函数极限描述自变量趋近某点时的行为；连续性则要求函数在该点的极限与函数值一致。

1. 一点连续

1.1 定义

定义（在一点连续）
设函数 ff 在 x0x_0 的某个邻域内有定义。若

lim⁡x→x0f(x)=f(x0),\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),

则称 ff 在点 x0x_0 连续。

等价地，对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 δ>0\delta>0，使得

∣x−x0∣<δ⟹∣f(x)−f(x0)∣<ε.|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

注意连续性的定义使用邻域而非去心邻域，因为必须比较 f(x)f(x) 与实际点值 f(x0)f(x_0)。

1.2 增量形式

令

Δx=x−x0,Δy=f(x0+Δx)−f(x0).\Delta x=x-x_0,\qquad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).

则 ff 在 x0x_0 连续当且仅当

Δx→0⟹Δy→0.\Delta x\to0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta y\to0.

1.3 连续的三个条件

ff 在 x0x_0 连续等价于：

  1. f(x0)f(x_0) 有定义；
  2. lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) 存在；
  3. lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)。

缺少其中任意一条，函数都不在该点连续。

2. 单侧连续与区间连续

2.1 左连续与右连续

若

lim⁡x→x0−f(x)=f(x0),\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0),

则称 ff 在 x0x_0 左连续；右连续类似定义。

定理

f在x0连续f\text{在}x_0\text{连续}

当且仅当 ff 在 x0x_0 左连续且右连续。

2.2 区间上的连续性

函数在开区间 (a,b)(a,b) 上连续，是指它在区间内每一点都连续。

函数在闭区间 [a,b][a,b] 上连续，是指：

  1. 在 (a,b)(a,b) 内每一点连续；
  2. 在左端点 aa 右连续；
  3. 在右端点 bb 左连续。

记全体连续函数为

C([a,b])C([a,b])

或

C(a,b).C(a,b).

3. 间断点

3.1 定义

若函数 ff 在 x0x_0 有定义或至少在其去心邻域内有定义，但不在 x0x_0 连续，则称 x0x_0 为 ff 的间断点。

3.2 第一类间断点

若左右极限

f(x0−0),f(x0+0)f(x_0-0),\qquad f(x_0+0)

都存在且有限，则称 x0x_0 为第一类间断点。

第一类间断点分为：

  • 可去间断点：左右极限相等；
  • 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。

对可去间断点，只要重新定义

f(x0)=lim⁡x→x0f(x),f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x),

即可使函数在该点连续。

例如

f(x)=x2−1x−1f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

在 x=1x=1 未定义，但极限为 22。补充定义 f(1)=2f(1)=2 后即可连续。

3.3 第二类间断点

若至少一个单侧极限不存在或不是有限值，则称 x0x_0 为第二类间断点。

常见情形包括：

  • 无穷间断点，例如 f(x)=1/xf(x)=1/x 在 00 处；
  • 振荡间断点，例如 f(x)=sin⁡(1/x)f(x)=\sin(1/x) 在 00 处。

4. 连续函数的运算

4.1 四则运算

若 f,gf,g 在 x0x_0 连续，则

f±g,fgf\pm g,\qquad fg

都在 x0x_0 连续。

若还满足 g(x0)≠0g(x_0)\ne0，则

fg\frac fg

也在 x0x_0 连续。

绝对值函数保持连续性：

f连续⟹∣f∣连续.f\text{连续}\quad\Longrightarrow\quad |f|\text{连续}.

4.2 复合函数

定理（复合函数连续性）
若 gg 在 x0x_0 连续，ff 在 g(x0)g(x_0) 连续，则复合函数

f∘gf\circ g

在 x0x_0 连续。

因此，在满足定义域条件时，可以把极限代入连续函数：

lim⁡x→x0f(g(x))=f(lim⁡x→x0g(x)).\lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right).

4.3 最大值与最小值运算

若 f,gf,g 连续，则

max⁡{f,g}和min⁡{f,g}\max\{f,g\} \quad\text{和}\quad \min\{f,g\}

也连续，因为

max⁡{f,g}=f+g+∣f−g∣2,\max\{f,g\} =\frac{f+g+|f-g|}{2}, min⁡{f,g}=f+g−∣f−g∣2.\min\{f,g\} =\frac{f+g-|f-g|}{2}.

5. 初等函数的连续性

下列基本函数在其定义域内连续：

  1. 常数函数与幂函数；
  2. 多项式函数；
  3. 有理函数；
  4. 指数函数与对数函数；
  5. 三角函数与反三角函数。

由有限次四则运算和复合运算得到的初等函数，在其定义域内连续。

例如

f(x)=ln⁡(1+x2)+esin⁡xf(x)=\ln(1+x^2)+e^{\sin x}

在整个实数轴上连续。

“在定义域内连续”并不意味着定义域之外的点也可以讨论连续性。例如 ln⁡x\ln x 的实定义域为 (0,+∞)(0,+\infty)。

6. 单调连续函数与反函数

定理
设 ff 在区间 II 上严格单调且连续，则：

  1. f(I)f(I) 仍是区间；

  2. 反函数

    f−1:f(I)→If^{-1}:f(I)\to I

    存在；

  3. f−1f^{-1} 在 f(I)f(I) 上连续；

  4. f−1f^{-1} 与 ff 具有相同的单调方向。

严格单调函数未必连续；但严格单调函数的不连续点只能是跳跃间断点。

7. 复合极限中的连续性

若

g(x)→u0g(x)\to u_0

且 ff 在 u0u_0 连续，则

f(g(x))→f(u0).f(g(x))\to f(u_0).

这条结论是常见“直接代入法”的理论依据。例如

lim⁡x→0cos⁡(x2)=cos⁡0=1.\lim_{x\to0}\cos(x^2)=\cos0=1.

如果 ff 在 u0u_0 不连续，则不能直接代入，必须回到函数极限本身进行判断。

8. 连续延拓

定义（连续延拓）
设 ff 在 x0x_0 处未定义，但

lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0}f(x)=A

存在。定义新函数

f~(x)={f(x),x≠x0,A,x=x0,\widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\ne x_0,\\ A,&x=x_0, \end{cases}

则称 f~\widetilde f 是 ff 在 x0x_0 处的连续延拓。

连续延拓只能消除可去间断点，不能消除跳跃、无穷或振荡间断点。

9. 常见误区

9.1 极限存在不等于连续

即使 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) 存在，如果 f(x0)f(x_0) 不存在或不等于该极限，函数仍不连续。

9.2 点值改变不影响极限

只改变 f(x0)f(x_0) 不会改变 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x)，但可能改变函数在 x0x_0 的连续性。

9.3 分段函数必须检查连接点

分段函数在每个开子区间内可能连续，但分段点处必须比较左极限、右极限和函数值。

9.4 连续不等于可导

函数

f(x)=∣x∣f(x)=|x|

在 00 处连续，但在 00 处不可导。

10. 本篇要点

  1. 连续等价于函数极限等于函数值。
  2. 闭区间端点处采用单侧连续。
  3. 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
  4. 连续性在四则运算、复合运算及最大最小运算下保持。
  5. 初等函数在其定义域内连续。
  6. 严格单调连续函数的反函数仍连续。

下一篇将集中整理连续函数的局部性质、闭区间定理与一致连续性。

参考教材

  1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
  3. Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed.