数学分析 03：函数极限

数列极限研究离散指标 $n\to\infty$ 时的变化；函数极限则研究自变量趋近某一点或趋于无穷时，函数值的变化规律。

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1. 聚点与函数极限

1.1 定义域的聚点

定义（聚点）
设 $D\subseteq\mathbb R$。若点 $x_0$ 的任意去心邻域都含有 $D$ 中的点，即对任意 $\delta>0$，

$$\mathring U(x_0,\delta)\cap D\ne\varnothing,$$

则称 $x_0$ 为 $D$ 的聚点。

$x_0$ 可以属于 $D$，也可以不属于 $D$。只有当 $x_0$ 是定义域的聚点时，讨论 $x\to x_0$ 的函数极限才有意义。

1.2 有限极限

定义（函数在一点的极限）
设函数 $f$ 定义在 $x_0$ 的某个去心邻域内。若对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得当

$$0<|x-x_0|<\delta$$

时总有

$$|f(x)-A|<\varepsilon,$$

则称当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$，记作

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A.$$

这里的 $\delta$ 可以依赖于 $\varepsilon$，但不能依赖于具体的 $x$。

定义使用去心邻域，所以极限与 $f(x_0)$ 是否存在、以及 $f(x_0)$ 取什么值无关。

1.3 极限定义的否定

命题

$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne A$$

表示存在某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，都能找到 $x\in D$ 满足

$$0<|x-x_0|<\delta, \qquad |f(x)-A|\ge\varepsilon_0.$$

这个形式常用于证明某个极限不存在。

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2. 单侧极限

2.1 左极限与右极限

定义（左极限）
若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得

$$x_0-\delta<x<x_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-A|<\varepsilon,$$

则称 $A$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限，记作

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A \quad\text{或}\quad f(x_0-0)=A.$$

右极限 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ 类似定义。

定理（双侧极限的判定）

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$$

当且仅当

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x) =\lim_{x\to x_0^+}f(x) =A.$$

例如符号函数

$$\operatorname{sgn}x= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 0,&x=0,\\ 1,&x>0 \end{cases}$$

在 $0$ 处的左右极限分别为 $-1$ 和 $1$，所以双侧极限不存在。

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3. 自变量趋于无穷

3.1 $x\to+\infty$

定义
设函数 $f$ 在某个区间 $(a,+\infty)$ 上有定义。若对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $X>0$，使得

$$x>X\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-A|<\varepsilon,$$

则称

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A.$$

$x\to-\infty$ 的情形类似。本文始终把两个方向分别写成 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$，以避免歧义。若某教材约定 $x\to\infty$ 表示 $|x|\to+\infty$，则

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=A.$$

成立当且仅当两个方向的极限都等于 $A$。

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4. 无穷极限

4.1 趋于正无穷

定义
设 $f$ 定义在 $x_0$ 的某个去心邻域内。若对任意 $M>0$，都存在 $\delta>0$，使得

$$0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M,$$

则称

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty.$$

趋于 $-\infty$ 类似定义。自变量趋于无穷而函数值也趋于无穷的情形，只需同时替换相应的邻域条件。

$+\infty$ 和 $-\infty$ 不是实数，因此无穷极限不属于有限极限。

4.2 垂直与水平渐近线

若

$$\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty,$$

则直线 $x=x_0$ 是函数图像的一条垂直渐近线。

若

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$$

或

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=A,$$

则直线 $y=A$ 是相应方向上的水平渐近线。

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5. 极限的基本性质

5.1 唯一性与局部性质

定理

1. 函数极限若存在，则必定唯一；
2. 若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有界；
3. 若 $A>0$，则 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内为正；
4. 若 $A<0$，则 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内为负。

定理（保序性）
若在 $x_0$ 的某个去心邻域内有

$$f(x)\le g(x),$$

并且

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A,\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B,$$

则 $A\le B$。

5.2 四则运算

若

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A,\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B,$$

则

$$\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B,$$ $$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=AB.$$

当 $B\ne0$ 时，

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB.$$

5.3 夹逼定理

定理（夹逼定理）
若在 $x_0$ 的某个去心邻域内

$$f(x)\le g(x)\le h(x),$$

并且

$$\lim_{x\to x_0}f(x) =\lim_{x\to x_0}h(x) =A,$$

则

$$\lim_{x\to x_0}g(x)=A.$$

常用形式为

$$|g(x)-A|\le\varphi(x), \qquad \varphi(x)\to0 \quad\Longrightarrow\quad g(x)\to A.$$

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6. Heine 归结原则

定理（Heine 归结原则）
设 $x_0$ 是 $D$ 的聚点。则

$$\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in D}}f(x)=A$$

当且仅当对任意满足

$$x_n\in D\setminus\{x_0\}, \qquad x_n\to x_0$$

的数列 $\{x_n\}$，都有

$$f(x_n)\to A.$$

Heine 原则把函数极限问题转化为数列极限问题。

推论（极限不存在的判定）
若存在两个趋于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$，使得

$$\lim_{n\to\infty}f(x_n) \ne \lim_{n\to\infty}f(y_n),$$

则 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。

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7. Cauchy 准则

定理（函数极限的 Cauchy 准则）
有限极限

$$\lim_{x\to x_0}f(x)$$

存在，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得任意 $x',x''\in D$ 只要满足

$$0<|x'-x_0|<\delta, \qquad 0<|x''-x_0|<\delta,$$

就有

$$|f(x')-f(x'')|<\varepsilon.$$

Cauchy 准则不需要预先知道候选极限，其成立依赖于实数系的完备性。

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8. 无穷小量与等价无穷小

8.1 无穷小量

若在某一极限过程中

$$\alpha(x)\to0,$$

则称 $\alpha(x)$ 为该过程中的无穷小量。

函数 $f(x)\to A$ 当且仅当

$$f(x)=A+\alpha(x), \qquad \alpha(x)\to0.$$

有限个无穷小量的和与乘积仍是无穷小量；有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。

8.2 同阶与等价无穷小

设 $\alpha(x)\to0$，$\beta(x)\to0$。

• 若 $\alpha(x)/\beta(x)\to c\ne0$，称二者为同阶无穷小；

• 若 $\alpha(x)/\beta(x)\to1$，称二者为等价无穷小，记作

  $$\alpha(x)\sim\beta(x).$$

当 $x\to0$ 时，常用等价无穷小包括

$$\sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad \arcsin x\sim x,$$ $$\ln(1+x)\sim x,\qquad e^x-1\sim x,$$ $$(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x.$$

等价无穷小通常可以在乘积或商中替换，但不能直接在加减式中替换。

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9. 两个基本极限

数学分析中最常用的两个基本极限是

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

和

$$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.$$

第二个极限也可写成

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e.$$

由它们可以导出大量三角、指数与对数函数的极限。

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10. 未定式

直接代入极限运算法则无法确定结果的形式称为未定式，常见类型包括

$$\frac00,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,$$ $$1^\infty,\quad 0^0,\quad \infty^0.$$

“未定式”只表示现有信息不足，并不表示极限不存在。处理方法包括恒等变形、夹逼、等价无穷小、Taylor 展开和 L’Hôpital 法则。

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11. 本篇要点

1. 函数极限只考察去心邻域中的函数值，与点值无关。
2. 双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等。
3. Heine 原则在函数极限与数列极限之间建立了桥梁。
4. Cauchy 准则无需预先知道极限值。
5. 等价无穷小适合乘除式，不能随意用于加减式。
6. 有限极限、无穷极限和自变量趋于无穷必须分别理解。

下一篇将整理连续函数的定义、间断点分类以及连续性的运算规则。

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参考教材

1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
3. Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed.