导数把函数的局部变化率转化为单调性、极值、凹凸性和图像形状等整体信息。

1. 单调性

1.1 导数判别

设 ff 在区间 II 上连续，在内部可导。

  • 若 f′(x)≥0f'(x)\ge0，则 ff 在 II 上单调增加；
  • 若 f′(x)≤0f'(x)\le0，则 ff 在 II 上单调减少；
  • 若 f′(x)>0f'(x)>0，则 ff 在 II 上严格增加；
  • 若 f′(x)<0f'(x)<0，则 ff 在 II 上严格减少。

严格增加并不要求每一点都有 f′(x)>0f'(x)>0。例如 f(x)=x3f(x)=x^3 严格增加，但 f′(0)=0f'(0)=0。

1.2 单调区间

通常先求出导数不存在或等于零的点，再按这些点划分区间，通过 f′f' 的符号确定单调区间。

2. 极值

2.1 临界点

定义域内满足下列任一条件的点称为临界点：

  1. f′(x0)=0f'(x_0)=0；
  2. f′(x0)f'(x_0) 不存在。

局部极值可能出现在临界点，但临界点不一定是极值点。

2.2 一阶导数判别

设 x0x_0 为临界点。

  • 若 f′f' 从正变负，则 x0x_0 是严格局部最大值点；
  • 若 f′f' 从负变正，则 x0x_0 是严格局部最小值点；
  • 若 f′f' 不变号，则 x0x_0 通常不是极值点。

2.3 二阶导数判别

若

f′(x0)=0f'(x_0)=0

且 f′′(x0)f''(x_0) 存在，则：

f′′(x0)>0⟹x0是严格局部最小值点,f''(x_0)>0 \quad\Longrightarrow\quad x_0\text{是严格局部最小值点}, f′′(x0)<0⟹x0是严格局部最大值点.f''(x_0)<0 \quad\Longrightarrow\quad x_0\text{是严格局部最大值点}.

当 f′′(x0)=0f''(x_0)=0 时，该判别法失效，不能直接得出结论。

2.4 高阶导数判别

若

f′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0, \qquad f^{(n)}(x_0)\ne0,

则：

  • nn 为偶数且 f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0：严格局部最小；
  • nn 为偶数且 f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0：严格局部最大；
  • nn 为奇数：不是局部极值点。

3. 闭区间上的最大值和最小值

若 f∈C([a,b])f\in C([a,b])，则全局最大值和最小值一定存在。

寻找最值时，应比较：

  1. 区间内部所有临界点的函数值；
  2. 两个端点 a,ba,b 的函数值。

其中最大者是全局最大值，最小者是全局最小值。

局部极值与全局最值是不同概念；端点可以取得全局最值，但通常不称为定义域内部的局部极值点。

4. 凸函数与凹函数

4.1 定义

定义（凸函数）
若对区间 II 内任意 x,yx,y 和任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，都有

f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y),f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y),

则称 ff 在 II 上为凸函数。

若不等式方向相反，则称为凹函数。

不同中文教材对“凸”“凹”的命名可能相反，因此使用时应以不等式或图像位置为准。本文的凸函数图像位于任意弦的下方。

4.2 一阶判别

若 ff 在 II 上可导，则下列条件等价：

  1. ff 在 II 上凸；

  2. f′f' 在 II 上单调增加；

  3. 对任意 x,x0∈Ix,x_0\in I，

    f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0).f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

第三条表示凸函数的图像位于任意切线之上。

4.3 二阶判别

若 ff 在 II 上二阶可导，则

f′′(x)≥0⟹f在I上凸,f''(x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{在}I\text{上凸}, f′′(x)≤0⟹f在I上凹.f''(x)\le0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{在}I\text{上凹}.

严格不等式给出严格凸或严格凹的常用充分条件。

5. 拐点

定义（拐点）
若曲线在点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 两侧的凹凸性发生改变，则称该点为拐点。

f′′(x0)=0f''(x_0)=0 或 f′′(x0)f''(x_0) 不存在只是拐点的候选条件。必须检查 x0x_0 两侧凹凸性是否实际改变。

例如 f(x)=x4f(x)=x^4 满足 f′′(0)=0f''(0)=0，但在 00 两侧都为凸，所以 00 不是拐点。

6. 渐近线

6.1 垂直渐近线

若

lim⁡x→x0±f(x)=±∞,\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty,

则 x=x0x=x_0 是垂直渐近线。

6.2 水平渐近线

若

lim⁡x→±∞f(x)=b,\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b,

则 y=by=b 是相应方向的水平渐近线。

6.3 斜渐近线

若存在 a,b∈Ra,b\in\mathbb R，使

lim⁡x→±∞[f(x)−(ax+b)]=0,\lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(ax+b)]=0,

则 y=ax+by=ax+b 是相应方向的斜渐近线。

当相应极限存在时，

a=lim⁡x→±∞f(x)x,a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x, b=lim⁡x→±∞[f(x)−ax].b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax].

7. 函数图像分析

完整分析一个函数时，通常依次考察：

  1. 定义域；
  2. 对称性和周期性；
  3. 与坐标轴的交点及符号；
  4. 连续性、间断点和渐近线；
  5. 一阶导数、临界点和单调区间；
  6. 极值及端点行为；
  7. 二阶导数、凹凸区间和拐点；
  8. 综合绘制图像。

对于参数方程，还要检查参数取值范围以及 dx/dt=0dx/dt=0 的特殊点。

8. 不等式

8.1 单调性方法

要证明

F(x)≥0,F(x)\ge0,

可研究 F′F' 的符号，并结合某个已知点的函数值。

例如由 ln⁡x\ln x 的凹性或导数方法可得

ln⁡x≤x−1(x>0).\ln x\le x-1 \qquad(x>0).

8.2 凸函数切线不等式

若 ff 为可导凸函数，则

f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0).f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

取 f(x)=exf(x)=e^x、x0=0x_0=0 得

ex≥1+x.e^x\ge1+x.

8.3 Jensen 不等式

若 ff 为凸函数，λi≥0\lambda_i\ge0 且 ∑i=1nλi=1\sum_{i=1}^n\lambda_i=1，则

f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi).f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i).

凹函数的不等式方向相反。

9. Newton 迭代

为求方程

f(x)=0f(x)=0

的近似根，可使用迭代

xn+1=xn−f(xn)f′(xn).x_{n+1} =x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

几何上，这是用 xnx_n 处切线与 xx 轴的交点作为下一次近似。

Newton 法的收敛依赖初值、导数非零及局部光滑性；公式可写出并不意味着对任意初值都收敛。

10. 本篇要点

  1. 一阶导数符号决定单调性及局部极值类型。
  2. 二阶和高阶导数可以进一步判定极值。
  3. 凸函数可由弦、切线、导数单调性或二阶导数刻画。
  4. f′′(x0)=0f''(x_0)=0 只是拐点候选条件。
  5. 函数图像应综合定义域、极限、导数和渐近线分析。
  6. 凸性是建立许多重要不等式的统一工具。

下一篇将进入积分学，整理原函数、不定积分和基本积分方法。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.