 II 上。若函数 FF 在 II 上可导，并且

F′(x)=f(x),∀x∈I,F'(x)=f(x), \qquad \forall x\in I,

则称 FF 是 ff 在 II 上的一个原函数。

1.2 原函数的结构

定理
若 FF 和 GG 都是 ff 在同一区间 II 上的原函数，则存在常数 CC，使

F(x)−G(x)=C.F(x)-G(x)=C.

因此，只要知道一个原函数 FF，所有原函数都可写成 F+CF+C。

区间条件很重要。在不连通的定义域上，不同连通分支可以取不同常数。

1.3 不定积分

定义（不定积分）
函数 ff 的全体原函数称为 ff 的不定积分，记作

∫f(x) dx=F(x)+C.\int f(x)\,dx=F(x)+C.

其中：

  • f(x)f(x) 称为被积函数；
  • f(x) dxf(x)\,dx 称为被积表达式；
  • xx 称为积分变量；
  • CC 称为积分常数。

2. 基本性质

若相关原函数存在，则

(∫f(x) dx)′=f(x),\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x), ∫F′(x) dx=F(x)+C.\int F'(x)\,dx=F(x)+C.

不定积分具有线性：

∫[αf(x)+βg(x)] dx=α∫f(x) dx+β∫g(x) dx.\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx =\alpha\int f(x)\,dx +\beta\int g(x)\,dx.

线性组合中的积分常数最终只需合并为一个任意常数。

3. 基本积分公式

∫xα dx=xα+1α+1+C(α≠−1),\int x^\alpha\,dx =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \qquad(\alpha\ne-1), ∫dxx=ln⁡∣x∣+C,\int\frac{dx}{x} =\ln|x|+C, ∫ex dx=ex+C,\int e^x\,dx=e^x+C, ∫ax dx=axln⁡a+C(a>0, a≠1),\int a^x\,dx =\frac{a^x}{\ln a}+C \qquad(a>0,\ a\ne1), ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,\int\cos x\,dx=\sin x+C, ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,\int\sin x\,dx=-\cos x+C, ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C,\int\sec^2x\,dx=\tan x+C, ∫dx1+x2=arctan⁡x+C,\int\frac{dx}{1+x^2} =\arctan x+C, ∫dx1−x2=arcsin⁡x+C.\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin x+C.

积分公式的使用范围必须符合相应实函数定义域。

4. 第一换元积分法

4.1 公式

定理（凑微分法）
若

∫f(u) du=F(u)+C\int f(u)\,du=F(u)+C

且 u=φ(x)u=\varphi(x) 可导，则

∫f(φ(x))φ′(x) dx=F(φ(x))+C.\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx =F(\varphi(x))+C.

常写成

u=φ(x),du=φ′(x) dx.u=\varphi(x), \qquad du=\varphi'(x)\,dx.

例如

∫2xcos⁡(x2) dx=sin⁡(x2)+C.\int 2x\cos(x^2)\,dx =\sin(x^2)+C.

4.2 常见结构

遇到以下结构时常考虑凑微分：

f′(x)f(x),f′(x)ef(x),f′(x)cos⁡f(x),\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f'(x)e^{f(x)}, \qquad f'(x)\cos f(x), f′(x)1+f(x)2,f′(x)1−f(x)2.\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}, \qquad \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}.

5. 第二换元积分法

定理（变量代换）
令

x=φ(t),x=\varphi(t),

其中 φ\varphi 可导并在所讨论区间上可逆。若换元后的原函数存在，则

∫f(x) dx=∫f(φ(t))φ′(t) dt,\int f(x)\,dx =\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt,

最后再用 t=φ−1(x)t=\varphi^{-1}(x) 换回原变量。

常见代换包括：

  • 根式 a2−x2\sqrt{a^2-x^2}：令 x=asin⁡tx=a\sin t；
  • 根式 x2+a2\sqrt{x^2+a^2}：令 x=atan⁡tx=a\tan t 或双曲代换；
  • 根式 x2−a2\sqrt{x^2-a^2}：令 x=asec⁡tx=a\sec t；
  • 含 exe^x 的有理式：令 t=ext=e^x；
  • 三角有理式：使用万能代换 t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2)。

6. 分部积分法

由乘积求导公式

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'

得到

∫u dv=uv−∫v du.\int u\,dv =uv-\int v\,du.

常见应用包括：

  1. 多项式与指数、三角函数的乘积；
  2. 对数函数和反三角函数；
  3. 递推积分公式；
  4. 需要反复分部积分的周期结构。

例如

∫xex dx=xex−∫ex dx=ex(x−1)+C.\int x e^x\,dx =xe^x-\int e^x\,dx =e^x(x-1)+C.

选取 uu 和 dvdv 时，通常希望 dudu 更简单且 vv 容易求出。

7. 有理函数积分

7.1 真分式与假分式

有理函数写成

P(x)Q(x).\frac{P(x)}{Q(x)}.

若 deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\ge\deg Q，先作多项式除法，将其化为多项式与真分式之和。

7.2 部分分式分解

在实数范围内，把分母分解为一次因子和不可约二次因子：

Q(x)=∏i(x−ai)mi∏j(x2+pjx+qj)nj.Q(x) =\prod_i(x-a_i)^{m_i} \prod_j(x^2+p_jx+q_j)^{n_j}.

对应的部分分式包括

Ak(x−a)k\frac{A_k}{(x-a)^k}

和

Bkx+Ck(x2+px+q)k.\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}.

分解后逐项积分，结果通常由有理函数、对数函数和反三角函数组成。

8. 三角函数有理式

8.1 sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 的幂

对

∫sin⁡mxcos⁡nx dx,\int\sin^m x\cos^n x\,dx,

常用策略是：

  • 若某个指数为奇数，保留一个对应因子并换元；
  • 若两个指数均为偶数，使用降幂公式。

8.2 万能代换

令

t=tan⁡x2,t=\tan\frac x2,

则

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, dx=2 dt1+t2.dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.

因此 sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x 的有理函数积分可以化为 tt 的有理函数积分。

9. 某些无理函数积分

含简单根式的积分常通过 Euler 代换、三角代换或适当的幂代换化为有理函数积分。

例如含

a2−x2\sqrt{a^2-x^2}

时使用 x=asin⁡tx=a\sin t，可利用

a2−x2=acos⁡t.\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t.

换元时应同时处理定义域、符号和反代换后的绝对值。

10. 初等函数未必有初等原函数

连续函数在区间上一定存在原函数，但其原函数未必能用有限个初等函数表示。

典型例子包括

∫e−x2 dx,∫sin⁡xx dx,∫dxln⁡x.\int e^{-x^2}\,dx, \qquad \int\frac{\sin x}{x}\,dx, \qquad \int\frac{dx}{\ln x}.

这些积分通常通过特殊函数、定积分、级数或数值方法表示。

因此，“不定积分存在”和“能用初等函数写出”是不同问题。

11. 检验积分结果

不定积分结果最直接的检验方法是求导。

若声称

∫f(x) dx=F(x)+C,\int f(x)\,dx=F(x)+C,

则必须满足

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)

并注意等式成立的区间。

12. 本篇要点

  1. 同一区间上的任意两个原函数只相差常数。
  2. 不定积分是全体原函数，不是一个确定函数。
  3. 换元法对应复合函数求导，分部积分对应乘积求导。
  4. 有理函数积分原则上可由部分分式完全解决。
  5. 连续函数有原函数，但未必有初等原函数。
  6. 积分结果应通过求导验证。

下一篇将从极限出发定义Riemann 积分、Darboux 和与可积性条件。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2nd ed.