设 HH 是实或复 Hilbert 空间，内积记为 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle。本文仍约定：在复 Hilbert 空间中，内积对第一个变量线性、对第二个变量共轭线性。

上一篇从内积出发介绍了 Hilbert 空间、正交补和投影定理。本文继续整理 Hilbert 空间最重要的两组工具：用标准正交系表示向量，以及用内积表示连续线性泛函并定义算子的伴随。

1. 正交系与标准正交系

设 II 是指标集，(eα)α∈I⊂H(e_\alpha)_{\alpha\in I}\subset H。

  • 若任意 α≠β\alpha\ne\beta 都有 ⟨eα,eβ⟩=0\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=0，则称 (eα)α∈I(e_\alpha)_{\alpha\in I} 为正交系；
  • 若它还是正交系且对所有 α∈I\alpha\in I 都有 ∥eα∥=1\|e_\alpha\|=1，则称其为标准正交系。

对任意非零正交系 (uα)(u_\alpha)，令

eα=uα∥uα∥,e_\alpha=\frac{u_\alpha}{\|u_\alpha\|},

便可得到标准正交系。

若 e1,…,ene_1,\dots,e_n 是标准正交向量，则对任意标量 c1,…,cnc_1,\dots,c_n，由勾股等式有

∥∑k=1nckek∥2=∑k=1n∣ck∣2.\left\|\sum_{k=1}^n c_k e_k\right\|^2 =\sum_{k=1}^n |c_k|^2.

因此标准正交系中的有限线性组合与有限维 Euclidean 空间中的坐标具有完全相同的范数结构。

2. Fourier 系数与 Bessel 不等式

给定标准正交系 (eα)α∈I(e_\alpha)_{\alpha\in I} 和 x∈Hx\in H，数

x^(α)=⟨x,eα⟩\widehat{x}(\alpha)=\langle x,e_\alpha\rangle

称为 xx 关于 eαe_\alpha 的 Fourier 系数。

对任意有限子集 F⊂IF\subset I，令

SFx=∑α∈F⟨x,eα⟩eα.S_Fx=\sum_{\alpha\in F}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha.

则 x−SFxx-S_Fx 与每个 eα  (α∈F)e_\alpha\;(\alpha\in F) 正交，从而

∥x∥2=∥x−SFx∥2+∑α∈F∣⟨x,eα⟩∣2.\|x\|^2 =\|x-S_Fx\|^2 +\sum_{\alpha\in F}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2.

立即得到 Bessel 不等式：

∑α∈I∣⟨x,eα⟩∣2≤∥x∥2.\sum_{\alpha\in I}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2 \le \|x\|^2.

当 II 不可数时，左端定义为所有有限部分和的上确界。Bessel 不等式还说明：对固定的 xx，至多只有可数多个 Fourier 系数非零。

3. 完备标准正交系与 Hilbert 基

标准正交系 (eα)α∈I(e_\alpha)_{\alpha\in I} 称为完备标准正交系，如果不存在与其中所有向量都正交的非零向量，即

{eα:α∈I}⊥={0}.\{e_\alpha:\alpha\in I\}^{\perp}=\{0\}.

它也常称为 HH 的标准正交基或 Hilbert 基。这里的“基”通常不是代数意义下的 Hamel 基：一般向量可能需要通过无穷级数而不是有限线性组合表示。

以下条件彼此等价：

  1. (eα)α∈I(e_\alpha)_{\alpha\in I} 是完备标准正交系；
  2. span⁡‾{eα:α∈I}=H\overline{\operatorname{span}}\{e_\alpha:\alpha\in I\}=H；
  3. 若 x∈Hx\in H 且对所有 α\alpha 都有 ⟨x,eα⟩=0\langle x,e_\alpha\rangle=0，则 x=0x=0；
  4. 对每个 x∈Hx\in H，其 Fourier 展开在 HH 中收敛到 xx；
  5. 对每个 x∈Hx\in H，Parseval 等式成立。

4. Fourier 展开与 Parseval 等式

若 (eα)α∈I(e_\alpha)_{\alpha\in I} 是完备标准正交系，则每个 x∈Hx\in H 都有唯一的展开

x=∑α∈I⟨x,eα⟩eα,x=\sum_{\alpha\in I}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha,

并且成立 Parseval 等式

∥x∥2=∑α∈I∣⟨x,eα⟩∣2.\|x\|^2 =\sum_{\alpha\in I}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2.

在可数情形 I=NI=\mathbb N，展开的含义是

lim⁡n→∞∥x−∑k=1n⟨x,ek⟩ek∥=0.\lim_{n\to\infty} \left\|x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k\right\|=0.

它描述的是 Hilbert 空间范数下的收敛，并不自动蕴含函数逐点收敛或一致收敛。例如，L2L^2 中 Fourier 级数的 L2L^2 收敛与逐点收敛是不同的问题。

由极化恒等式还可得到 Parseval 等式的双线性形式：

⟨x,y⟩=∑α∈I⟨x,eα⟩⟨y,eα⟩‾.\langle x,y\rangle =\sum_{\alpha\in I} \langle x,e_\alpha\rangle \overline{\langle y,e_\alpha\rangle}.

5. Gram–Schmidt 标准正交化

设 x1,x2,…x_1,x_2,\dots 线性无关。Gram–Schmidt 过程递归地定义

u1=x1,e1=u1∥u1∥,u_1=x_1, \qquad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},

以及

un=xn−∑k=1n−1⟨xn,ek⟩ek,en=un∥un∥.u_n =x_n-\sum_{k=1}^{n-1}\langle x_n,e_k\rangle e_k, \qquad e_n=\frac{u_n}{\|u_n\|}.

则 (en)(e_n) 是标准正交系，并且对每个 nn 都有

span⁡{e1,…,en}=span⁡{x1,…,xn}.\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\} =\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_n\}.

若 (xn)(x_n) 的线性张成在 HH 中稠密，则所得 (en)(e_n) 是 HH 的完备标准正交系。

6. 可分 Hilbert 空间与标准正交基

每个 Hilbert 空间都存在完备标准正交系；这一结论可由 Zorn 引理得到。

对 Hilbert 空间 HH，以下条件等价：

  1. HH 可分；
  2. HH 存在至多可数的完备标准正交系。

因此，每个无限维可分 Hilbert 空间都存在可数标准正交基 (en)n≥1(e_n)_{n\ge1}。

典型例子包括：

  • ℓ2\ell^2 中的单位向量 en=(0,…,0,1,0,… )e_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)；
  • L2(−π,π)L^2(-\pi,\pi) 中适当归一化后的三角函数系；
  • L2(0,1)L^2(0,1) 中适当归一化后的 Haar 系。

7. Riesz–Fischer 定理

设 (en)(e_n) 是 Hilbert 空间中的标准正交系。若 (cn)∈ℓ2(c_n)\in\ell^2，则级数

∑n=1∞cnen\sum_{n=1}^{\infty}c_ne_n

在 HH 中收敛，并且

∥∑n=1∞cnen∥2=∑n=1∞∣cn∣2.\left\|\sum_{n=1}^{\infty}c_ne_n\right\|^2 =\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2.

若 (en)(e_n) 还是完备标准正交系，则映射

U:H→ℓ2,Ux=(⟨x,en⟩)n≥1U:H\to\ell^2, \qquad Ux=(\langle x,e_n\rangle)_{n\ge1}

是满的线性等距映射。于是：

在同一标量域上，任意两个无限维可分 Hilbert 空间在等距同构意义下没有区别；它们都等距同构于相应的 ℓ2\ell^2。

这并不意味着不同函数空间中的具体问题完全相同，因为微分、积分、边界条件等附加结构并不会被任意 Hilbert 空间同构保留。

8. Riesz 表示定理

8.1 定理

设 HH 是 Hilbert 空间，f∈H∗f\in H^*。则存在唯一的 yf∈Hy_f\in H，使得

f(x)=⟨x,yf⟩,x∈H,f(x)=\langle x,y_f\rangle, \qquad x\in H,

并且

∥f∥=∥yf∥.\|f\|=\|y_f\|.

因此，每个连续线性泛函都可以唯一地表示为“与某个固定向量作内积”。

8.2 Riesz 映射

定义

J:H→H∗,Jy=⟨ ⋅ ,y⟩.J:H\to H^*, \qquad Jy=\langle\,\cdot\,,y\rangle.

则 JJ 是满的等距映射。在实 Hilbert 空间中 JJ 线性；在采用本文内积约定的复 Hilbert 空间中，JJ 共轭线性：

J(λy)=λ‾ Jy.J(\lambda y)=\overline{\lambda}\,Jy.

Riesz 表示定理给出了 HH 与 H∗H^* 的自然对应，也是 Hilbert 空间理论比一般 Banach 空间更具体的重要原因。

8.3 一个有限维例子

在 Rn\mathbb R^n 中，若

f(x)=a1x1+⋯+anxn,f(x)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n,

则 f(x)=⟨x,a⟩f(x)=\langle x,a\rangle，其中 a=(a1,…,an)a=(a_1,\dots,a_n)，并且 ∥f∥=∥a∥2\|f\|=\|a\|_2。Riesz 表示定理正是这一事实在任意 Hilbert 空间中的推广。

9. 伴随算子

设 H,KH,K 是 Hilbert 空间，T∈B(H,K)T\in\mathcal B(H,K)。对每个 y∈Ky\in K，映射

x⟼⟨Tx,y⟩x\longmapsto\langle Tx,y\rangle

是 HH 上的连续线性泛函。由 Riesz 表示定理，存在唯一的向量 T∗y∈HT^*y\in H，使得

⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩,x∈H.\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^*y\rangle, \qquad x\in H.

由此得到有界线性算子

T∗:K→H,T^*:K\to H,

称为 TT 的伴随算子。

在有限维 Euclidean 空间中，若 TT 的矩阵为 AA，则 T∗T^* 的矩阵为共轭转置 A∗=A‾TA^*=\overline A^{\mathsf T}；实数情形就是转置矩阵 ATA^{\mathsf T}。

10. 伴随运算的基本性质

设 S,TS,T 是可复合的有界线性算子，λ\lambda 是标量，则

(T∗)∗=T,(T^*)^*=T, (S+T)∗=S∗+T∗,(S+T)^*=S^*+T^*, (λT)∗=λ‾ T∗,(\lambda T)^*=\overline\lambda\,T^*, (ST)∗=T∗S∗.(ST)^*=T^*S^*.

此外，

∥T∗∥=∥T∥,\|T^*\|=\|T\|,

以及非常重要的 C∗C^*-恒等式

∥T∗T∥=∥T∥2.\|T^*T\|=\|T\|^2.

由

⟨T∗Tx,x⟩=∥Tx∥2\langle T^*Tx,x\rangle=\|Tx\|^2

可见 T∗TT^*T 总是正算子。

11. 核与值域的正交关系

设 T∈B(H,K)T\in\mathcal B(H,K)，则

ker⁡T∗=(ran⁡T)⊥,\ker T^*=(\operatorname{ran}T)^\perp, ker⁡T=(ran⁡T∗)⊥.\ker T=(\operatorname{ran}T^*)^\perp.

取正交补可得

ran⁡T‾=(ker⁡T∗)⊥,\overline{\operatorname{ran}T} =(\ker T^*)^\perp, ran⁡T∗‾=(ker⁡T)⊥.\overline{\operatorname{ran}T^*} =(\ker T)^\perp.

这里不能随意删去闭包，因为有界线性算子的值域未必闭。若值域确实闭，则这些关系变成真正的正交直和分解，例如

K=ran⁡T⊕ker⁡T∗.K=\operatorname{ran}T\oplus\ker T^*.

12. 自伴、正常、酉与正算子

以下算子类在 Hilbert 空间中尤其重要。

12.1 自伴算子

若 T∈B(H)T\in\mathcal B(H) 满足

T=T∗,T=T^*,

则称 TT 为自伴算子。

对自伴算子，⟨Tx,x⟩\langle Tx,x\rangle 总为实数。正交投影是最基本的自伴算子之一。

12.2 正常算子

若

T∗T=TT∗,T^*T=TT^*,

则称 TT 为正常算子。

自伴算子和酉算子都是正常算子。正常性是在复 Hilbert 空间谱理论中得到良好结构的关键条件。

12.3 等距算子与酉算子

若对所有 x∈Hx\in H 都有

∥Tx∥=∥x∥,\|Tx\|=\|x\|,

则称 TT 为等距算子。对 Hilbert 空间上的有界线性算子，等价地有

T∗T=I.T^*T=I.

若 TT 还是满射，则称其为酉算子（实 Hilbert 空间中也称正交算子），此时

T∗T=TT∗=I,T−1=T∗.T^*T=TT^*=I, \qquad T^{-1}=T^*.

12.4 正算子

若 T=T∗T=T^* 且

⟨Tx,x⟩≥0,x∈H,\langle Tx,x\rangle\ge0, \qquad x\in H,

则称 TT 为正算子，记作 T≥0T\ge0。

每个正有界算子 TT 都存在唯一的正有界算子 SS，使得

S2=T.S^2=T.

这个 SS 记为 T1/2T^{1/2}，称为 TT 的正平方根。

12.5 正交投影

有界算子 P∈B(H)P\in\mathcal B(H) 是某个闭子空间上的正交投影，当且仅当

P2=P,P∗=P.P^2=P, \qquad P^*=P.

因此，“幂等”给出投影的代数性质，“自伴”保证投影方向与目标子空间正交。

13. 最小二乘与正规方程

设 T∈B(H,K)T\in\mathcal B(H,K)，希望在 x∈Hx\in H 中寻找使 ∥Tx−y∥\|Tx-y\| 最小的向量。若最优解 x0x_0 存在，则残差 y−Tx0y-Tx_0 必须与 ran⁡T\operatorname{ran}T 正交，因此

T∗(Tx0−y)=0,T^*(Tx_0-y)=0,

即

T∗Tx0=T∗y.T^*Tx_0=T^*y.

这称为正规方程。它把最佳逼近问题转化为由正算子 T∗TT^*T 控制的方程。

若 ran⁡T\operatorname{ran}T 闭，则 yy 在 ran⁡T\operatorname{ran}T 上存在正交投影，最小二乘解存在；解的唯一性还需要 TT 为单射。若 TT 有非平凡核，则所有最小二乘解相差一个 ker⁡T\ker T 中的向量。

14. 几组容易混淆的概念

14.1 Hilbert 基与 Hamel 基

  • Hamel 基要求每个向量表示为有限线性组合；
  • Hilbert 基允许按范数收敛的无穷展开，并要求标准正交。

无限维 Banach 空间不可能具有可数 Hamel 基，但可分 Hilbert 空间具有可数 Hilbert 基。

14.2 Bessel 不等式与 Parseval 等式

  • 任意标准正交系都满足 Bessel 不等式；
  • 只有标准正交系完备时，才对所有向量成立 Parseval 等式。

14.3 Banach 对偶与 Hilbert 伴随

一般 Banach 空间中的对偶算子为

T′:K∗→H∗,T′f=f∘T.T':K^*\to H^*, \qquad T'f=f\circ T.

Hilbert 空间中的伴随算子 T∗:K→HT^*:K\to H 是利用 Riesz 表示把 K∗K^*、H∗H^* 分别识别为 KK、HH 后得到的更具体对象。

15. 本文小结

本文整理了 Hilbert 空间中的坐标表示与伴随理论：

  1. 标准正交系使有限线性组合满足 Euclidean 型勾股等式；
  2. Bessel 不等式控制 Fourier 系数，完备性把它加强为 Parseval 等式；
  3. 可分无限维 Hilbert 空间都等距同构于 ℓ2\ell^2；
  4. Riesz 表示定理把连续线性泛函唯一表示为内积；
  5. 伴随算子满足 ∥T∗∥=∥T∥\|T^*\|=\|T\| 和 ∥T∗T∥=∥T∥2\|T^*T\|=\|T\|^2；
  6. 自伴、正常、酉和正算子构成 Hilbert 空间谱理论的基本对象。

下一篇将整理紧算子、有限秩逼近及其基本性质。

参考资料

  • John B. Conway, A Course in Functional Analysis.
  • Walter Rudin, Functional Analysis.
  • Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
  • 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》下册。