有限维空间中的有界集虽然未必紧，但其闭包在适当条件下具有紧致性。无限维空间的闭单位球不再紧，因此一般有界线性算子不能保证从有界序列中提取收敛像子列。

紧算子恢复了这种有限维式的紧致性：它把有界集映成相对紧集。紧算子未必是有限秩算子，但在许多经典空间中可以用有限秩算子作算子范数逼近，因此是无限维空间中最接近矩阵的一类算子。

本文设 X,Y,ZX,Y,Z 为赋范空间。需要完备性时会明确假设它们是 Banach 空间。

1. 紧算子的定义

1.1 定义

定义（紧算子）
线性算子 T:X→YT:X\to Y 称为紧算子，如果 XX 中每个有界集 AA 的像

T(A)T(A)

在 YY 中相对紧，即 T(A)‾\overline{T(A)} 是紧集。

所有从 XX 到 YY 的紧算子组成的空间记作

K(X,Y).\mathcal K(X,Y).

当 X=YX=Y 时简记为

K(X).\mathcal K(X).

1.2 单位球判定

记闭单位球为

BX={x∈X:∥x∥≤1}.B_X=\{x\in X:\|x\|\le1\}.

线性算子 T:X→YT:X\to Y 紧，当且仅当

T(BX)T(B_X)

相对紧。

因此只需检查一个有界集——闭单位球。

1.3 序列判定

定理
线性算子 T:X→YT:X\to Y 紧，当且仅当对 XX 中任意有界序列 {xn}\{x_n\}，都存在子列 {xnk}\{x_{n_k}\}，使

{Txnk}\{Tx_{n_k}\}

在 YY 中范数收敛。

这通常是验证紧算子最方便的形式。

1.4 紧算子自动有界

若 T(BX)T(B_X) 相对紧，则它有界。因此存在 C>0C>0，使

∥Tx∥≤C∥x∥,\|Tx\|\le C\|x\|,

所以每个紧线性算子都是有界线性算子：

K(X,Y)⊆B(X,Y).\mathcal K(X,Y)\subseteq\mathcal B(X,Y).

反向一般不成立。

2. 有限秩算子

2.1 定义

定义（有限秩算子）
若线性算子 T:X→YT:X\to Y 的值域

ran⁡T\operatorname{ran}T

是有限维子空间，则称 TT 为有限秩算子。

TT 的秩定义为

rank⁡T=dim⁡ran⁡T.\operatorname{rank}T = \dim\operatorname{ran}T.

所有有界有限秩算子组成的空间记作

F(X,Y).\mathcal F(X,Y).

2.2 秩一算子

设 f∈X∗f\in X^*，y∈Yy\in Y。定义

(f⊗y)(x)=f(x)y.(f\otimes y)(x)=f(x)y.

则

ran⁡(f⊗y)⊆span⁡{y},\operatorname{ran}(f\otimes y) \subseteq \operatorname{span}\{y\},

所以它的秩至多为 11，并且

∥f⊗y∥=∥f∥ ∥y∥.\|f\otimes y\|=\|f\|\,\|y\|.

每个有限秩算子都可以写成有限个秩一算子的和：

Tx=∑j=1mfj(x)yj.Tx = \sum_{j=1}^m f_j(x)y_j.

2.3 有限秩算子紧

定理

F(X,Y)⊆K(X,Y).\mathcal F(X,Y) \subseteq \mathcal K(X,Y).

因为 T(BX)T(B_X) 是有限维值域中的有界集，其闭包在有限维空间中紧。

3. 紧算子的代数性质

3.1 线性组合

若 S,T∈K(X,Y)S,T\in\mathcal K(X,Y)，α,β∈K\alpha,\beta\in\mathbb K，则

αS+βT∈K(X,Y).\alpha S+\beta T\in\mathcal K(X,Y).

因此 K(X,Y)\mathcal K(X,Y) 是 B(X,Y)\mathcal B(X,Y) 的线性子空间。

3.2 与有界算子的复合

若

T∈K(X,Y),A∈B(Y,Z),B∈B(Z,X),T\in\mathcal K(X,Y), \qquad A\in\mathcal B(Y,Z), \qquad B\in\mathcal B(Z,X),

则

AT∈K(X,Z)AT\in\mathcal K(X,Z)

以及

TB∈K(Z,Y).TB\in\mathcal K(Z,Y).

因此当 XX 是 Banach 空间时，K(X)\mathcal K(X) 是 Banach 代数 B(X)\mathcal B(X) 的双边理想。

3.3 算子范数闭性

定理
若 YY 是 Banach 空间，Tn∈K(X,Y)T_n\in\mathcal K(X,Y)，并且

∥Tn−T∥→0,\|T_n-T\|\to0,

则

T∈K(X,Y).T\in\mathcal K(X,Y).

所以

K(X,Y)\mathcal K(X,Y)

是 B(X,Y)\mathcal B(X,Y) 的闭子空间；特别地，它本身是 Banach 空间。

值域完备性保证全有界像集的闭包仍然紧。

4. 紧算子与有限维空间

4.1 单位算子

定理

IX 紧⟺X 有限维.I_X\text{ 紧} \Longleftrightarrow X\text{ 有限维}.

如果 XX 无限维，Riesz 引理说明闭单位球不紧，因此单位算子不是紧算子。

4.2 紧可逆算子

若紧算子

T:X→YT:X\to Y

存在有界逆，则

IX=T−1TI_X=T^{-1}T

也是紧算子。因此 XX 必须有限维。

所以无限维 Banach 空间之间不存在有界可逆的紧算子。

4.3 闭值域

定理
设 X,YX,Y 是 Banach 空间，T∈K(X,Y)T\in\mathcal K(X,Y)。若

ran⁡T\operatorname{ran}T

是闭子空间，则它必为有限维空间。

因此无限秩紧算子的值域不可能闭。

5. 弱收敛与紧算子

5.1 弱收敛变成范数收敛

定理
若 T∈K(X,Y)T\in\mathcal K(X,Y)，并且

xn⇀x于 X,x_n\rightharpoonup x \quad\text{于 }X,

则

∥Txn−Tx∥Y→0.\|Tx_n-Tx\|_Y\to0.

紧算子把弱收敛序列变成范数收敛序列。

5.2 完全连续算子

把弱收敛序列映成范数收敛序列的算子常称为完全连续算子。

因此

紧算子⟹完全连续算子.\text{紧算子} \Longrightarrow \text{完全连续算子}.

在一般 Banach 空间上反向不一定成立。

如果 XX 自反，则 XX 中每个有界序列都有弱收敛子列，因此

T 紧⟺T 完全连续.T\text{ 紧} \Longleftrightarrow T\text{ 完全连续}.

不同教材有时直接把“完全连续”作为“紧”的同义词，使用时应先确认定义。

5.3 弱紧算子

若 T(BX)T(B_X) 在弱拓扑下相对紧，则称 TT 为弱紧算子。

每个紧算子都是弱紧算子，但反向不成立。例如无限维自反 Banach 空间上的单位算子弱紧，却不紧。

6. Schauder 定理

6.1 共轭算子的紧性

设 X,YX,Y 是 Banach 空间，T∈B(X,Y)T\in\mathcal B(X,Y)，共轭算子为

T∗:Y∗→X∗.T^*:Y^*\to X^*.

定理（Schauder）

T 紧⟺T∗ 紧.T\text{ 紧} \Longleftrightarrow T^*\text{ 紧}.

紧性在取共轭算子时双向保持。

6.2 与二次对偶的关系

因为

(T∗)∗=T∗∗,(T^*)^*=T^{**},

Schauder 定理还给出

T 紧⟺T∗∗ 紧.T\text{ 紧} \Longleftrightarrow T^{**}\text{ 紧}.

自然嵌入满足

T∗∗JX=JYT.T^{**}J_X=J_YT.

7. 有限秩逼近

7.1 有限秩算子的闭包

由于有限秩算子紧，并且紧算子空间在算子范数下闭，

F(X,Y)‾ ∥⋅∥⊆K(X,Y).\overline{\mathcal F(X,Y)}^{\,\|\cdot\|} \subseteq \mathcal K(X,Y).

左侧元素称为可逼近算子。

7.2 并非每个紧算子都可逼近

在一般 Banach 空间中，可能存在不能由有限秩算子作算子范数逼近的紧算子。

定义（逼近性质）
若对每个紧集 K⊆XK\subseteq X 和 ε>0\varepsilon>0，都存在有限秩算子 F:X→XF:X\to X，使

sup⁡x∈K∥Fx−x∥<ε,\sup_{x\in K}\|Fx-x\|<\varepsilon,

则称 XX 具有逼近性质。

Hilbert 空间以及常见的 ℓp\ell^p、LpL^p、C(K)C(K) 空间在标准条件下具有逼近性质，但一般 Banach 空间未必具有。

7.3 Hilbert 空间情形

设 H1,H2H_1,H_2 是 Hilbert 空间。则每个紧算子

T:H1→H2T:H_1\to H_2

都可以由有限秩算子在算子范数下逼近。

后续的奇异值分解会给出自然的有限秩截断：

TNx=∑n=1Nsn⟨x,un⟩vn,T_Nx = \sum_{n=1}^N s_n\langle x,u_n\rangle v_n,

并且

∥T−TN∥→0.\|T-T_N\|\to0.

8. 对角算子

8.1 定义

设 a=(an)∈ℓ∞a=(a_n)\in\ell^\infty。在 ℓp\ell^p 或 c0c_0 上定义

(Dax)n=anxn.(D_ax)_n=a_nx_n.

则

∥Da∥=sup⁡n∣an∣.\|D_a\|=\sup_n|a_n|.

8.2 紧性判定

定理

Da 紧⟺an→0.D_a\text{ 紧} \Longleftrightarrow a_n\to0.

当 an→0a_n\to0 时，定义有限秩截断

Da(N)x=(a1x1,…,aNxN,0,…).D_a^{(N)}x = (a_1x_1,\ldots,a_Nx_N,0,\ldots).

则

∥Da−Da(N)∥=sup⁡n>N∣an∣→0.\|D_a-D_a^{(N)}\| = \sup_{n>N}|a_n| \to0.

因此 DaD_a 是有限秩算子的算子范数极限。

若 ana_n 不趋于 00，则可以选取子列使 ∣ank∣≥ε>0|a_{n_k}|\ge\varepsilon>0，而 {Daenk}\{D_ae_{n_k}\} 没有收敛子列，所以 DaD_a 不紧。

9. Arzelà–Ascoli 定理

9.1 等度连续

设 KK 是紧度量空间，F⊆C(K)\mathcal F\subseteq C(K)。

定义（等度连续）
若对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在 δ>0\delta>0，使对任意 f∈Ff\in\mathcal F 和 x,y∈Kx,y\in K，

d(x,y)<δ⟹∣f(x)−f(y)∣<ε,d(x,y)<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon,

则称 F\mathcal F 等度连续。

δ\delta 必须同时适用于整个函数族。

9.2 定理

定理（Arzelà–Ascoli）
对紧度量空间 KK，集合 F⊆C(K)\mathcal F\subseteq C(K) 在一致范数下相对紧，当且仅当：

  1. F\mathcal F 等度连续；

  2. 对每个 x∈Kx\in K，集合

    {f(x):f∈F}\{f(x):f\in\mathcal F\}

    相对紧。

当函数取实数或复数值时，第二条等价于逐点有界。

若 F\mathcal F 还是闭集，则“相对紧”可以改为“紧”。

10. Volterra 积分算子

10.1 定义

在 C[0,1]C[0,1] 上定义

(Vf)(x)=∫0xf(t) dt.(Vf)(x)=\int_0^xf(t)\,dt.

10.2 有界性

对 ∥f∥∞≤1\|f\|_\infty\le1，

∣(Vf)(x)∣≤∫0x∣f(t)∣ dt≤1.|(Vf)(x)| \le \int_0^x|f(t)|\,dt \le1.

所以

∥V∥≤1.\|V\|\le1.

取 f≡1f\equiv1 可得

∥V∥=1.\|V\|=1.

10.3 紧性

若 ∥f∥∞≤1\|f\|_\infty\le1，则

∣(Vf)(x)−(Vf)(y)∣≤∣x−y∣.|(Vf)(x)-(Vf)(y)| \le |x-y|.

因此

V(BC[0,1])V(B_{C[0,1]})

一致有界且等度连续。由 Arzelà–Ascoli 定理，VV 是紧算子。

11. 连续核积分算子

设

K∈C([a,b]×[c,d]).K\in C([a,b]\times[c,d]).

定义

(Tf)(x)=∫cdK(x,t)f(t) dt,f∈C[c,d].(Tf)(x) = \int_c^dK(x,t)f(t)\,dt, \qquad f\in C[c,d].

则

T:C[c,d]→C[a,b]T:C[c,d]\to C[a,b]

有界。

对单位球中的 ff，

∣(Tf)(x)∣≤∫cd∣K(x,t)∣ dt|(Tf)(x)| \le \int_c^d|K(x,t)|\,dt

给出一致有界性。

又因为 KK 在紧矩形上一致连续，

∣(Tf)(x)−(Tf)(y)∣≤∫cd∣K(x,t)−K(y,t)∣ dt|(Tf)(x)-(Tf)(y)| \le \int_c^d|K(x,t)-K(y,t)|\,dt

给出等度连续性。

由 Arzelà–Ascoli 定理：

定理
连续核积分算子

T:C[c,d]→C[a,b]T:C[c,d]\to C[a,b]

是紧算子。

12. 紧嵌入

12.1 定义

设 XX 连续嵌入 YY，即恒等映射

i:X→Yi:X\to Y

有界。如果 ii 还是紧算子，则称 XX 紧嵌入 YY，记作

X↪↪Y.X\hookrightarrow\hookrightarrow Y.

12.2 基本例子

嵌入

C1[a,b]↪C[a,b]C^1[a,b]\hookrightarrow C[a,b]

是紧的，其中 C1[a,b]C^1[a,b] 使用

∥f∥C1=∥f∥∞+∥f′∥∞.\|f\|_{C^1} = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty.

C1C^1 单位球一致有界，并且由导数的一致控制得到等度连续性，因此可应用 Arzelà–Ascoli 定理。

12.3 与偏微分方程的关系

Sobolev 紧嵌入把弱控制提升为强收敛，是偏微分方程中处理非线性项和证明解存在性的关键工具。

具体的 Rellich–Kondrachov 定理需要 Sobolev 空间和区域正则性，将在相应专题中整理。

13. 非紧算子的例子

13.1 无限维单位算子

无限维赋范空间上的

IXI_X

不是紧算子。

13.2 移位算子

在 ℓ2\ell^2 上定义右移算子

S(x1,x2,…)=(0,x1,x2,…).S(x_1,x_2,\ldots) =(0,x_1,x_2,\ldots).

则

Sen=en+1.Se_n=e_{n+1}.

单位向量列有界，但 {Sen}\{Se_n\} 没有范数收敛子列，所以 SS 不紧。

13.3 有界不等于紧

紧算子必有界，但有界算子未必紧。紧性要求像集在无限维空间中具有额外的“有限维式集中性”，远强于单纯的范数控制。

14. 概念辨析

14.1 紧算子与紧空间

紧算子的定义域和值域不需要是紧空间。它要求的是有界集的像相对紧。

14.2 紧算子与有限秩算子

有限秩算子一定紧；紧算子可以具有无限秩。

Volterra 算子就是无限秩紧算子。

14.3 紧与完全连续

紧算子总把弱收敛序列变成范数收敛序列。反向在一般 Banach 空间中不成立，但在自反定义域上成立。

14.4 可逼近与紧

有限秩算子的算子范数极限一定紧；一般紧算子未必可由有限秩算子逼近，除非空间具有适当的逼近性质。

15. 本篇要点

  1. 紧算子把有界集映成相对紧集，也可以用有界序列的像子列判定。
  2. 每个有限秩算子都紧，但紧算子可以具有无限秩。
  3. 紧算子构成算子理想；当值域完备时，它们在算子范数下闭。
  4. 无限维空间的单位算子不是紧算子。
  5. 紧算子把弱收敛序列变成范数收敛序列。
  6. Schauder 定理说明 TT 紧当且仅当 T∗T^* 紧。
  7. 有限秩算子的闭包包含于紧算子；二者是否相等与逼近性质有关。
  8. 对角算子紧当且仅当其对角系数趋于零。
  9. Arzelà–Ascoli 定理是验证函数空间算子紧性的主要工具。
  10. Volterra 算子、连续核积分算子和 C1↪CC^1\hookrightarrow C 是典型紧算子或紧嵌入。

下一篇将整理谱、预解集、预解算子、谱半径和谱映射定理。

参考教材

  1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
  2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
  3. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
  4. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.
  5. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.