数学分析 06：导数与微分

导数刻画函数在一点附近的瞬时变化率，微分则给出函数增量的线性主部。

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1. 导数

1.1 定义

定义（导数）
设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若有限极限

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 可导，该极限称为 $f$ 在 $x_0$ 的导数，记作

$$f'(x_0),\qquad \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}.$$

令 $\Delta x=x-x_0$，导数也可写为

$$f'(x_0) =\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

1.2 几何与物理意义

若曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则切线斜率为 $f'(x_0)$，切线方程为

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

若 $s=s(t)$ 表示位移，则 $s'(t)$ 表示瞬时速度，$s''(t)$ 表示瞬时加速度。

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2. 单侧导数

定义
右导数和左导数分别为

$$f'_+(x_0) =\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ $$f'_-(x_0) =\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

定理

$$f'(x_0)\text{存在} \quad\Longleftrightarrow\quad f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$$

且二者都是有限值。

在闭区间端点处通常只讨论相应的单侧导数。

例如 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处有

$$f'_-(0)=-1,\qquad f'_+(0)=1,$$

所以不可导。

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3. 可导与连续

定理
若 $f$ 在 $x_0$ 可导，则 $f$ 在 $x_0$ 连续。

逆命题不成立。连续函数可能由于尖点、角点、垂直切线或剧烈振荡而不可导。

典型反例包括：

$$f(x)=|x|,$$

以及

$$f(x)= \begin{cases} x\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$$

后一函数在 $0$ 连续，但差商 $\sin(1/x)$ 没有极限。

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4. 微分

4.1 定义

定义（可微）
设

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) \qquad(\Delta x\to0),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 可微，线性主部

$$dy=A\Delta x$$

称为函数在 $x_0$ 的微分。

自变量的微分记作

$$dx=\Delta x,$$

因而

$$dy=f'(x_0)\,dx.$$

4.2 可导与可微

定理
一元函数在一点可微，当且仅当它在该点可导；此时

$$A=f'(x_0).$$

因此

$$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

4.3 线性近似

当 $x$ 接近 $x_0$ 时，

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

例如

$$\sqrt{1+h}\approx1+\frac h2 \qquad(h\to0).$$

微分给出局部一阶近似，误差相对于 $\Delta x$ 是高阶无穷小。

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5. 基本求导法则

若 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 可导，$c$ 为常数，则

$$(u\pm v)'=u'\pm v',$$ $$(cu)'=cu',$$ $$(uv)'=u'v+uv',$$ $$\left(\frac uv\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^2} \qquad(v\ne0).$$

幂函数满足

$$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$

其中定义域应按实函数情形确定。

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6. 复合函数与反函数

6.1 链式法则

定理（链式法则）
若 $u=g(x)$ 在 $x_0$ 可导，$y=f(u)$ 在 $u_0=g(x_0)$ 可导，则复合函数 $f\circ g$ 在 $x_0$ 可导，且

$$\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

链式法则可以推广到任意有限层复合。

6.2 反函数求导

定理
设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 附近严格单调连续，在 $x_0$ 可导，且

$$f'(x_0)\ne0.$$

则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y_0=f(x_0)$ 可导，并且

$$(f^{-1})'(y_0) =\frac1{f'(x_0)}.$$

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7. 基本初等函数的导数

$$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}, \qquad (e^x)'=e^x,$$ $$(a^x)'=a^x\ln a, \qquad (\ln x)'=\frac1x,$$ $$(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x,$$ $$(\tan x)'=\sec^2x, \qquad (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},$$ $$(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}.$$

以上公式均需在相应实定义域内使用。

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8. 隐式与对数求导

8.1 隐式求导

若 $x,y$ 满足关系

$$F(x,y)=0$$

且局部上 $y$ 可视为 $x$ 的可导函数，则对等式两边关于 $x$ 求导：

$$F_x+F_y\,y'=0.$$

当 $F_y\ne0$ 时，

$$y'=-\frac{F_x}{F_y}.$$

这一公式将在隐函数定理中得到严格说明。

8.2 对数求导

对乘积、商或变指数幂函数，可先取对数再求导。

若 $y=u(x)^{v(x)}>0$，则

$$\ln y=v(x)\ln u(x),$$

从而

$$\frac{y'}y =v'\ln u+v\frac{u'}u.$$

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9. 参数方程求导

设曲线由

$$x=x(t),\qquad y=y(t)$$

给出。若 $x'(t)\ne0$，则

$$\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{y'(t)}{x'(t)}.$$

若相关导数存在，则

$$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{1}{x'(t)} \frac{d}{dt}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right).$$

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10. 高阶导数

若 $f'$ 仍可导，则称

$$f''=(f')'$$

为二阶导数。依次定义

$$f^{(n)}(x) =\frac{d^nf}{dx^n}.$$

若 $f$ 在区间上具有直到 $n$ 阶的连续导数，则记作

$$f\in C^n(I).$$

Leibniz 公式

$$(uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^n \binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

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11. 本篇要点

1. 导数是函数增量与自变量增量之比的极限。
2. 双侧导数存在当且仅当左右导数存在且相等。
3. 可导必连续，连续不一定可导。
4. 一元函数可导与可微等价。
5. 微分是函数增量的线性主部。
6. 链式法则、反函数求导和参数方程求导是复合结构的基础。

下一篇将整理Fermat、Rolle、Lagrange 与 Cauchy 微分中值定理。

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参考教材

1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.