复变函数 04：Cauchy 积分公式与解析函数基本定理

Cauchy 积分定理说明解析函数沿适当闭曲线的积分为零；Cauchy 积分公式则进一步说明，解析函数在区域内部的值完全由边界上的值决定。

这一公式是解析函数刚性的来源。无穷次可导、局部幂级数展开、Liouville 定理、代数基本定理、最大模原理和恒等定理，都可以沿着同一条逻辑主线从它导出。

本文承接“复变函数 03”。除非特别说明，曲线均按正向取向，函数均在包含曲线及其内部的开集上解析。

1. Cauchy 积分公式

1.1 简单闭曲线形式

定理（Cauchy 积分公式）
设 $\gamma$ 是正向简单闭曲线， $f$ 在包含 $\gamma$ 及其内部的区域上解析。若 $a$ 位于 $\gamma$ 内部，则

f(a) =\frac1{2\pi i} \int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

等价地，

\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi i\,f(a).

若 $a$ 位于 $\gamma$ 外部，并且 $f$ 在曲线及其内部解析，则

\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz=0.

1.2 边界值决定内部值

Cauchy 公式可以理解为一种复分析中的边界重构公式：

\boxed{ \text{解析函数在内部一点的值} = \text{边界上全部函数值的加权积分} }

因此，解析函数不能在内部随意变化。只要知道适当边界上的值，内部值就已经被唯一确定。

1.3 圆周形式

若

|z-a|=R

按逆时针方向取向，并且 $f$ 在闭圆盘上解析，则

f(a) =\frac1{2\pi i} \int_{|z-a|=R} \frac{f(z)}{z-a}\,dz.

令

z=a+Re^{it}, \qquad 0\le t\le2\pi,

可得

f(a) =\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(a+Re^{it})\,dt.

这就是解析函数的圆周平均值公式。

2. 广义 Cauchy 积分公式

2.1 用绕数表示

设 $\gamma$ 是区域 $D$ 内的闭曲线， $a\in D\setminus\gamma$ 。若 $\gamma$ 在 $D$ 中不围绕任何不属于 $D$ 的点，则

\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi i\, \operatorname{Ind}(\gamma,a)f(a).

因此

f(a)\operatorname{Ind}(\gamma,a) =\frac1{2\pi i} \int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

对正向简单闭曲线，内部点的绕数为 $1$ ，这就退化为普通 Cauchy 积分公式。

2.2 多次绕行

若曲线逆时针围绕 $a$ 共 $m$ 次，则

\operatorname{Ind}(\gamma,a)=m,

从而

\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2m\pi i\,f(a).

若顺时针绕行，则 $m<0$ 。

2.3 多个 Cauchy 核

若 $a_1,\ldots,a_n$ 均不在曲线上，可以先作部分分式分解，再分别使用 Cauchy 公式。

例如，当 $a\ne b$ 且二者均在正向简单闭曲线内部时，

\frac1{(z-a)(z-b)} =\frac1{a-b} \left( \frac1{z-a}-\frac1{z-b} \right),

所以

\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)(z-b)}\,dz =2\pi i\, \frac{f(a)-f(b)}{a-b}.

3. 高阶导数公式

3.1 一阶导数

若 $f$ 在包含 $\gamma$ 及其内部的区域上解析， $a$ 位于 $\gamma$ 内部，则

f'(a) =\frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^2}\,dz.

3.2 任意阶导数

定理（Cauchy 高阶导数公式）

f^{(n)}(a) =\frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz, \qquad n\in\mathbb N.

等价地，

\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz =\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a).

3.3 解析函数无穷次可导

高阶导数公式直接给出：

定理
若 $f$ 在区域 $D$ 上解析，则 $f$ 在 $D$ 上具有任意阶复导数。

这与实分析形成鲜明对比：实函数一次可导并不能保证二次可导，而复函数只要在一个邻域内复可导，就自动无穷次可导。

3.4 计算例子

设 $\gamma$ 是以 $1$ 为内部点的正向简单闭曲线，并且指数函数在曲线及其内部解析。计算

\int_\gamma \frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz.

取 $n=2$ ，由高阶导数公式，

\int_\gamma \frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz =\frac{2\pi i}{2!} \left.\frac{d^2}{dz^2}e^z\right|_{z=1} =\pi i e.

4. Cauchy 估计

4.1 导数估计

设 $f$ 在闭圆盘

\overline{B(a,R)} =\{z:|z-a|\le R\}

的某个邻域内解析，并且

M_R=\max_{|z-a|=R}|f(z)|.

定理（Cauchy 估计）

|f^{(n)}(a)| \le \frac{n!M_R}{R^n}, \qquad n\in\mathbb N.

它把函数内部的各阶导数控制在边界最大模之下。

4.2 任意内部小圆

若 $f$ 在区域 $D$ 上解析， $a\in D$ ，并且闭圆盘

\overline{B(a,r)}\subset D,

则

|f^{(n)}(a)| \le \frac{n!}{r^n} \max_{|z-a|=r}|f(z)|.

实际使用时，通常选择尽可能大的、仍完全包含在解析区域内的圆。

4.3 多项式增长的整函数

定理（广义 Liouville 结论）
若整函数 $f$ 满足

|f(z)|\le C(1+|z|^m)

对某个整数 $m\ge0$ 和常数 $C>0$ 成立，则 $f$ 是次数不超过 $m$ 的多项式。

特别地，增长阶为零，即全平面有界时， $f$ 必为常数。

5. 平均值公式

5.1 圆周平均

若 $f$ 在包含闭圆盘 $\overline{B(a,R)}$ 的区域上解析，则

f(a) =\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(a+Re^{it})\,dt.

解析函数在圆心的值等于其在圆周上的平均值。

例如，对 $f(z)=z^2$ ，

\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} (a+Re^{it})^2\,dt =a^2=f(a).

5.2 实部与虚部

若

f=u+iv

解析，则分别取实部和虚部可得

u(a) =\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} u(a+Re^{it})\,dt,

v(a) =\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} v(a+Re^{it})\,dt.

因此解析函数的实部和虚部作为调和函数也满足平均值性质。

5.3 面积平均

解析函数还满足圆盘面积平均公式：

f(a) =\frac1{\pi R^2} \iint_{|z-a|<R}f(z)\,dA.

同样的公式也分别适用于其实部和虚部。

6. Liouville 定理与代数基本定理

6.1 Liouville 定理

定理（Liouville）
若整函数 $f$ 在整个复平面上有界，即存在 $M>0$ 使

|f(z)|\le M, \qquad z\in\mathbb C,

则 $f$ 是常值函数。

“整函数”和“全平面有界”两个条件缺一不可。例如：

$e^z$ 是整函数，但在 $\mathbb C$ 上无界；
$1/(1+z)$ 在某些区域有界，但不是整函数。

6.2 代数基本定理

定理（代数基本定理）
每个次数至少为 $1$ 的复系数多项式都至少有一个复零点。

因此，任意 $n$ 次复系数多项式都可以分解为

P(z) =a_n\prod_{k=1}^n(z-z_k),

其中零点按重数计数。

Liouville 定理给出代数基本定理的一条经典证明路线：若非常数多项式没有零点，则 $1/P$ 将成为有界整函数，从而必须为常数，产生矛盾。

7. Taylor 展开

7.1 局部幂级数表示

定理（Taylor 展开）
若 $f$ 在圆盘

|z-a|<R

内解析，则

f(z) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n, \qquad |z-a|<R.

Taylor 系数由 Cauchy 高阶导数公式唯一确定：

\frac{f^{(n)}(a)}{n!} =\frac1{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta, \qquad 0<r<R.

7.2 收敛范围

Taylor 级数至少在以展开中心 $a$ 到最近奇点的距离为半径的圆盘内收敛。

更准确地说，收敛半径由函数从 $a$ 出发能够保持解析的最大圆盘决定。即使函数在更大的非圆形区域内解析，单个 Taylor 级数仍受圆盘边界上的最近障碍限制。

7.3 解析与幂级数的等价

在复变函数论中：

f\text{ 在 }a\text{ 附近解析} \quad\Longleftrightarrow\quad f\text{ 在 }a\text{ 附近可展开为收敛幂级数}.

下一篇将系统整理复级数、幂级数、Taylor 级数和 Laurent 级数；本节只强调它们与 Cauchy 公式的逻辑联系。

8. 零点及其阶数

8.1 零点

定义（零点）
若 $f(a)=0$ ，则称 $a$ 是 $f$ 的一个零点。

若存在最小正整数 $m$ 使

f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0,

而

f^{(m)}(a)\ne0,

则称 $a$ 是 $f$ 的 $m$ 阶零点。

8.2 零点的局部分解

定理
若 $f$ 在 $a$ 附近解析且不恒为零，则 $a$ 是 $m$ 阶零点，当且仅当

f(z)=(z-a)^m g(z),

其中 $g$ 在 $a$ 附近解析，并且

g(a)\ne0.

这说明解析函数在零点附近的主要行为与幂函数 $(z-a)^m$ 相同。

8.3 零点孤立性

定理（零点孤立性）
若 $f$ 在区域 $D$ 上解析且不恒为零，则 $f$ 的每个零点都是孤立点。

也就是说，对每个零点 $a$ ，存在足够小的去心邻域

0<|z-a|<\delta

使其中没有其他零点。

9. 恒等定理与唯一性

9.1 恒等定理

定理（恒等定理）
设 $f,g$ 在区域 $D$ 上解析。若集合

\{z\in D:f(z)=g(z)\}

在 $D$ 内有聚点，则

f\equiv g

在整个区域 $D$ 上成立。

令 $g\equiv0$ ，得到：

定理
若解析函数 $f$ 的零点集合在区域内部有聚点，则

f\equiv0.

9.2 聚点必须在区域内部

“零点有聚点”必须理解为聚点属于解析区域内部。

例如，

f(z)=\sin\frac1z

在穿孔区域 $0<|z|<1$ 内有无穷多个趋于 $0$ 的零点，但 $0$ 不属于该区域，所以不能由恒等定理推出 $f\equiv0$ 。

9.3 解析延拓的唯一性

若两个解析函数在一个小开集上相等，并且都解析地延伸到同一连通区域，则它们在整个区域上相等。

因此解析延拓如果存在，就是唯一的。这种唯一性远强于一般连续函数或光滑函数的情形。

10. 最大模原理

10.1 局部形式

定理（最大模原理）
若非常数函数 $f$ 在区域 $D$ 上解析，则 $|f|$ 不能在 $D$ 的内部点取得局部最大值。

等价地，若存在 $a\in D$ 及其某个邻域，使

|f(z)|\le|f(a)|,

则 $f$ 在整个区域 $D$ 上为常数。

10.2 有界区域的边界形式

若 $D$ 是有界区域， $f$ 在 $D$ 上解析并在 $\overline D$ 上连续，则

\max_{z\in\overline D}|f(z)| =\max_{z\in\partial D}|f(z)|.

因此非常数解析函数在紧区域上的最大模只能出现在边界。

10.3 最小模原理

若 $f$ 在区域 $D$ 上解析且处处不为零，则 $1/f$ 也解析。对 $1/f$ 使用最大模原理得到：

定理（最小模原理）
非常数且无零点的解析函数，其模不能在区域内部取得局部最小值。

若 $f$ 在内部取得模的最小值 $0$ ，这只表示该点是零点，并不迫使 $f$ 为常数。因此最小模原理必须附加“无零点”条件。

11. 开映射定理

定理（开映射定理）
设 $f$ 是区域 $D$ 上的非常数解析函数。若 $G\subseteq D$ 是开集，则

f(G)

也是开集。

等价地，解析函数把每个点的充分小邻域映成函数值附近的某个邻域。

开映射定理有以下常用推论：

非常数解析函数不能把一个二维开集压到一条曲线或实轴上；
若解析函数的值域包含于 $\mathbb R$ ，则它必为常数；
若 $f$ 非常数且 $f(a)=0$ ，则 $0$ 是 $f(D)$ 的内点。

开映射不要求 $f'(z)$ 处处非零。例如 $f(z)=z^2$ 在原点的导数为零，但它仍然是开映射。

12. Schwarz 引理

12.1 单位圆盘形式

记单位圆盘为

\mathbb D=\{z:|z|<1\}.

定理（Schwarz 引理）
若

f:\mathbb D\to\mathbb D

解析，并且 $f(0)=0$ ，则

|f(z)|\le|z|, \qquad z\in\mathbb D,

以及

|f'(0)|\le1.

若存在某个 $z_0\ne0$ 使

|f(z_0)|=|z_0|,

或者

|f'(0)|=1,

则存在实数 $\theta$ 使

f(z)=e^{i\theta}z.

也就是说，等号情形只能是单位圆盘的旋转。

12.2 Schwarz–Pick 不等式

更一般地，若 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 解析，则

\left| \frac{f(z)-f(w)} {1-\overline{f(w)}f(z)} \right| \le \left| \frac{z-w} {1-\overline w z} \right|.

令 $w=z$ 的微分形式为

\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2} \le \frac1{1-|z|^2}.

Schwarz–Pick 定理说明解析自映射不会增加单位圆盘的双曲距离。

13. 定理之间的依赖关系

本篇主要结论可以按下列主线理解：

\boxed{ \begin{array}{c} \text{Cauchy 积分公式}\\ \Downarrow\\ \text{高阶导数公式与 Cauchy 估计}\\ \Downarrow\\ \text{无穷次可导、Taylor 展开}\\ \Downarrow\\ \text{Liouville、恒等定理、最大模原理等刚性结论} \end{array}}

定理	核心结论
Cauchy 积分公式	内部值由边界积分确定
高阶导数公式	所有阶导数都可由边界积分表示
Cauchy 估计	用边界最大模控制内部导数
Liouville 定理	有界整函数必为常数
代数基本定理	非常数复多项式必有零点
恒等定理	内部聚点上的相等决定整个区域
最大模原理	非常数解析函数不能在内部取最大模
开映射定理	非常数解析函数把开集映成开集
Schwarz 引理	单位圆盘自映射受到精确的模和导数约束

14. 常见误区

14.1 Cauchy 公式要求解析性覆盖曲线内部

仅仅知道 $f$ 在曲线上解析或连续不够。公式要求 $f$ 在包含曲线及其内部的开集上解析。

14.2 核的奇点必须位于正确位置

对

\frac{f(z)}{z-a},

若 $a$ 在曲线内部，积分为 $2\pi i f(a)$ ；若 $a$ 在曲线外部，积分为零；若 $a$ 位于曲线上，普通曲线积分通常没有定义。

14.3 曲线方向会改变符号

Cauchy 公式默认正向取向。若曲线改为顺时针，则积分结果多一个负号。

14.4 高阶极点的阶数与导数阶数相差一

积分

\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{m}}\,dz

对应的是 $f^{(m-1)}(a)$ ，不是 $f^{(m)}(a)$ 。

14.5 恒等定理需要区域连通

若定义域不连通，两个解析函数可以在一个连通分支上相等、在另一个分支上不同。

14.6 零点序列的极限必须属于区域内部

若零点只在定义域边界或奇点处聚集，不能直接使用恒等定理。

14.7 最大模原理不禁止边界最大值

恰恰相反，在有界区域且函数连续到边界时，最大模通常在边界取得。

14.8 最小模原理必须排除零点

非常数解析函数完全可以在内部零点处取得最小模 $0$ 。只有函数无零点时，才能对 $1/f$ 使用最大模原理。

15. 本篇要点

Cauchy 积分公式用边界积分重构解析函数的内部值。
绕数形式把公式推广到一般闭曲线和多次绕行情形。
高阶导数公式说明解析函数自动具有任意阶导数。
Cauchy 估计用边界最大模控制内部所有阶导数。
解析函数满足圆周平均和圆盘面积平均性质。
Liouville 定理断言有界整函数必为常数，并可推出代数基本定理。
解析函数可以局部展开为唯一的 Taylor 级数。
非零解析函数的零点是孤立的，并具有确定的阶数。
恒等定理说明内部聚点上的函数值足以决定整个区域。
最大模原理、开映射定理和 Schwarz 引理体现了解析函数的刚性。

下一篇将整理 复级数、幂级数、Taylor 级数、Laurent 级数以及孤立奇点的分类。

参考教材

钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.