有限维线性代数通过特征值研究矩阵，但无限维算子可能没有任何特征值，却仍然存在不可逆的参数。谱把“特征值”推广为所有使

λI−T\lambda I-T

不可逆的标量。

谱不仅记录齐次方程

Tx=λxTx=\lambda x

是否有非零解，还检测值域不满、值域不稠密或逆算子不连续等无限维现象。

本文主要设 XX 是非零复 Banach 空间，T∈B(X)T\in\mathcal B(X)。实 Banach 空间的情形将在文末说明。

1. 可逆算子

1.1 可逆性

算子 A∈B(X)A\in\mathcal B(X) 称为可逆的，如果存在 B∈B(X)B\in\mathcal B(X)，使

AB=BA=I.AB=BA=I.

此时 BB 唯一，记作

A−1.A^{-1}.

由于 XX 是 Banach 空间，若 AA 是有界线性双射，则有界逆定理保证

A−1∈B(X).A^{-1}\in\mathcal B(X).

1.2 可逆算子群

所有可逆算子组成的集合记作

GL⁡(X).\operatorname{GL}(X).

它是 B(X)\mathcal B(X) 中的开集。

若 AA 可逆并且

∥A−B∥<1∥A−1∥,\|A-B\|<\frac1{\|A^{-1}\|},

则 BB 也可逆。

因此可逆性对算子范数下的小扰动稳定。

2. Neumann 级数

2.1 基本定理

定理（Neumann 级数）
若 A∈B(X)A\in\mathcal B(X) 满足

∥A∥<1,\|A\|<1,

则 I−AI-A 可逆，并且

(I−A)−1=∑n=0∞An=I+A+A2+⋯ .(I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}A^n = I+A+A^2+\cdots.

级数在算子范数下绝对收敛。

2.2 逆算子估计

有

∥(I−A)−1∥≤∑n=0∞∥A∥n=11−∥A∥.\|(I-A)^{-1}\| \le \sum_{n=0}^{\infty}\|A\|^n = \frac1{1-\|A\|}.

2.3 一般扰动形式

若 AA 可逆，且

∥A−1(B−A)∥<1,\|A^{-1}(B-A)\|<1,

则 BB 可逆，因为

B=A[I+A−1(B−A)].B = A\left[I+A^{-1}(B-A)\right].

并且

B−1=[I+A−1(B−A)]−1A−1.B^{-1} = \left[I+A^{-1}(B-A)\right]^{-1}A^{-1}.

3. 谱与预解集

3.1 预解集

定义（预解集）

ρ(T)={λ∈C:λI−T 可逆}\rho(T) = \{\lambda\in\mathbb C: \lambda I-T\text{ 可逆}\}

称为 TT 的预解集。

3.2 谱

定义（谱）

σ(T)=C∖ρ(T)\sigma(T) = \mathbb C\setminus\rho(T)

称为 TT 的谱。

因此

λ∈σ(T)⟺λI−T 不具有有界逆.\lambda\in\sigma(T) \Longleftrightarrow \lambda I-T \text{ 不具有有界逆}.

3.3 为什么不只看特征值

在有限维空间中，

λI−T 不可逆⟺ker⁡(λI−T)≠{0}.\lambda I-T\text{ 不可逆} \Longleftrightarrow \ker(\lambda I-T)\ne\{0\}.

所以谱就是特征值集合。

在无限维空间中，λI−T\lambda I-T 可能单射但不满射，或者是双射但逆算子不连续。因此谱通常严格大于特征值集合。

4. 预解算子

4.1 定义

对 λ∈ρ(T)\lambda\in\rho(T)，定义预解算子

R(λ,T)=(λI−T)−1.R(\lambda,T) =(\lambda I-T)^{-1}.

4.2 大参数展开

当

∣λ∣>∥T∥|\lambda|>\|T\|

时，

λI−T=λ(I−Tλ).\lambda I-T = \lambda\left(I-\frac T\lambda\right).

由 Neumann 级数，

R(λ,T)=1λ∑n=0∞(Tλ)n=∑n=0∞Tnλn+1.R(\lambda,T) = \frac1\lambda \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac T\lambda\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}.

并且

∥R(λ,T)∥≤1∣λ∣−∥T∥.\|R(\lambda,T)\| \le \frac1{|\lambda|-\|T\|}.

4.3 预解恒等式

若 λ,μ∈ρ(T)\lambda,\mu\in\rho(T)，则

R(λ,T)−R(μ,T)=(μ−λ)R(λ,T)R(μ,T).R(\lambda,T)-R(\mu,T) =(\mu-\lambda) R(\lambda,T)R(\mu,T).

由于两个预解算子都是 TT 的函数，它们彼此交换：

R(λ,T)R(μ,T)=R(μ,T)R(λ,T).R(\lambda,T)R(\mu,T) = R(\mu,T)R(\lambda,T).

4.4 解析性

定理

  1. ρ(T)\rho(T) 是 C\mathbb C 中的开集；

  2. σ(T)\sigma(T) 是闭集；

  3. 映射

    λ↦R(λ,T)\lambda\mapsto R(\lambda,T)

    在 ρ(T)\rho(T) 上是算子值解析函数；

  4. 其导数为

    ddλR(λ,T)=−R(λ,T)2.\frac{d}{d\lambda}R(\lambda,T) = -R(\lambda,T)^2.

5. 谱的基本性质

5.1 谱有界

由大参数 Neumann 展开，

∣λ∣>∥T∥⟹λ∈ρ(T).|\lambda|>\|T\| \Longrightarrow \lambda\in\rho(T).

所以

σ(T)⊆{λ∈C:∣λ∣≤∥T∥}.\sigma(T) \subseteq \{\lambda\in\mathbb C:|\lambda|\le\|T\|\}.

5.2 谱非空

定理
非零复 Banach 空间上每个有界线性算子的谱都非空。

这个结论依赖复分析。实 Banach 空间上的实谱可能为空，因此通常先把实空间和实算子复化。

5.3 谱紧致

谱既闭又有界，因此

σ(T)\sigma(T)

是非空紧集。

5.4 平移与缩放

对 α,β∈C\alpha,\beta\in\mathbb C，

σ(αT+βI)=ασ(T)+β\sigma(\alpha T+\beta I) = \alpha\sigma(T)+\beta

当 α≠0\alpha\ne0 时成立。

若 α=0\alpha=0，则

σ(βI)={β}.\sigma(\beta I)=\{\beta\}.

6. 谱的分类

令

Aλ=λI−T.A_\lambda=\lambda I-T.

6.1 点谱

定义（点谱）
若 AλA_\lambda 不是单射，即存在 x≠0x\ne0 使

Tx=λx,Tx=\lambda x,

则称 λ\lambda 是 TT 的特征值。

所有特征值组成点谱

σp(T).\sigma_p(T).

6.2 连续谱

定义（连续谱）
若 AλA_\lambda：

  1. 单射；
  2. 值域稠密；
  3. 不是满射；

则称 λ\lambda 属于连续谱。

此时 Aλ−1A_\lambda^{-1} 在值域上定义，但不能延拓为整个 XX 上的有界算子。

6.3 剩余谱

定义（剩余谱）
若 AλA_\lambda 单射，但

ran⁡Aλ‾≠X,\overline{\operatorname{ran}A_\lambda}\ne X,

则称 λ\lambda 属于剩余谱。

6.4 三类谱

在上述约定下，

σ(T)=σp(T)∪σc(T)∪σr(T),\sigma(T) = \sigma_p(T) \cup \sigma_c(T) \cup \sigma_r(T),

并且三者两两不交。

不同教材对连续谱和剩余谱的边界定义可能略有差异，使用时应核对值域是否要求稠密以及是否要求不满。

7. 近似点谱

7.1 定义

定义（近似特征值）
若存在单位向量列 {xn}\{x_n\}，使

∥(λI−T)xn∥→0,\|(\lambda I-T)x_n\|\to0,

则称 λ\lambda 属于 TT 的近似点谱，记作

σap(T).\sigma_{\mathrm{ap}}(T).

xnx_n 称为近似特征向量。

7.2 基本关系

每个特征值都是近似特征值：

σp(T)⊆σap(T).\sigma_p(T) \subseteq \sigma_{\mathrm{ap}}(T).

并且

∂σ(T)⊆σap(T)⊆σ(T).\partial\sigma(T) \subseteq \sigma_{\mathrm{ap}}(T) \subseteq \sigma(T).

因此谱的边界总能用近似特征向量检测，即使不存在真正的特征向量。

8. 谱半径

8.1 定义

定义（谱半径）

r(T)=max⁡λ∈σ(T)∣λ∣.r(T) = \max_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|.

由于谱非空紧致，最大值确实存在。

显然

r(T)≤∥T∥.r(T)\le\|T\|.

8.2 Gelfand 谱半径公式

定理

r(T)=lim⁡n→∞∥Tn∥1/n=inf⁡n≥1∥Tn∥1/n.r(T) = \lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n} = \inf_{n\ge1}\|T^n\|^{1/n}.

极限总存在。

8.3 拟幂零算子

若

r(T)=0,r(T)=0,

则称 TT 为拟幂零算子。

此时

σ(T)={0}.\sigma(T)=\{0\}.

幂零算子一定拟幂零，但拟幂零算子未必幂零。Volterra 算子就是典型例子。

9. 谱映射定理

9.1 多项式形式

设 pp 是复系数多项式。

定理（谱映射）

σ(p(T))=p(σ(T))={p(λ):λ∈σ(T)}.\sigma(p(T)) = p(\sigma(T)) = \{p(\lambda):\lambda\in\sigma(T)\}.

例如，

σ(Tn)={λn:λ∈σ(T)}.\sigma(T^n) = \{\lambda^n:\lambda\in\sigma(T)\}.

9.2 逆算子的谱

若 TT 可逆，则 0∉σ(T)0\notin\sigma(T)，并且

σ(T−1)={λ−1:λ∈σ(T)}.\sigma(T^{-1}) = \left\{ \lambda^{-1}: \lambda\in\sigma(T) \right\}.

9.3 解析函数形式

谱映射定理还可以推广到在 σ(T)\sigma(T) 邻域内解析的函数 ff：

σ(f(T))=f(σ(T)).\sigma(f(T))=f(\sigma(T)).

这需要解析函数演算，本文只记录结论，不展开构造。

10. 基本例子

10.1 标量算子

若

T=αI,T=\alpha I,

则

σ(T)={α}.\sigma(T)=\{\alpha\}.

10.2 投影

设 P2=PP^2=P。由谱映射定理，

σ(P)⊆{0,1}.\sigma(P)\subseteq\{0,1\}.

如果 PP 既不是零算子也不是单位算子，则

σ(P)={0,1}.\sigma(P)=\{0,1\}.

10.3 幂零算子

若存在 m≥1m\ge1 使

Tm=0,T^m=0,

则

σ(T)={0}.\sigma(T)=\{0\}.

10.4 对角算子

设 DaD_a 是 ℓp\ell^p 或 c0c_0 上的有界对角算子：

(Dax)n=anxn.(D_ax)_n=a_nx_n.

则

σ(Da)={an:n≥1}‾.\sigma(D_a) = \overline{\{a_n:n\ge1\}}.

每个实际出现的 ana_n 都是特征值；对角系数的极限点可能属于谱，但不一定是特征值。

10.5 乘法算子

设 KK 是紧 Hausdorff 空间，g∈C(K)g\in C(K)。在 C(K)C(K) 上定义

(Mgf)(x)=g(x)f(x).(M_gf)(x)=g(x)f(x).

则

σ(Mg)=g(K).\sigma(M_g)=g(K).

因为 λI−Mg\lambda I-M_g 可逆，当且仅当

λ−g(x)≠0\lambda-g(x)\ne0

对所有 x∈Kx\in K 成立；此时逆算子是乘以 (λ−g)−1(\lambda-g)^{-1}。

11. Volterra 算子的谱

在 C[0,1]C[0,1] 上定义

(Vf)(x)=∫0xf(t) dt.(Vf)(x)=\int_0^xf(t)\,dt.

反复积分给出

(Vnf)(x)=1(n−1)!∫0x(x−t)n−1f(t) dt.(V^nf)(x) = \frac1{(n-1)!} \int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)\,dt.

因此

∥Vn∥≤1n!.\|V^n\| \le \frac1{n!}.

由谱半径公式，

r(V)≤lim⁡n→∞(1n!)1/n=0.r(V) \le \lim_{n\to\infty} \left(\frac1{n!}\right)^{1/n} =0.

所以

σ(V)={0}.\sigma(V)=\{0\}.

但 VV 不是幂零算子，因为对每个 nn，

Vn≠0.V^n\ne0.

因此 VV 是拟幂零但非幂零的紧算子。

12. 谱与共轭算子

设 T∈B(X)T\in\mathcal B(X)，Banach 空间共轭算子为

T∗:X∗→X∗.T^*:X^*\to X^*.

在采用线性对偶泛函的约定下，

σ(T∗)=σ(T).\sigma(T^*)=\sigma(T).

并且

λ∈σr(T)\lambda\in\sigma_r(T)

与

λ∈σp(T∗)\lambda\in\sigma_p(T^*)

之间存在紧密联系，因为

ran⁡(λI−T)‾=X⟺ker⁡(λI−T)∗={0}.\overline{\operatorname{ran}(\lambda I-T)}=X \Longleftrightarrow \ker(\lambda I-T)^*=\{0\}.

在复 Hilbert 空间中使用内积伴随时，通常写成

σ(T∗)=σ(T)‾,\sigma(T^*)=\overline{\sigma(T)},

这是因为 Hilbert 伴随对标量取复共轭。

13. 实 Banach 空间的谱

若 XX 是实 Banach 空间，实算子 TT 的实特征值可能不能反映全部行为。

通常构造复化空间

XC=X⊕iXX_{\mathbb C} = X\oplus iX

以及复化算子

TC(x+iy)=Tx+iTy.T_{\mathbb C}(x+iy) = Tx+iTy.

然后定义

σ(T):=σ(TC).\sigma(T) := \sigma(T_{\mathbb C}).

例如实平面上的旋转算子没有实特征值，但复化后的谱包含

i和−i.i \quad\text{和}\quad -i.

14. 概念辨析

14.1 谱与特征值

每个特征值都属于谱，但无限维空间中的谱点未必是特征值。

14.2 谱半径与算子范数

总有

r(T)≤∥T∥,r(T)\le\|T\|,

但等号一般不成立。幂零算子或 Volterra 算子可以满足

r(T)=0r(T)=0

而

∥T∥>0.\|T\|>0.

14.3 预解集与值域

λ∈ρ(T)\lambda\in\rho(T) 不仅要求 λI−T\lambda I-T 单射和满射，还要求逆算子有界。

在 Banach 空间上，有界逆定理保证双射时逆自动有界。

14.4 实谱与复谱

谱非空定理是复 Banach 空间结论。对实算子通常通过复化定义谱。

15. 本篇要点

  1. 谱由所有使 λI−T\lambda I-T 不可逆的复数构成。
  2. 无限维空间中的谱可能包含不是特征值的点。
  3. Neumann 级数给出 I−AI-A 的逆以及可逆性的扰动判据。
  4. 预解集开、谱闭，预解算子在预解集上解析。
  5. 复 Banach 空间上每个有界算子的谱都是非空紧集。
  6. 谱包含于半径 ∥T∥\|T\| 的闭圆盘。
  7. 点谱、连续谱和剩余谱描述不可逆的不同原因。
  8. Gelfand 公式用 ∥Tn∥1/n\|T^n\|^{1/n} 计算谱半径。
  9. 多项式谱映射定理给出 σ(p(T))=p(σ(T))\sigma(p(T))=p(\sigma(T))。
  10. Volterra 算子说明拟幂零不等于幂零。

下一篇将整理紧算子的非零谱、Fredholm 择一定理以及紧自伴算子的谱分解。

参考教材

  1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
  2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
  3. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
  4. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.
  5. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.