微分中值定理把区间上的函数增量与某一点的导数联系起来，是讨论单调性、极值、Taylor 公式和 L’Hôpital 法则的核心工具。

1. 极值与 Fermat 定理

1.1 局部极值

定义（局部最大值）
若存在 δ>0\delta>0，使得定义域内所有满足 ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta 的 xx 都有

f(x)≤f(x0),f(x)\le f(x_0),

则称 f(x0)f(x_0) 为局部最大值，x0x_0 为局部最大值点。

局部最小值类似定义，二者统称局部极值。

1.2 Fermat 定理

定理（Fermat）
若 x0x_0 是定义区间的内点，ff 在 x0x_0 可导，并且 x0x_0 是局部极值点，则

f′(x0)=0.f'(x_0)=0.

满足 f′(x0)=0f'(x_0)=0 的点称为驻点。

Fermat 定理只给出可导内点取得局部极值的必要条件，不是充分条件。例如 f(x)=x3f(x)=x^3 在 00 处导数为零，但没有极值。

端点极值和不可导点不受 Fermat 定理限制。

2. Rolle 定理

定理（Rolle）
若函数 ff 满足：

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 上可导；
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)；

则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f′(ξ)=0.f'(\xi)=0.

几何上，这表示连接两个等高端点的光滑曲线，至少存在一条水平切线。

三个条件都不可随意删除。特别要注意，结论点位于开区间内部。

3. Lagrange 中值定理

定理（Lagrange）
若 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 上可导，则至少存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

等价地，

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

该定理说明某一点的瞬时变化率等于整个区间上的平均变化率。

Rolle 定理是 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 时的特殊情形。

3.1 有限增量公式

令 b=a+hb=a+h，则存在 θ∈(0,1)\theta\in(0,1)，使

f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h.f(a+h)-f(a)=f'(a+\theta h)h.

这是 Lagrange 中值定理常用的增量形式。

4. Lagrange 定理的推论

4.1 导数恒为零

定理
若 ff 在区间 II 上可导，且

f′(x)=0,∀x∈I,f'(x)=0,\qquad \forall x\in I,

则 ff 在 II 上为常数。

推论
若 f′=g′f'=g'，则

f−g=C.f-g=C.

4.2 导数符号与单调性

设 ff 在区间 II 上可导，则：

f′(x)≥0⟹f在I上单调增加,f'(x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{在}I\text{上单调增加}, f′(x)≤0⟹f在I上单调减少.f'(x)\le0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{在}I\text{上单调减少}.

若处处有严格不等式，则函数严格单调。

反过来，若可导函数单调增加，则必有 f′(x)≥0f'(x)\ge0；单调减少时类似。

4.3 导数有界与 Lipschitz 条件

若

∣f′(x)∣≤M,x∈I,|f'(x)|\le M, \qquad x\in I,

则对所有 x,y∈Ix,y\in I，

∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣.|f(x)-f(y)|\le M|x-y|.

因此 ff 在 II 上 Lipschitz 连续，从而一致连续。

4.4 误差估计

若在 x0x_0 与 xx 之间有

∣f′(t)∣≤M,|f'(t)|\le M,

则

∣f(x)−f(x0)∣≤M∣x−x0∣.|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|.

5. Cauchy 中值定理

定理（Cauchy）
若 f,gf,g 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 上可导，则至少存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使

[f(b)−f(a)]g′(ξ)=[g(b)−g(a)]f′(ξ).[f(b)-f(a)]g'(\xi) =[g(b)-g(a)]f'(\xi).

若还满足

g′(x)≠0(x∈(a,b)),g'(x)\ne0 \qquad(x\in(a,b)),

则

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

取 g(x)=xg(x)=x 即得到 Lagrange 中值定理。

Cauchy 中值定理是 L’Hôpital 法则的重要基础。

6. Darboux 定理

定理（导数的 Darboux 性质）
设 ff 在区间 II 上可导。若

f′(x1)<λ<f′(x2),f'(x_1)<\lambda<f'(x_2),

则存在 ξ\xi 位于 x1,x2x_1,x_2 之间，使

f′(ξ)=λ.f'(\xi)=\lambda.

因此，导数即使不连续，也具有介值性质，不能发生跳跃间断。

“导函数具有介值性”并不等于“导函数连续”。

7. 导数极限与函数极限

定理
若 ff 在 x0x_0 的某个去心邻域内可导，ff 在 x0x_0 连续，并且

lim⁡x→x0f′(x)=A,\lim_{x\to x_0}f'(x)=A,

则 ff 在 x0x_0 可导，且

f′(x0)=A.f'(x_0)=A.

该结论也适用于相应的单侧情形。

7.1 导数无界不等于函数无界

例如

f(x)=xf(x)=\sqrt x

在 [0,1][0,1] 上有界且连续，但

f′(x)=12xf'(x)=\frac1{2\sqrt x}

在 00 附近无界。

8. 中值定理的选用

目标常用定理
找到导数为零的点Rolle 定理
比较函数增量与导数Lagrange 中值定理
比较两个函数的增量比Cauchy 中值定理
由导数符号判断单调性Lagrange 中值定理
证明函数为常数Lagrange 中值定理
建立 Lipschitz 估计Lagrange 中值定理
推导 L’Hôpital 法则Cauchy 中值定理

9. 常见误区

  1. Fermat 定理不适用于区间端点或不可导点。
  2. f′(x0)=0f'(x_0)=0 不保证 x0x_0 是极值点。
  3. Rolle 与 Lagrange 定理要求闭区间连续、开区间可导。
  4. 导数不连续并不意味着导数可以跳跃。
  5. f′(x)≥0f'(x)\ge0 只能直接推出单调增加；若要严格增加，还需更强条件或进一步分析。

10. 本篇要点

  1. Fermat 定理给出可导内点取得极值的必要条件。
  2. Rolle 定理保证等高端点之间存在水平切线。
  3. Lagrange 定理把函数增量与某一点的导数联系起来。
  4. Cauchy 定理统一处理两个函数的增量比。
  5. 导数具有 Darboux 介值性质。
  6. 中值定理是单调性、误差估计与极限计算的基础。

下一篇将整理L’Hôpital 法则、Taylor 公式和常用函数展开。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.