数学分析 05：连续函数的重要定理

连续函数不仅在一点附近保持函数值的稳定性，在闭区间上还具有有界、取得最值、取遍中间值和一致连续等整体性质。

1. 连续函数的局部性质

1.1 局部有界性

定理（局部有界性）
若 $f$ 在 $x_0$ 连续，则存在 $\delta>0$ 和 $M>0$ ，使得

|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|\le M.

这是局部结论，只保证 $x_0$ 附近有界，并不保证函数在整个定义域上有界。

1.2 局部保号性

定理（局部保号性）
若 $f$ 在 $x_0$ 连续且 $f(x_0)>0$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得

|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0.

更强地，可以使

f(x)>\frac{f(x_0)}2.

$f(x_0)<0$ 时有相应的负号结论。

1.3 局部比较

若 $f,g$ 在 $x_0$ 连续且

f(x_0)<g(x_0),

则存在 $x_0$ 的某个邻域，使其中所有 $x$ 都满足

f(x)<g(x).

严格不等式能够由连续性传递到邻域，非严格不等式一般不能。

2. 零点定理与介值定理

2.1 Bolzano 零点定理

定理（零点定理）
若 $f\in C([a,b])$ ，并且

f(a)f(b)<0,

则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ，使得

f(\xi)=0.

定理只保证零点存在，不保证唯一。要获得唯一性，通常还需要严格单调等条件。

若仅有 $f(a)f(b)\le0$ ，零点可能就是端点。

2.2 介值定理

定理（介值定理）
若 $f\in C([a,b])$ ，且数 $\mu$ 位于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则至少存在 $\xi\in[a,b]$ ，使

f(\xi)=\mu.

推论
连续函数把区间映成区间。

因此，连续函数的值不能从一个数“跳跃”到另一个数而遗漏中间值。

2.3 区间映射

若 $I$ 是区间， $f:I\to\mathbb R$ 连续，则 $f(I)$ 仍是区间。

若 $I=[a,b]$ ，则 $f(I)$ 还是闭区间：

f([a,b])=[m,M],

其中 $m$ 、 $M$ 分别是 $f$ 在 $[a,b]$ 上取得的最小值和最大值。

3. 有界性定理与最值定理

3.1 有界性定理

定理
若 $f\in C([a,b])$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，即存在 $M>0$ 使

|f(x)|\le M, \qquad \forall x\in[a,b].

闭区间和连续性两个条件都很重要：

$f(x)=1/x$ 在 $(0,1]$ 连续但无界；
某些定义在闭区间上的不连续函数也可能无界。

3.2 Weierstrass 最值定理

定理（最值定理）
若 $f\in C([a,b])$ ，则存在 $x_m,x_M\in[a,b]$ ，使得

f(x_m)=\min_{x\in[a,b]}f(x),

f(x_M)=\max_{x\in[a,b]}f(x).

“有上确界”与“取得最大值”不同。最值定理保证闭区间上的连续函数真正取到其上下确界。

3.3 连续函数像的紧致性

上述定理可以统一表述为：

定理
紧集在连续映射下的像仍是紧集。

在实数轴上，紧集等价于闭且有界的集合。闭区间 $[a,b]$ 是最基本的紧集。

4. 一致连续

4.1 定义

定义（一致连续）
设 $f:D\to\mathbb R$ 。若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得对任意 $x,y\in D$ ，只要

|x-y|<\delta,

就有

|f(x)-f(y)|<\varepsilon,

则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

一致连续中的 $\delta$ 只能依赖于 $\varepsilon$ ，必须对整个定义域内所有点同时有效。

4.2 连续与一致连续的区别

逐点连续的量词形式是

\forall x_0\in D,\quad \forall\varepsilon>0,\quad \exists\delta=\delta(x_0,\varepsilon)>0.

一致连续的量词形式是

\forall\varepsilon>0,\quad \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0,\quad \forall x,y\in D.

一致连续必然连续，逆命题一般不成立。

例如 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续，但不一致连续； $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。

4.3 Heine–Cantor 定理

定理（Heine–Cantor）
闭区间上的连续函数必一致连续：

f\in C([a,b]) \quad\Longrightarrow\quad f\text{在}[a,b]\text{上一致连续}.

更一般地，紧集上的连续函数必一致连续。

4.4 Lipschitz 连续

定义（Lipschitz 连续）
若存在常数 $L>0$ ，使对所有 $x,y\in D$ 都有

|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,

则称 $f$ 在 $D$ 上满足 Lipschitz 条件。

有如下蕴含关系：

\text{Lipschitz 连续} \quad\Longrightarrow\quad \text{一致连续} \quad\Longrightarrow\quad \text{连续}.

逆向一般均不成立。例如 $\sqrt x$ 在 $[0,1]$ 上一致连续，但不满足全区间上的 Lipschitz 条件。

5. 一致连续的判定

5.1 数列判别

定理
函数 $f:D\to\mathbb R$ 在 $D$ 上一致连续，当且仅当对任意满足

x_n,y_n\in D, \qquad |x_n-y_n|\to0

的两个数列，都有

|f(x_n)-f(y_n)|\to0.

若要证明函数不一致连续，只需找到两列点 $\{x_n\}$ 、 $\{y_n\}$ ，使

|x_n-y_n|\to0

但

|f(x_n)-f(y_n)|\not\to0.

5.2 导数有界判别

定理
若 $f$ 在区间 $I$ 上可导，且存在 $M>0$ 使

|f'(x)|\le M, \qquad \forall x\in I,

则 $f$ 在 $I$ 上满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。

该结论是 Lagrange 中值定理的直接应用。

6. 一致连续的延拓性质

定理
若 $f$ 在有限开区间 $(a,b)$ 上一致连续，则有限的单侧极限

\lim_{x\to a^+}f(x), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)

都存在。

因此 $f$ 可以唯一地连续延拓到 $[a,b]$ 。

反过来，若 $f$ 可以连续延拓到 $[a,b]$ ，则由 Heine–Cantor 定理， $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。

7. 闭区间方法的核心结论

闭区间 $[a,b]$ 同时具有闭性和有界性，其完备性可以通过多种等价定理表达：

闭区间套定理；
Bolzano–Weierstrass 定理；
Heine–Borel 有限覆盖定理；
单调有界数列收敛定理；
Cauchy 收敛准则；
确界原理。

这些结论共同支撑了连续函数在闭区间上的有界性、最值性、一致连续性和介值性。

8. 定理使用条件速查

结论	典型充分条件
局部有界、局部保号	在一点连续
至少存在一个零点	闭区间连续且端点异号
取遍端点函数值之间的所有值	闭区间连续
整个区间有界	闭区间连续
取得最大值和最小值	闭区间连续
一致连续	紧集上连续
Lipschitz 连续	区间上可导且导数有界

9. 常见误区

零点定理只保证存在性，不保证唯一性。
连续函数在开区间上不一定有界，也不一定取得最值。
连续函数在无界区间上不一定一致连续。
一致连续控制的是任意两点，而不是某个固定点附近。
严格单调性通常用于保证解或零点唯一，连续性用于保证存在。

10. 本篇要点

连续函数在一点附近具有局部有界性和保号性。
介值定理说明连续函数不能跳过中间值。
闭区间上的连续函数有界并取得最大值、最小值。
一致连续要求同一个 $\delta$ 对整个定义域有效。
紧集上的连续函数必一致连续。
Lipschitz 连续比一致连续更强。

下一篇将进入微分学，整理导数、单侧导数、微分以及基本求导法则。

参考教材

华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed.