长度、面积和体积都是对集合“大小”的度量。Riemann 积分主要通过区间分割处理较规则的集合，而 Lebesgue 理论希望给更广泛的点集赋予长度，并且要求这种长度与可数并、极限过程相容。

本文从外测度出发定义 Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度。除非特别说明，

E,A,Ek⊆Rn,E,A,E_k\subseteq\mathbb R^n,

λn\lambda^n 表示 Rn\mathbb R^n 上的 Lebesgue 测度；在 R\mathbb R 上简记为 λ\lambda。

1. 长方体的体积

1.1 区间的长度

有界区间 II 的长度定义为

∣I∣=b−a,|I|=b-a,

其中 a,ba,b 是区间端点。端点是否包含在区间中不影响长度，因此

∣(a,b)∣=∣[a,b]∣=∣[a,b)∣=∣(a,b]∣=b−a.|(a,b)|=|[a,b]|=|[a,b)|=|(a,b]|=b-a.

单点可以看作退化区间，其长度为 00。

1.2 nn 维长方体

设

Q=I1×I2×⋯×InQ=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n

是 Rn\mathbb R^n 中的长方体，其中每个 IjI_j 都是有界区间。定义

∣Q∣=∏j=1n∣Ij∣.|Q|=\prod_{j=1}^{n}|I_j|.

这与通常的长度、面积和体积一致。外测度的基本思想是：用可数个长方体覆盖任意集合，并取所有覆盖总体积的下确界。

2. Lebesgue 外测度

2.1 定义

定义（Lebesgue 外测度）
对任意 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n，定义

λn,∗(E)=inf⁡{∑k=1∞∣Qk∣:E⊆⋃k=1∞Qk},\lambda^{n,*}(E) =\inf\left\{ \sum_{k=1}^{\infty}|Q_k|: E\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}Q_k \right\},

其中 {Qk}\{Q_k\} 遍历所有覆盖 EE 的可数个开长方体族。

约定

λn,∗(∅)=0.\lambda^{n,*}(\varnothing)=0.

外测度对所有子集都有定义，其值属于 [0,+∞][0,+\infty]。

“外”表示从集合外部用较简单的长方体覆盖它；取下确界表示寻找任意精细的最佳覆盖，而不要求最佳覆盖一定存在。

2.2 基本性质

定理（外测度的基本性质）

  1. 空集性：

    λn,∗(∅)=0.\lambda^{n,*}(\varnothing)=0.

  2. 单调性：若 A⊆EA\subseteq E，则

    λn,∗(A)≤λn,∗(E).\lambda^{n,*}(A)\le\lambda^{n,*}(E).

  3. 可数次次可加性：

    λn,∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞λn,∗(Ek).\lambda^{n,*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right) \le \sum_{k=1}^{\infty}\lambda^{n,*}(E_k).

  4. 平移不变性：对任意 a∈Rna\in\mathbb R^n，

    λn,∗(E+a)=λn,∗(E).\lambda^{n,*}(E+a)=\lambda^{n,*}(E).

  5. 齐次性：对任意 c∈R∖{0}c\in\mathbb R\setminus\{0\}，

    λn,∗(cE)=∣c∣nλn,∗(E).\lambda^{n,*}(cE)=|c|^n\lambda^{n,*}(E).

外测度只有可数次可加性，不一定对不相交集合满足等号。这正是还需要筛选“可测集”的原因。

2.3 长方体与开集的外测度

定理
对任意长方体 QQ，

λn,∗(Q)=∣Q∣.\lambda^{n,*}(Q)=|Q|.

在一维情形，如果开集 GG 分解为至多可数个互不相交开区间

G=⋃k=1∞Ik,G=\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k,

则

λ(G)=∑k=1∞∣Ik∣.\lambda(G)=\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|.

3. Carathéodory 可测性

3.1 定义

定义（Lebesgue 可测集）
集合 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n 称为 Lebesgue 可测集，如果对任意 A⊆RnA\subseteq\mathbb R^n 都有

λn,∗(A)=λn,∗(A∩E)+λn,∗(A∖E).\lambda^{n,*}(A) =\lambda^{n,*}(A\cap E) +\lambda^{n,*}(A\setminus E).

这个条件称为 Carathéodory 条件。

外测度的次可加性总能给出

λn,∗(A)≤λn,∗(A∩E)+λn,∗(A∖E),\lambda^{n,*}(A) \le \lambda^{n,*}(A\cap E) +\lambda^{n,*}(A\setminus E),

所以可测性的实质是反向不等式也成立。

可测集能够把任意集合 AA 分割成位于 EE 内外的两部分，并且不会产生额外的“长度损失”。

3.2 可测集族

全体 Lebesgue 可测集组成的集合族记作

L(Rn).\mathcal L(\mathbb R^n).

定理

  1. L(Rn)\mathcal L(\mathbb R^n) 是一个 σ\sigma-代数；
  2. 所有开集和闭集都是 Lebesgue 可测集；
  3. 所有 Borel 集都是 Lebesgue 可测集；
  4. 若 λn,∗(N)=0\lambda^{n,*}(N)=0，则 NN 及其任意子集都可测。

因此

B(Rn)⊊L(Rn)⊊P(Rn).\mathcal B(\mathbb R^n) \subsetneq \mathcal L(\mathbb R^n) \subsetneq \mathcal P(\mathbb R^n).

第一个包含严格，是因为 Lebesgue σ\sigma-代数补入了所有零测集的子集；第二个包含严格，是因为存在不可测集。

3.3 Lebesgue 测度

定义（Lebesgue 测度）
把外测度限制在 Lebesgue 可测集族上，得到 Lebesgue 测度：

λn(E)=λn,∗(E),E∈L(Rn).\lambda^n(E)=\lambda^{n,*}(E), \qquad E\in\mathcal L(\mathbb R^n).

在一维情形，通常写成 λ(E)\lambda(E) 或 m(E)m(E)。

4. 测度的基本性质

4.1 可数可加性

定理（可数可加性）
若 {Ek}\{E_k\} 两两不交且每个 EkE_k 都可测，则

λn(⋃k=1∞Ek)=∑k=1∞λn(Ek).\lambda^n\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right) =\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^n(E_k).

这是测度区别于一般外测度的核心性质。

4.2 有限可加性与差集

若 E,FE,F 可测且不相交，则

λn(E∪F)=λn(E)+λn(F).\lambda^n(E\cup F)=\lambda^n(E)+\lambda^n(F).

若 E⊆FE\subseteq F 且 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty，则

λn(F∖E)=λn(F)−λn(E).\lambda^n(F\setminus E) =\lambda^n(F)-\lambda^n(E).

有限性条件不能随意删除，因为 +∞−∞+\infty-\infty 没有定义。

4.3 包含—排除公式

若 E,FE,F 可测，并且等式右侧没有出现未定义的 +∞−∞+\infty-\infty，则

λn(E∪F)=λn(E)+λn(F)−λn(E∩F).\lambda^n(E\cup F) =\lambda^n(E)+\lambda^n(F)-\lambda^n(E\cap F).

特别地，

λn(E△F)=λn(E∖F)+λn(F∖E),\lambda^n(E\triangle F) =\lambda^n(E\setminus F)+\lambda^n(F\setminus E),

其中 E△FE\triangle F 是对称差。

4.4 平移、伸缩与刚体运动

若 EE 可测，则对任意 a∈Rna\in\mathbb R^n 和 c∈R∖{0}c\in\mathbb R\setminus\{0\}，

λn(E+a)=λn(E),\lambda^n(E+a)=\lambda^n(E), λn(cE)=∣c∣nλn(E).\lambda^n(cE)=|c|^n\lambda^n(E).

当 c=0c=0 时，cEcE 至多为单点集，因而测度为 00。更一般地，正交变换保持 Lebesgue 测度不变。

5. 测度关于集合列的连续性

5.1 从下连续

定理（测度从下连续）
若

E1⊆E2⊆⋯ ,Ek↑E,E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots, \qquad E_k\uparrow E,

则

λn(E)=lim⁡k→∞λn(Ek).\lambda^n(E) =\lim_{k\to\infty}\lambda^n(E_k).

这里不要求 λn(Ek)\lambda^n(E_k) 有限。

5.2 从上连续

定理（测度从上连续）
若

E1⊇E2⊇⋯ ,Ek↓E,E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots, \qquad E_k\downarrow E,

并且

λn(E1)<∞,\lambda^n(E_1)<\infty,

则

λn(E)=lim⁡k→∞λn(Ek).\lambda^n(E) =\lim_{k\to\infty}\lambda^n(E_k).

这里的有限性条件必不可少。例如

Ek=[k,+∞)E_k=[k,+\infty)

满足 Ek↓∅E_k\downarrow\varnothing，但每个 EkE_k 的测度都是 +∞+\infty。

5.3 一般集合列的估计

对任意可测集合列 {Ek}\{E_k\}，

λn(lim inf⁡k→∞Ek)≤lim inf⁡k→∞λn(Ek).\lambda^n\left(\liminf_{k\to\infty}E_k\right) \le \liminf_{k\to\infty}\lambda^n(E_k).

若存在某个可测集 FF 使 Ek⊆FE_k\subseteq F 且 λn(F)<∞\lambda^n(F)<\infty，则

lim sup⁡k→∞λn(Ek)≤λn(lim sup⁡k→∞Ek).\limsup_{k\to\infty}\lambda^n(E_k) \le \lambda^n\left(\limsup_{k\to\infty}E_k\right).

这些结论是 Fatou 引理在示性函数情形下的集合版本。

6. 零测集与“几乎处处”

6.1 零测集

定义（零测集）
若

λn,∗(N)=0,\lambda^{n,*}(N)=0,

则称 NN 为零测集。

等价地，对任意 ε>0\varepsilon>0，都可以用可数个开长方体 {Qk}\{Q_k\} 覆盖 NN，并使

∑k=1∞∣Qk∣<ε.\sum_{k=1}^{\infty}|Q_k|<\varepsilon.

定理

  1. 零测集的任意子集仍是零测集；
  2. 可数个零测集的并仍是零测集；
  3. 每个至多可数集都是零测集；
  4. 零测集一定可测。

因此

λ(Q)=0,\lambda(\mathbb Q)=0,

尽管 Q\mathbb Q 在 R\mathbb R 中稠密。

6.2 Cantor 集

标准三分 Cantor 集 CC 是不可数集，但

λ(C)=0.\lambda(C)=0.

它说明基数与测度描述的是两种完全不同的“大小”：集合可以拥有连续统多个点，却仍然是零测集。

6.3 几乎处处

定义（几乎处处）
若某个性质在 EE 上除去一个零测集后处处成立，则称该性质在 EE 上几乎处处成立，记作

a.e. on E.\text{a.e. on }E.

例如，函数 f,gf,g 在 EE 上几乎处处相等，是指

λn({x∈E:f(x)≠g(x)})=0.\lambda^n(\{x\in E:f(x)\ne g(x)\})=0.

Lebesgue 积分不会区分只在零测集上取值不同的函数。

7. Lebesgue 测度的正则性

7.1 外正则性

定理（外正则性）
若 EE 可测，则

λn(E)=inf⁡{λn(G):E⊆G, G 为开集}.\lambda^n(E) =\inf\{\lambda^n(G):E\subseteq G,\ G\text{ 为开集}\}.

因此，可测集可以从外部用开集任意精确地逼近。

7.2 内正则性

定理（内正则性）
若 EE 可测，则

λn(E)=sup⁡{λn(K):K⊆E, K 为紧集}.\lambda^n(E) =\sup\{\lambda^n(K):K\subseteq E,\ K\text{ 为紧集}\}.

因此，可测集也可以从内部用紧集任意精确地逼近。

7.3 误差形式

若 EE 可测且 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty，则对任意 ε>0\varepsilon>0，存在开集 GG 和紧集 KK，使

K⊆E⊆GK\subseteq E\subseteq G

且

λn(G∖E)<ε,λn(E∖K)<ε.\lambda^n(G\setminus E)<\varepsilon, \qquad \lambda^n(E\setminus K)<\varepsilon.

定理（Borel 逼近）
对每个 Lebesgue 可测集 EE，都存在 GδG_\delta 集 GG 和 FσF_\sigma 集 FF，满足

F⊆E⊆G,F\subseteq E\subseteq G, λn(G∖E)=λn(E∖F)=0.\lambda^n(G\setminus E) =\lambda^n(E\setminus F)=0.

这里 GδG_\delta 表示可数个开集的交，FσF_\sigma 表示可数个闭集的并。

8. 拓扑大小与测度大小

集合在拓扑意义下“稠密”或“内部为空”，与测度大小没有直接对应关系。

8.1 稠密零测集

Q\mathbb Q 在 R\mathbb R 中稠密，但

λ(Q)=0.\lambda(\mathbb Q)=0.

8.2 无处稠密的正测度集

Smith–Volterra–Cantor 集，也称胖 Cantor 集，是闭集、内部为空且无处稠密，但其测度为

12.\frac12.

它说明内部为空并不意味着测度为零。

8.3 开集可以有任意小的正测度

对任意 ε>0\varepsilon>0，存在包含 Q∩[0,1]\mathbb Q\cap[0,1] 的开集 GG，使

λ(G)<ε.\lambda(G)<\varepsilon.

因此，一个开集可以包含稠密子集，却仍具有任意小的测度。

9. 不可测集

9.1 Vitali 集

在 [0,1][0,1] 上定义等价关系

x∼y⟺x−y∈Q.x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad x-y\in\mathbb Q.

利用选择公理，从每个等价类中选取一个代表，得到 Vitali 集。

定理
Vitali 集不是 Lebesgue 可测集。

不可测性的根源在于：如果同时要求所有子集可测、平移不变和可数可加，就会产生矛盾。

9.2 为什么实际分析中很少直接遇到不可测集

所有由开集、闭集经过可数次集合运算得到的 Borel 集都是可测的；零测集的任意子集也可测。不可测集通常需要选择公理进行非构造性选取，普通公式直接定义的集合往往属于可测范围。

10. Lebesgue 测度与 Jordan 测度

Jordan 测度只适用于有界集合，并以有限个长方体覆盖为基础；Lebesgue 测度允许可数覆盖，因此能处理更多极限构造。

定理
有界集合 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n Jordan 可测，当且仅当

λn(∂E)=0.\lambda^n(\partial E)=0.

此时 Jordan 测度与 Lebesgue 测度相等。

例如：

  • 闭区间、长方体和边界光滑的有界区域 Jordan 可测；
  • Q∩[0,1]\mathbb Q\cap[0,1] Lebesgue 可测且测度为 00，但不是 Jordan 可测；
  • Smith–Volterra–Cantor 集 Lebesgue 可测，但因边界就是自身且测度为 1/21/2，所以不是 Jordan 可测。

11. 概念速查

概念定义或核心性质
外测度 λn,∗\lambda^{n,*}可数长方体覆盖总体积的下确界
Lebesgue 可测集满足 Carathéodory 分割条件
Lebesgue 测度 λn\lambda^n外测度在可测集上的限制
零测集外测度为 00 的集合
几乎处处允许在一个零测集上例外
外正则性从外部用开集逼近
内正则性从内部用紧集逼近
Borel 集由开集生成的 σ\sigma-代数中的集合
Vitali 集典型的不可测集

12. 常见误区

12.1 外测度有限不等于可测

外测度对任意集合都有定义。即使 λn,∗(E)<∞\lambda^{n,*}(E)<\infty，也不能据此断定 EE 可测。

12.2 测度为零不等于集合为空

单点集、可数集以及 Cantor 集都可以非空甚至不可数，但测度为零。

12.3 稠密不等于测度大

Q\mathbb Q 在 R\mathbb R 中稠密，却是零测集。

12.4 测度可数可加不等于任意可加

每个单点集 {x}\{x\} 的测度都是 00，但

[0,1]=⋃x∈[0,1]{x}[0,1]=\bigcup_{x\in[0,1]}\{x\}

是不可数并，而 λ([0,1])=1\lambda([0,1])=1。

12.5 从上连续需要有限性条件

若 Ek↓EE_k\downarrow E，只有在某个初始集合具有有限测度时，才能保证

λn(Ek)→λn(E).\lambda^n(E_k)\to\lambda^n(E).

13. 本篇要点

  1. 外测度通过可数长方体覆盖定义，并对所有集合有意义。
  2. Carathéodory 条件筛选出 Lebesgue 可测集。
  3. Lebesgue 测度具有可数可加性、平移不变性和伸缩齐次性。
  4. 测度对单调集合列具有从下连续性；从上连续需要有限测度条件。
  5. 可数集和 Cantor 集都是零测集，零测集的任意子集仍可测。
  6. “几乎处处”允许忽略零测集，是可测函数和积分理论中的基本语言。
  7. 正则性保证可测集可以用开集、闭集和紧集进行测度逼近。
  8. 拓扑意义的稠密、无处稠密与测度大小没有直接对应关系。
  9. Vitali 集说明不能给 Rn\mathbb R^n 的所有子集同时赋予满足自然要求的测度。

下一篇将整理 可测函数、简单函数、几乎处处收敛、依测度收敛以及 Egorov、Lusin 定理。

参考教材

  1. 江泽坚、吴智泉、纪友清，《实变函数论》，第 4 版，高等教育出版社。
  2. 邓东皋、常心怡，《实变函数简明教程》，高等教育出版社。
  3. H. L. Royden and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th ed.
  4. G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed.
  5. D. L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed.