数学分析 08：L’Hôpital 法则与 Taylor 公式

L’Hôpital 法则利用导数之比处理特定未定式，Taylor 公式则用多项式及余项描述函数的局部结构。

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1. L’Hôpital 法则

1.1 $0/0$ 型

定理
设当 $x\to x_0$ 时：

1. $f(x)\to0$，$g(x)\to0$；

2. $f,g$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内可导；

3. $g'(x)\ne0$；

4. 极限

   $$\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$$

   存在，其中 $A$ 可以是有限值或正负无穷；

则

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A.$$

相应的单侧极限以及 $x\to\pm\infty$ 情形也成立。

1.2 $\infty/\infty$ 型

定理
将条件中的 $f(x)\to0$、$g(x)\to0$ 换为

$$|f(x)|\to\infty,\qquad |g(x)|\to\infty,$$

其余条件不变，仍有

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

1.3 使用注意

L’Hôpital 法则不能反向使用。即使

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}$$

存在，

$$\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

也可能不存在。

在使用前必须先确认原式确实属于 $0/0$ 型或 $\infty/\infty$ 型。

法则可以连续使用多次，但每次都必须重新检查条件。

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2. 其他未定式的转化

2.1 $0\cdot\infty$

乘积

$$f(x)g(x)$$

可改写为

$$\frac{f(x)}{1/g(x)} \quad\text{或}\quad \frac{g(x)}{1/f(x)},$$

从而转化为商的未定式。

2.2 $\infty-\infty$

通常通过通分、有理化或提取主项转化。例如

$$\sqrt{x^2+x}-x =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$$

2.3 幂指型

对

$$1^\infty,\qquad 0^0,\qquad \infty^0$$

型，令

$$y=u(x)^{v(x)}$$

并取对数：

$$\ln y=v(x)\ln u(x).$$

先求 $\ln y$ 的极限，再利用指数函数连续性还原。

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3. 高阶无穷小与阶的比较

设 $\alpha(x),\beta(x)\to0$。

• 若 $\alpha/\beta\to0$，称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作

  $$\alpha=o(\beta);$$

• 若 $\alpha/\beta\to c\ne0$，称二者同阶；

• 若 $\alpha/\beta\to1$，称二者等价；

• 若 $\alpha/\beta^k\to c\ne0$，称 $\alpha$ 是关于 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

Landau 记号

$$\alpha=O(\beta)$$

表示 $\alpha/\beta$ 在相应极限过程中有界。

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4. Taylor 多项式

设函数 $f$ 在 $x_0$ 具有直到 $n$ 阶的导数。定义 $n$ 次 Taylor 多项式

$$T_n(x) =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.$$

即

$$T_n(x) =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) +\cdots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$

当 $x_0=0$ 时，称为 Maclaurin 多项式。

Taylor 多项式在 $x_0$ 处与原函数具有相同的前 $n$ 阶导数。

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5. Taylor 公式

5.1 Peano 余项

定理（Taylor 公式的 Peano 形式）
若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则

$$f(x) =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o\bigl((x-x_0)^n\bigr).$$

Peano 形式适合求极限和比较无穷小的阶。

5.2 Lagrange 余项

定理（Taylor 公式的 Lagrange 形式）
若 $f$ 在连接 $x_0$ 与 $x$ 的闭区间上具有直到 $n$ 阶的连续导数，在开区间内存在 $n+1$ 阶导数，则存在位于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使

$$f(x) =T_n(x) +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

余项记作

$$R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

Lagrange 余项适合估计近似误差。

5.3 一阶情形

$n=0$ 时，Taylor 公式退化为 Lagrange 中值公式：

$$f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0).$$

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6. 常用 Maclaurin 展开

当 $x\to0$ 时：

$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!} +\cdots+ \frac{x^n}{n!} +o(x^n),$$ $$\sin x =x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\cdots,$$ $$\cos x =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\cdots,$$ $$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} -\cdots,$$ $$(1+x)^\alpha =1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\cdots,$$ $$\frac1{1-x} =1+x+x^2+\cdots+x^n+O(x^{n+1}).$$

三角、对数和二项式展开只在相应定义域及余项条件下使用。

6.1 常见低阶形式

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

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7. Taylor 公式的用途

7.1 求极限

展开到首个不相消的非零项，即可比较分子与分母的阶。

例如

$$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$

所以

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} =\frac12.$$

7.2 近似计算

用 $T_n(x)$ 代替 $f(x)$，并通过余项估计误差：

$$f(x)=T_n(x)+R_n(x).$$

7.3 判断极值

若

$$f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0, \qquad f^{(n)}(x_0)\ne0,$$

则首个非零高阶项决定局部形态：

• $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$：严格局部最小；
• $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$：严格局部最大；
• $n$ 为奇数：不是局部极值点。

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8. 方法选择

极限结构	优先方法
简单乘积或商	极限运算、等价无穷小
$0/0$、$\infty/\infty$ 且易求导	L’Hôpital 法则
多项相消，需要知道阶	Taylor 展开
需要明确误差界	Taylor 公式的 Lagrange 余项
幂指未定式	先取对数

Taylor 展开通常比反复使用 L’Hôpital 法则提供更多结构信息。

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9. 常见误区

1. L’Hôpital 法则只直接适用于 $0/0$ 和 $\infty/\infty$ 型。
2. 导数之比没有极限时，原函数之比仍可能有极限。
3. 等价无穷小不能随意替换加减式中的一项。
4. Taylor 多项式不等于原函数，必须保留余项信息。
5. 写到 $x^n$ 的展开必须确认余项确实为 $o(x^n)$ 或相应阶。

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10. 本篇要点

1. L’Hôpital 法则用导数之比处理两类商式未定式。
2. 其他未定式通常先转化为商式或对数形式。
3. Taylor 多项式匹配函数在展开点处的有限阶导数。
4. Peano 余项适合求极限，Lagrange 余项适合误差估计。
5. Taylor 展开揭示函数局部行为和无穷小的阶。

下一篇将整理单调性、极值、凹凸性、渐近线以及函数图像分析。

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参考教材

1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.