复变函数 03：复积分与 Cauchy 积分定理

复积分是复变函数论的核心工具。它表面上是沿平面曲线进行的线积分，但当被积函数解析时，积分会呈现出强烈的整体性：结果往往只由端点、曲线的拓扑位置或围绕奇点的次数决定。

本文承接“复变函数 02”，先建立曲线积分的定义与计算规则，再整理原函数、路径无关、Cauchy–Goursat 定理、复连通区域和积分变形。下一篇将在此基础上集中讨论 Cauchy 积分公式及其推论。

除非特别说明，本文中的曲线均为分段光滑曲线，函数均在所涉及的曲线上连续。

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1. 复平面中的曲线

1.1 参数曲线

定义（复曲线）
设 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ 是连续映射，

$$z=\gamma(t)=x(t)+iy(t),\qquad a\le t\le b.$$

则 $\gamma$ 的像称为复平面中的一条曲线，$t$ 称为参数。

曲线的起点和终点分别为

$$z_A=\gamma(a),\qquad z_B=\gamma(b).$$

参数从 $a$ 增加到 $b$ 所确定的行进方向称为曲线的正向。将方向反转所得的曲线记作 $-\gamma$。

1.2 光滑与分段光滑曲线

定义

• 若 $\gamma'(t)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则称 $\gamma$ 为光滑曲线；
• 若除有限个分点外 $\gamma$ 光滑，且各段的单侧导数存在，则称 $\gamma$ 为分段光滑曲线；
• 若 $\gamma'(t)\ne0$，则称相应曲线段为正则曲线。

复积分通常只需要曲线分段光滑。折线、圆弧和有限段光滑曲线的拼接都属于这一范围。

1.3 简单曲线与闭曲线

定义

• 若 $\gamma$ 除允许闭曲线的起点与终点重合外没有自交，则称为简单曲线；
• 若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，则称为闭曲线；
• 简单闭曲线也称为 Jordan 曲线。

Jordan 曲线把平面分成一个有界内部和一个无界外部，并且曲线是二者的共同边界。

1.4 正向边界

对简单闭曲线，通常把逆时针方向规定为正向。更一般地，区域边界的正向定义为：沿边界前进时，区域始终位于左侧。

因此，对带孔区域：

• 外边界取逆时针方向；
• 内边界取顺时针方向。

这个方向约定在复连通区域的 Cauchy 定理中十分重要。

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2. 曲线长度与拼接

2.1 曲线长度

若 $\gamma$ 分段光滑，则其长度定义为

$$L(\gamma) =\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt.$$

当 $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$ 时，

$$|\gamma'(t)| =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2},$$

所以该定义与平面曲线的弧长一致。

2.2 曲线拼接

若 $\gamma_1$ 的终点等于 $\gamma_2$ 的起点，则可以先沿 $\gamma_1$、再沿 $\gamma_2$ 行进，得到拼接曲线

$$\gamma_1+\gamma_2.$$

拼接满足

$$L(\gamma_1+\gamma_2) =L(\gamma_1)+L(\gamma_2),$$

而反向曲线满足

$$L(-\gamma)=L(\gamma).$$

2.3 参数变换

若用保持方向的光滑、严格单调参数变换重新参数化同一条曲线，则曲线长度和复积分都不改变。

曲线的几何轨迹与参数表达不同。积分依赖轨迹及方向，但不依赖具体的行进速度。

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3. 复积分

3.1 定义

设函数 $f$ 在曲线 $\gamma$ 上连续，

$$\gamma(t)=z(t),\qquad a\le t\le b.$$

定义（复曲线积分）

$$\int_\gamma f(z)\,dz =\int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt.$$

右侧是一个普通的复值定积分，可以分别对实部和虚部积分。

3.2 与实线积分的关系

令

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\qquad dz=dx+i\,dy.$$

则

$$f(z)\,dz =(u\,dx-v\,dy) +i(v\,dx+u\,dy),$$

所以

$$\int_\gamma f(z)\,dz =\int_\gamma(u\,dx-v\,dy) +i\int_\gamma(v\,dx+u\,dy).$$

这把一个复积分化成两个实的第二类曲线积分。

3.3 基本性质

若积分均有意义，则

$$\int_\gamma(\alpha f+\beta g)\,dz =\alpha\int_\gamma f\,dz +\beta\int_\gamma g\,dz,$$ $$\int_{-\gamma}f(z)\,dz =-\int_\gamma f(z)\,dz,$$ $$\int_{\gamma_1+\gamma_2}f(z)\,dz =\int_{\gamma_1}f(z)\,dz +\int_{\gamma_2}f(z)\,dz.$$

保持方向的重新参数化不改变积分值。

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4. 三个计算例子

4.1 直接参数化

设

$$\gamma(t)=t+it^2,\qquad 0\le t\le1,$$

计算

$$\int_\gamma z^2\,dz.$$

由定义，

$$\int_\gamma z^2\,dz =\int_0^1(t+it^2)^2(1+2it)\,dt =-\frac23+\frac23i.$$

由于 $z^2$ 的原函数为 $z^3/3$，也可以直接写成

$$\int_\gamma z^2\,dz =\frac{(1+i)^3-0^3}{3} =-\frac23+\frac23i.$$

4.2 绕圆周的基本积分

设

$$\gamma(t)=a+Re^{it}, \qquad 0\le t\le2\pi.$$

则

$$dz=iRe^{it}\,dt,$$

从而

$$\int_\gamma\frac{dz}{z-a} =\int_0^{2\pi}i\,dt =2\pi i.$$

虽然 $1/(z-a)$ 在圆周上连续，但它在圆内的点 $a$ 不解析，因此该闭路积分不为零。

4.3 路径依赖的例子

考虑

$$\int_\gamma\overline z\,dz$$

从 $0$ 到 $1+i$ 的积分。

若沿直线

$$\gamma_1(t)=t(1+i), \qquad 0\le t\le1,$$

则

$$\int_{\gamma_1}\overline z\,dz=1.$$

若先从 $0$ 沿实轴到 $1$，再竖直走到 $1+i$，则

$$\int_{\gamma_2}\overline z\,dz=1+i.$$

两条路径端点相同但积分不同，说明 $\overline z$ 在 $\mathbb C$ 上没有原函数。

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5. ML 不等式

5.1 积分估计

定理（ML 不等式）
若 $\gamma$ 的长度为 $L$，并且

$$|f(z)|\le M,\qquad z\in\gamma,$$

则

$$\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| \le ML.$$

更精确地，

$$\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| \le \int_a^b|f(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|\,dt.$$

ML 不等式是复积分中最常用的估计工具。它不要求 $f$ 在曲线内部解析，只要求 $f$ 在曲线上连续并有上界。

5.2 圆弧上的估计

若 $\gamma$ 是半径 $R$、圆心角为 $\alpha$ 的圆弧，则

$$L(\gamma)=R\alpha.$$

若曲线上 $|f(z)|\le M$，则

$$\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| \le MR\alpha.$$

在证明某些附加圆弧上的积分趋于零时，通常分别估计“函数最大值”和“曲线长度”。

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6. 原函数与复积分基本定理

6.1 原函数

定义（原函数）
设 $f$ 定义在区域 $D$ 上。若存在解析函数 $F$ 满足

$$F'(z)=f(z),\qquad z\in D,$$

则称 $F$ 是 $f$ 在 $D$ 上的一个原函数。

若 $F_1,F_2$ 都是区域 $D$ 上的原函数，则二者相差一个常数：

$$F_1-F_2=C.$$

6.2 复积分基本定理

定理
若 $F$ 是 $f$ 在区域 $D$ 上的原函数，$\gamma$ 是 $D$ 内从 $z_A$ 到 $z_B$ 的分段光滑曲线，则

$$\int_\gamma f(z)\,dz =F(z_B)-F(z_A).$$

因此积分只依赖端点，与连接端点的具体路径无关。

例如，对任意整数 $n\ne-1$，

$$\int_\gamma z^n\,dz =\frac{z_B^{n+1}-z_A^{n+1}}{n+1},$$

只要曲线位于 $z^n$ 及其原函数有定义的区域内。

6.3 三个等价条件

设 $f$ 在区域 $D$ 上连续。下列条件等价：

1. $f$ 在 $D$ 上存在原函数；

2. $f$ 沿 $D$ 内任意两条同端点曲线的积分相等；

3. 对 $D$ 内任意闭曲线 $\gamma$，都有

   $$\int_\gamma f(z)\,dz=0.$$

因此，“存在原函数”“积分与路径无关”和“所有闭路积分为零”是同一性质的三种表达。

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7. Cauchy–Goursat 积分定理

7.1 简单闭曲线形式

定理（Cauchy–Goursat）
设 $\gamma$ 是简单闭曲线，函数 $f$ 在包含 $\gamma$ 及其内部的区域上解析，则

$$\int_\gamma f(z)\,dz=0.$$

Goursat 形式的重要之处在于：只要求 $f$ 解析，不需要额外假设 $f'$ 连续。

7.2 三角形形式

若 $f$ 在包含闭三角形 $T$ 的区域上解析，则

$$\int_{\partial T}f(z)\,dz=0,$$

其中 $\partial T$ 按正向取向。

三角形版本是 Cauchy–Goursat 定理的基础局部形式，也与后面的 Morera 定理直接对应。

7.3 单连通区域形式

定理
若 $D$ 是单连通区域，$f\in\mathcal H(D)$，则对 $D$ 内任意闭曲线 $\gamma$，

$$\int_\gamma f(z)\,dz=0.$$

于是每个单连通区域上的解析函数都存在原函数。

特别地，若 $f$ 是整函数，则

$$\int_\gamma f(z)\,dz=0$$

对复平面中任意闭曲线都成立。

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8. 复连通区域上的积分

8.1 带孔区域的边界

设有界区域 $\Omega$ 的外边界为 $C_0$，内部有 $m$ 个孔，其边界分别为 $C_1,\ldots,C_m$。

若整个边界按“区域在左侧”的正向取向，则：

• $C_0$ 逆时针；
• $C_1,\ldots,C_m$ 顺时针。

定理（复连通区域的 Cauchy 定理）
若 $f$ 在包含 $\overline\Omega$ 的区域上解析，则

$$\int_{\partial\Omega}f(z)\,dz=0.$$

即

$$\int_{C_0}f(z)\,dz +\sum_{j=1}^m\int_{C_j}f(z)\,dz=0,$$

其中每条曲线均采用边界正向。

8.2 全部取逆时针方向

若把每个 $C_j$ 都单独按逆时针方向取向，则内边界方向与 $\partial\Omega$ 的方向相反，于是

$$\int_{C_0}f(z)\,dz =\sum_{j=1}^m \int_{C_j^{\mathrm{ccw}}}f(z)\,dz.$$

这表示：外边界积分等于包围各个孔的小边界积分之和。

复连通公式最容易出错的地方不是函数，而是内边界的方向。

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9. 积分的变形不变性

9.1 闭曲线的同伦

若闭曲线 $\gamma_0,\gamma_1$ 可以在区域 $D$ 内连续变形，并且变形过程中始终不越出 $D$，则称二者在 $D$ 内同伦。

定理（积分变形原理）
若 $f\in\mathcal H(D)$，且 $\gamma_0,\gamma_1$ 在 $D$ 内同伦，则

$$\int_{\gamma_0}f(z)\,dz =\int_{\gamma_1}f(z)\,dz.$$

同样，若两条开曲线具有相同端点，并能在保持端点固定的条件下于 $D$ 内连续变形，则它们的积分相等。

9.2 不能跨越奇点

积分曲线可以在解析区域内自由变形，但不能穿过被积函数的奇点。

例如，对

$$f(z)=\frac1z,$$

单位圆不能在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 中收缩为一点，因为变形会被奇点 $0$ 阻挡。这正是

$$\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i$$

不为零的拓扑原因。

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10. 绕数

10.1 定义

设 $\gamma$ 是闭曲线，$a\notin\gamma$。

定义（绕数）

$$\operatorname{Ind}(\gamma,a) =\frac1{2\pi i} \int_\gamma\frac{dz}{z-a}.$$

它也称为 $\gamma$ 关于点 $a$ 的指数。

10.2 基本性质

绕数具有以下性质：

1. $\operatorname{Ind}(\gamma,a)\in\mathbb Z$；

2. 它表示曲线绕点 $a$ 的有向圈数；

3. 当 $a$ 在 $\mathbb C\setminus\gamma$ 的同一连通分支内移动时，绕数保持不变；

4. 在 $\mathbb C\setminus\gamma$ 的无界分支上，绕数为 $0$；

5. 反向会改变符号：

   $$\operatorname{Ind}(-\gamma,a) =-\operatorname{Ind}(\gamma,a).$$

若 $\gamma$ 是逆时针简单闭曲线，则

$$\operatorname{Ind}(\gamma,a) = \begin{cases} 1,&a\text{ 在曲线内部},\\ 0,&a\text{ 在曲线外部}. \end{cases}$$

若圆周被逆时针绕行 $m$ 次，则绕数为 $m$；顺时针绕行则为负数。

10.3 绕数与曲线变形

在不让曲线穿过点 $a$ 的连续变形中，

$$\operatorname{Ind}(\gamma,a)$$

保持不变。因此绕数记录了普通几何长度无法反映的拓扑信息。

下一篇的广义 Cauchy 积分公式将用绕数统一处理一般闭曲线。

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11. Morera 定理

定理（Morera）
设 $f$ 在区域 $D$ 上连续。若对 $D$ 内任意三角形 $T$ 都有

$$\int_{\partial T}f(z)\,dz=0,$$

则 $f$ 在 $D$ 上解析。

Morera 定理可以看作 Cauchy 积分定理的逆命题：

$$\text{解析} \Longrightarrow \text{闭路积分为零},$$

而在连续性条件下，足够丰富的闭路积分为零又可以推出解析。

Morera 定理常用于证明由极限、积分或函数列定义的新函数是解析函数。

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12. 概念之间的关系

对区域 $D$ 上的连续函数 $f$，有

$$\boxed{ \begin{array}{c} f\text{ 有原函数}\\ \Updownarrow\\ \text{积分与路径无关}\\ \Updownarrow\\ \text{任意闭路积分为零} \end{array}}$$

若进一步知道 $f$ 在单连通区域 $D$ 上解析，则 Cauchy–Goursat 定理自动保证上述三个条件成立。

条件	作用
曲线上连续	保证曲线积分可以定义
区域内解析	允许使用 Cauchy 类定理
区域单连通	保证闭曲线可以避开障碍收缩
存在原函数	直接得到积分只依赖端点
曲线不跨奇点变形	保证变形前后积分相同

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13. 常见误区

13.1 闭曲线不自动意味着积分为零

还必须保证被积函数在曲线及其围成的内部解析。例如

$$\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i\ne0.$$

13.2 在曲线上连续远远不够

$1/z$ 在单位圆上连续，但原点是曲线内部的奇点，因此不能使用简单闭曲线形式的 Cauchy 定理。

13.3 解析函数未必在任意区域上有原函数

$1/z$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上解析，却没有全局原函数，因为该区域不是单连通的。

13.4 路径无关必须限定在同一个区域内

路径变形不能穿过奇点，也不能离开函数的定义域。

13.5 内边界方向与外边界相反

按区域边界正向取向时，外边界逆时针、孔的边界顺时针。若统一按逆时针书写，公式中的符号必须相应调整。

13.6 积分为零不能反推被积函数恒为零

单条曲线上的积分为零只是一个整体抵消结果。即使所有闭路积分为零，得到的也是函数存在原函数；并不意味着函数本身处处为零。

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14. 本篇要点

1. 复积分通过曲线参数化定义，并可以分解为两个实线积分。
2. 积分依赖曲线方向，但与保持方向的重新参数化无关。
3. ML 不等式用“曲线上的最大模乘曲线长度”控制积分。
4. 若被积函数存在原函数，则积分只依赖端点。
5. 存在原函数、路径无关和所有闭路积分为零三者等价。
6. 单连通区域上的解析函数存在原函数，任意闭路积分为零。
7. 复连通区域的边界积分仍为零，但必须正确处理内外边界方向。
8. 解析区域内的积分在不跨越奇点的曲线变形下保持不变。
9. 绕数记录闭曲线围绕某点的有向次数，并且在合法变形下不变。
10. Morera 定理在连续性条件下用闭路积分为零反推解析性。

下一篇将整理 Cauchy 积分公式、高阶导数公式、Cauchy 估计以及解析函数的基本定理。

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参考教材

1. 钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
2. 余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
3. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
4. James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
5. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.