泛函分析 09：Banach–Alaoglu 定理、自反性与弱紧致性

无限维赋范空间的闭单位球不可能在范数拓扑下紧致，但它可能在更弱的拓扑下紧致。Banach–Alaoglu 定理保证对偶空间的闭单位球总是弱星紧的；自反性则把这种弱星紧致性传回原空间，使原空间的闭单位球弱紧。

本篇沿着

$$X \xrightarrow{J} X^{**}$$

这条自然嵌入，整理 Banach–Alaoglu 定理、Goldstine 稠密性定理、自反空间及弱紧致性的各种刻画。

本文设 $X$ 为 $\mathbb K$ 上的 Banach 空间，其中 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$。

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1. 自然嵌入

1.1 从 $X$ 到 $X^{**}$

对每个 $x\in X$，定义 $Jx\in X^{**}$：

$$(Jx)(f)=f(x), \qquad f\in X^*.$$

由此得到自然映射

$$J:X\to X^{**}.$$

1.2 等距性

由 Hahn–Banach 定理给出的对偶范数表示，

$$\|x\| = \sup_{\|f\|\le1}|f(x)|.$$

所以

$$\|Jx\| = \sup_{\|f\|\le1}|(Jx)(f)| = \|x\|.$$

因此 $J$ 是线性等距嵌入。

1.3 自然性的含义

$J$ 的定义不需要选择基。它把 $x$ 解释为“在每个连续线性泛函 $f$ 上取值 $f(x)$ 的泛函”。

因为 $J$ 等距，所以：

• $J$ 是单射；
• $J(X)$ 是 $X^{**}$ 的闭子空间；
• 可以把 $X$ 等距地看作 $X^{**}$ 的子空间。

但 $J$ 未必满射。$X^{**}$ 中可能存在不能写成“在某个 $x\in X$ 处取值”的连续线性泛函。

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2. 自反空间

2.1 定义

定义（自反空间）
若自然嵌入

$$J:X\to X^{**}$$

是满射，则称 $X$ 是自反 Banach 空间。

此时可以通过自然映射把

$$X=X^{**}$$

视为等距同构。

“自反”要求的是自然嵌入满射，而不仅是存在某个抽象的 Banach 空间同构

$$X\cong X^{**}.$$

2.2 有限维空间

每个有限维赋范空间都是自反的。

如果

$$\dim X=n,$$

则

$$\dim X^*=\dim X^{**}=n,$$

而自然嵌入 $J$ 已经是单射，所以必为满射。

2.3 Hilbert 空间

每个 Hilbert 空间都是自反的。

Riesz 表示定理把每个连续线性泛函表示为与某个固定向量的内积；再次取对偶后，自然嵌入成为满射。

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3. Banach–Alaoglu 定理

3.1 对偶闭单位球

记

$$B_{X^*} = \{f\in X^*:\|f\|\le1\}.$$

在范数拓扑下，当 $X^*$ 无限维时，$B_{X^*}$ 不紧。

3.2 定理

定理（Banach–Alaoglu）
对任意赋范空间 $X$，对偶空间的闭单位球

$$B_{X^*}$$

在弱星拓扑

$$\sigma(X^*,X)$$

下紧致。

这里 $X$ 不需要完备，也不需要可分。

3.3 一般有界球

对任意 $R>0$，

$$R B_{X^*} = \{f\in X^*:\|f\|\le R\}$$

也是弱星紧集。

因此对偶空间中的有界网总能提取弱星收敛子网。

3.4 定理的乘积空间直观

每个 $f\in B_{X^*}$ 满足

$$|f(x)|\le\|x\|, \qquad x\in X.$$

所以可以把 $B_{X^*}$ 嵌入乘积空间

$$\prod_{x\in X} \{\lambda\in\mathbb K:|\lambda|\le\|x\|\}.$$

每个因子都是紧集，Tychonoff 定理保证整个乘积紧致；线性和有界条件定义一个闭子集。乘积拓扑限制到 $B_{X^*}$ 上正是弱星拓扑。

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4. 可分性与弱星可度量化

4.1 可分原空间

定理
若 $X$ 可分，则 $B_{X^*}$ 上的弱星拓扑可度量。

取 $X$ 中的稠密序列 $\{x_n\}$，经过适当归一化后，可以定义与弱星拓扑相容的度量，例如

$$d(f,g) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \frac{|f(x_n)-g(x_n)|} {1+|f(x_n)-g(x_n)|}.$$

这个度量只在范数有界的子集上用于刻画弱星拓扑。

4.2 序列形式

若 $X$ 可分，则 $B_{X^*}$ 既弱星紧又可度量，因此它弱星列紧：

$X^*$ 中每个有界序列都存在弱星收敛子列。

若 $X$ 不可分，Banach–Alaoglu 定理仍然成立，但一般只能保证存在收敛子网，不能保证存在收敛子列。

4.3 可分空间的对偶未必可分

$X$ 可分不保证 $X^*$ 在范数下可分。

典型例子是

$$X=\ell^1, \qquad X^*=\ell^\infty.$$

$\ell^1$ 可分，但 $\ell^\infty$ 不可分。

可分性在这里保证的是对偶闭球的弱星可度量性，不是对偶空间的范数可分性。

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5. Banach–Alaoglu 的序列应用

5.1 有界泛函列

设 $X$ 可分，$\{f_n\}\subseteq X^*$ 满足

$$\sup_n\|f_n\|<\infty.$$

则存在子列 $\{f_{n_k}\}$ 和 $f\in X^*$，使对每个 $x\in X$，

$$f_{n_k}(x)\to f(x).$$

也就是

$$f_{n_k}\xrightarrow{w^*}f.$$

5.2 测度中的应用

由 Riesz 表示定理，紧 Hausdorff 空间 $K$ 上的有限正则 Borel 测度可以看作 $C(K)^*$ 的元素。

若一列测度 $\{\mu_n\}$ 的总变差一致有界，并且 $C(K)$ 可分，则可以抽出子列，使

$$\int_Kf\,d\mu_{n_k} \to \int_Kf\,d\mu$$

对每个 $f\in C(K)$ 成立。

这正是测度的弱星收敛。

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6. Goldstine 定理

6.1 定理

定理（Goldstine）
自然嵌入下的单位球

$$J(B_X)$$

在 $B_{X^{**}}$ 中关于弱星拓扑

$$\sigma(X^{**},X^*)$$

稠密。

也就是说，对任意 $x^{**}\in B_{X^{**}}$、有限个泛函

$$f_1,\ldots,f_m\in X^*$$

和 $\varepsilon>0$，都存在 $x\in B_X$，使

$$|x^{**}(f_j)-f_j(x)|<\varepsilon, \qquad 1\le j\le m.$$

6.2 稠密不等于相等

如果 $X$ 自反，则

$$J(B_X)=B_{X^{**}}.$$

如果 $X$ 不自反，则 $J(B_X)$ 仍然弱星稠密，但不是整个 $B_{X^{**}}$。

$J(X)$ 在二次对偶的范数拓扑下是闭的，却可能在弱星拓扑下不闭。这再次体现弱星拓扑比范数拓扑弱。

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7. 弱紧致性与自反性

7.1 Kakutani 定理

定理（Kakutani）
Banach 空间 $X$ 自反，当且仅当其闭单位球

$$B_X$$

在弱拓扑 $\sigma(X,X^*)$ 下紧致。

即

$$X\text{ 自反} \Longleftrightarrow B_X\text{ 弱紧}.$$

这是自反性最常用的拓扑刻画。

7.2 为什么 Banach–Alaoglu 能导出弱紧致

Banach–Alaoglu 定理说明

$$B_{X^{**}}$$

在弱星拓扑 $\sigma(X^{**},X^*)$ 下紧。

若 $X$ 自反，则

$$J(B_X)=B_{X^{**}},$$

而 $J$ 把 $X$ 上的弱拓扑对应到 $J(X)$ 上的弱星拓扑。因此 $B_X$ 弱紧。

反方向则结合 Goldstine 定理和紧集闭性得到。

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8. Eberlein–Šmulian 定理

8.1 定理

定理（Eberlein–Šmulian）
Banach 空间的子集 $K$ 弱紧，当且仅当它弱列紧。

也就是说，

$$K\text{ 弱紧} \Longleftrightarrow \text{$K$ 中每个点列都有弱收敛子列，且极限属于 $K$}.$$

这是一个特殊而重要的结论。一般拓扑空间中的紧致性不能只用序列刻画，但 Banach 空间的弱紧致性可以。

8.2 自反空间中的有界序列

由 Kakutani 与 Eberlein–Šmulian 定理：

定理
$X$ 自反，当且仅当 $X$ 中每个有界序列都存在弱收敛子列。

因此自反性是从有界序列中提取弱收敛子列的标准条件。

8.3 弱极限仍在闭凸约束中

若 $C\subseteq X$ 是范数闭凸集，则 $C$ 弱闭。

所以当

$$x_{n_k}\rightharpoonup x$$

且每个 $x_{n_k}\in C$ 时，自动有

$$x\in C.$$

这使弱收敛特别适合带闭凸约束的极值问题。

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9. 自反性的其他刻画

9.1 James 定理

定理（James）
Banach 空间 $X$ 自反，当且仅当每个 $f\in X^*$ 都在闭单位球 $B_X$ 上达到其范数。

实数情形可以写成：存在 $x\in B_X$，使

$$f(x)=\|f\|.$$

复数情形等价地要求存在 $x\in B_X$，使

$$|f(x)|=\|f\|.$$

Hahn–Banach 定理保证对每个 $x\in X$，存在范数泛函在 $x$ 处达到范数；James 定理讨论的是反方向——每个对偶泛函是否在单位球上达到范数。

9.2 对偶空间的自反性

定理

$$X\text{ 自反} \Longleftrightarrow X^*\text{ 自反}.$$

因此自反性在取连续对偶时双向保持。

9.3 子空间与商空间

若 $X$ 自反，则：

1. $X$ 的每个闭子空间都自反；
2. $X$ 关于任意闭子空间的商空间都自反。

反过来，若闭子空间 $M$ 和商空间 $X/M$ 都自反，则 $X$ 自反。

9.4 可分性

若 $X$ 可分且自反，则 $X^*$ 可分。

另一方面，若 $X^*$ 可分，则 $X$ 可分，不需要先假设自反。

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10. 一致凸与自反性

10.1 一致凸空间

定义（一致凸）
赋范空间 $X$ 称为一致凸的，如果对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使当

$$\|x\|\le1,\qquad \|y\|\le1,\qquad \|x-y\|\ge\varepsilon$$

时，都有

$$\left\|\frac{x+y}{2}\right\| \le 1-\delta.$$

一致凸表示单位球没有越来越平的边界线段，是比严格凸更强的几何性质。

10.2 Milman–Pettis 定理

定理（Milman–Pettis）
每个一致凸 Banach 空间都是自反空间。

反向不成立：自反空间未必在原范数下是一致凸的。

10.3 典型例子

当

$$1<p<\infty$$

时，

$$\ell^p$$

和

$$L^p$$

都是一致凸的，因此自反。

Hilbert 空间也是一致凸空间。

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11. 典型自反空间

11.1 有限维空间

所有有限维赋范空间自反。

11.2 Hilbert 空间

所有 Hilbert 空间自反，包括

$$\ell^2$$

和

$$L^2.$$

11.3 $\ell^p$ 与 $L^p$

当

$$1<p<\infty$$

时，

$$\ell^p \quad\text{和}\quad L^p$$

自反。

从对偶关系看，

$$(\ell^p)^*\cong\ell^q, \qquad (\ell^q)^*\cong\ell^p,$$

其中

$$\frac1p+\frac1q=1.$$

一般测度空间上的 $L^p$ 也在 $1<p<\infty$ 时自反。

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12. 典型非自反空间

12.1 $\ell^1$

$\ell^1$ 不自反。

标准单位向量 $\{e_n\}$ 有界，但没有弱收敛子列。因为 $\ell^1$ 具有 Schur 性质，任何弱收敛子列都必须范数收敛，而

$$\|e_n-e_m\|_1=2, \qquad n\ne m.$$

12.2 $c_0$

有

$$(c_0)^*\cong\ell^1$$

和

$$(c_0)^{**}\cong\ell^\infty.$$

自然嵌入把 $c_0$ 看作 $\ell^\infty$ 中所有收敛到 $0$ 的序列，但

$$\mathbf1=(1,1,\ldots)\in\ell^\infty$$

不属于 $c_0$。所以自然嵌入不满，$c_0$ 不自反。

12.3 $\ell^\infty$

$\ell^\infty$ 不自反。

如果 $\ell^\infty$ 自反，则其闭子空间 $c_0$ 也应自反，与上一结论矛盾。

12.4 $C[0,1]$

$C[0,1]$ 在一致范数下不是自反空间。

因此其闭单位球不弱紧，存在有界序列不能抽出弱收敛子列。

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13. 弱紧集

13.1 基本性质

若 $K\subseteq X$ 弱紧，则：

1. $K$ 在范数下有界；
2. $K$ 在弱拓扑下闭；
3. 每个弱连续映射把 $K$ 映成紧集；
4. 实数域上的每个 $f\in X^*$ 在 $K$ 上达到最大值和最小值；复数域上可对 $\operatorname{Re}f$、$\operatorname{Im}f$ 或 $|f|$ 使用相应的极值结论。

弱紧集不一定范数紧。无限维自反空间的闭单位球就是最重要的例子。

13.2 自反空间中的闭凸有界集

若 $X$ 自反，$C\subseteq X$ 非空、范数闭、凸且有界，则 $C$ 弱紧。

原因是：

• 有界性使 $C$ 包含在某个弱紧闭球中；
• 范数闭凸集是弱闭集；
• 弱紧集的弱闭子集仍弱紧。

如果集合不凸，范数闭不一定推出弱闭，因此不能直接得出弱紧。

13.3 有界线性算子的像

若 $T\in\mathcal B(X,Y)$，则 $T$ 是弱—弱连续的。因此若 $K\subseteq X$ 弱紧，则

$$T(K)$$

在 $Y$ 中弱紧。

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14. 弱下半连续与极小值

14.1 弱下半连续

定义（弱下半连续）
函数

$$\Phi:X\to(-\infty,+\infty]$$

称为弱下半连续的，如果每个下水平集

$$\{x\in X:\Phi(x)\le c\}$$

都是弱闭集。特别地，若

$$x_n\rightharpoonup x$$

则满足

$$\Phi(x) \le \liminf_{n\to\infty}\Phi(x_n).$$

仅要求上述序列不等式时，称为弱序列下半连续；在一般不可度量的弱拓扑中，需要区分这两个概念。

14.2 凸函数

定理
赋范空间上的凸函数如果在范数下下半连续，则也在弱拓扑下下半连续。

特别地，范数及其正幂

$$x\mapsto\|x\|^p$$

都是弱下半连续的。

14.3 直接法

设 $X$ 自反，$C\subseteq X$ 非空、弱闭，泛函

$$\Phi:C\to(-\infty,+\infty]$$

满足：

1. $\Phi$ 弱下半连续；

2. $\Phi$ 强制，即

   $$\|x\|\to\infty \Longrightarrow \Phi(x)\to+\infty.$$

则在适当的有限下确界假设下，$\Phi$ 在 $C$ 上达到最小值。

基本过程为：

1. 取极小化序列 $\{x_n\}$；
2. 强制性保证 $\{x_n\}$ 有界；
3. 自反性给出弱收敛子列；
4. 弱闭性保证极限仍在 $C$ 中；
5. 弱下半连续性保证极限达到下确界。

这是变分法、偏微分方程和最优化中存在性证明的基本框架。

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15. 紧致性对照

对象	拓扑	紧致性结论	序列结论
$B_X$	范数拓扑	仅有限维时紧	无限维时通常无范数收敛子列
$B_X$	弱拓扑	当且仅当 $X$ 自反时紧	自反时每个有界序列有弱收敛子列
$B_{X^*}$	弱星拓扑	总是紧	$X$ 可分时每个有界序列有弱星收敛子列
$B_{X^*}$	弱拓扑	当且仅当 $X^*$ 自反时紧	等价于 $X$ 自反

需要区分：

• Banach–Alaoglu 定理不要求自反性，因为它讨论对偶球的弱星紧致性；
• 原空间球的弱紧致性恰好刻画自反性；
• 弱星紧致一般依赖网，可分性才使单位球上的弱星拓扑可度量。

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16. 本篇要点

1. 自然嵌入 $J:X\to X^{**}$ 总是线性等距嵌入。
2. $X$ 自反是指自然嵌入满射，而不只是抽象地与二次对偶同构。
3. Banach–Alaoglu 定理保证 $B_{X^*}$ 总是弱星紧。
4. 当 $X$ 可分时，$B_{X^*}$ 的弱星拓扑可度量，因此有界序列可抽出弱星收敛子列。
5. Goldstine 定理说明 $J(B_X)$ 在 $B_{X^{**}}$ 中弱星稠密。
6. $X$ 自反当且仅当 $B_X$ 弱紧。
7. Eberlein–Šmulian 定理使 Banach 空间中的弱紧致性可以用序列刻画。
8. 有限维空间、Hilbert 空间以及 $1<p<\infty$ 时的 $\ell^p$、$L^p$ 都自反。
9. $\ell^1$、$c_0$、$\ell^\infty$ 和 $C[0,1]$ 是典型非自反空间。
10. 自反性、弱紧致性和弱下半连续性共同构成变分法直接法的基础。

至此，泛函分析第三部分已经完成：

$$\text{弱拓扑与弱星拓扑} \longrightarrow \text{Banach\text{–}Alaoglu 与 Goldstine} \longrightarrow \text{自反性与弱紧致性}.$$

下一篇将整理内积空间、Hilbert 空间、正交性与投影定理。

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参考教材

1. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》，北京大学出版社。
2. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社。
3. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed.
4. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed.
5. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.