Lebesgue 测度解决了“哪些集合可以测量”，可测函数则解决“哪些函数可以积分”。其基本原则是：函数在数轴上的水平集必须是可测集。

本文设 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n 为 Lebesgue 可测集。函数允许取扩充实数值

R‾=R∪{−∞,+∞}.\overline{\mathbb R} =\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}.

除非特别说明，文中的“可测”均指 Lebesgue 可测。

1. 可测函数的定义

1.1 水平集定义

定义（可测函数）
函数

f:E→R‾f:E\to\overline{\mathbb R}

称为可测函数，如果对任意 a∈Ra\in\mathbb R，集合

{x∈E:f(x)>a}\{x\in E:f(x)>a\}

都是 Lebesgue 可测集。

通常把它简记为

{f>a}.\{f>a\}.

可测性不是要求函数连续，而是要求函数值通过阈值切出的点集仍属于可测范围。

1.2 等价判据

定理（水平集判据）
下列条件彼此等价：

  1. 对每个 a∈Ra\in\mathbb R，{f>a}\{f>a\} 可测；
  2. 对每个 a∈Ra\in\mathbb R，{f≥a}\{f\ge a\} 可测；
  3. 对每个 a∈Ra\in\mathbb R，{f<a}\{f<a\} 可测；
  4. 对每个 a∈Ra\in\mathbb R，{f≤a}\{f\le a\} 可测。

只需对所有有理数 a∈Qa\in\mathbb Q 检查其中任意一类水平集，就足以判定可测性。

1.3 Borel 原像判据

定理
函数 f:E→R‾f:E\to\overline{\mathbb R} 可测，当且仅当对每个 Borel 集 B⊆R‾B\subseteq\overline{\mathbb R}，

f−1(B)f^{-1}(B)

都是 EE 中的 Lebesgue 可测集。

因此，可测函数也可以理解为保持 σ\sigma-代数结构的映射。

2. 基本例子

2.1 连续函数

定理
连续函数

f:E→Rf:E\to\mathbb R

是 Borel 可测函数，因而也是 Lebesgue 可测函数。

分段连续函数、单调函数以及上半连续或下半连续函数也都是可测函数。

2.2 示性函数

设 A⊆EA\subseteq E。示性函数

1A(x)={1,x∈A,0,x∉A\mathbf 1_A(x)= \begin{cases} 1, & x\in A,\\ 0, & x\notin A \end{cases}

可测，当且仅当 AA 可测。

这说明可测集理论已经包含在可测函数理论之中。

2.3 Dirichlet 函数

函数

f(x)=1Q(x)f(x)=\mathbf 1_{\mathbb Q}(x)

在每一点都不连续，但它是可测函数，因为 Q\mathbb Q 是可测集。

因此，“不连续点很多”并不妨碍 Lebesgue 可测性。

2.4 几乎处处修改

定理
若 ff 可测，且 g=fg=f 几乎处处成立，则 gg 也可测。

这里使用了 Lebesgue 测度的完备性：零测集的任意子集仍然可测。

3. 可测函数的运算

3.1 代数运算

定理
若 f,g:E→Rf,g:E\to\mathbb R 可测，c∈Rc\in\mathbb R，则下列函数可测：

f±g,cf,fg,f\pm g,\qquad cf,\qquad fg,

以及在 {g≠0}\{g\ne0\} 上定义的

fg.\frac fg.

绝对值、正部和负部也可测：

∣f∣,f+=max⁡{f,0},f−=max⁡{−f,0}.|f|,\qquad f^+=\max\{f,0\},\qquad f^-=\max\{-f,0\}.

并且

f=f+−f−,∣f∣=f++f−.f=f^+-f^-, \qquad |f|=f^++f^-.

3.2 最大值与最小值

若 f,gf,g 可测，则

max⁡{f,g},min⁡{f,g}\max\{f,g\},\qquad \min\{f,g\}

都是可测函数。

常用恒等式为

max⁡{f,g}=f+g+∣f−g∣2,\max\{f,g\} =\frac{f+g+|f-g|}{2}, min⁡{f,g}=f+g−∣f−g∣2.\min\{f,g\} =\frac{f+g-|f-g|}{2}.

3.3 复合函数

定理
若 f:E→Rf:E\to\mathbb R 可测，φ:R→R\varphi:\mathbb R\to\mathbb R 连续，则

φ∘f\varphi\circ f

可测。

更一般地，若 φ\varphi 是 Borel 可测函数，则 φ∘f\varphi\circ f 可测。

4. 可数上确界、下确界与函数列极限

设 {fk}\{f_k\} 是 EE 上的可测函数列。

4.1 可数上确界与下确界

定理
函数

sup⁡k≥1fk,inf⁡k≥1fk\sup_{k\ge1}f_k, \qquad \inf_{k\ge1}f_k

都是可测函数。

特别地，有限个可测函数的最大值和最小值可测。

4.2 上极限与下极限

定义

lim sup⁡k→∞fk=inf⁡m≥1sup⁡k≥mfk,\limsup_{k\to\infty}f_k =\inf_{m\ge1}\sup_{k\ge m}f_k, lim inf⁡k→∞fk=sup⁡m≥1inf⁡k≥mfk.\liminf_{k\to\infty}f_k =\sup_{m\ge1}\inf_{k\ge m}f_k.

定理
lim sup⁡fk\limsup f_k 和 lim inf⁡fk\liminf f_k 都可测。

4.3 逐点极限

如果 fk(x)f_k(x) 在每个 x∈Ex\in E 处收敛，则

f(x)=lim⁡k→∞fk(x)f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)

是可测函数，因为

f=lim sup⁡k→∞fk=lim inf⁡k→∞fk.f=\limsup_{k\to\infty}f_k =\liminf_{k\to\infty}f_k.

这说明可测函数类对逐点极限封闭，而连续函数类没有这个性质。

5. 简单函数

5.1 定义

定义（简单函数）
若可测函数 φ:E→R\varphi:E\to\mathbb R 只取有限多个不同的值，则称 φ\varphi 为简单函数。

设其不同函数值为 a1,…,ama_1,\ldots,a_m，令

Ej={x∈E:φ(x)=aj}.E_j=\{x\in E:\varphi(x)=a_j\}.

则

φ=∑j=1maj1Ej,\varphi =\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf 1_{E_j},

其中 E1,…,EmE_1,\ldots,E_m 两两不交，并且

E=⋃j=1mEj.E=\bigcup_{j=1}^{m}E_j.

这种写法称为简单函数的标准表示。

5.2 可测性判据

定理
简单函数

φ=∑j=1maj1Ej\varphi=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf 1_{E_j}

可测，当且仅当每个 EjE_j 可测。

5.3 运算性质

简单函数的和、差、积、绝对值、最大值和最小值仍是简单函数。

简单函数是 Lebesgue 积分的第一层对象：先定义非负简单函数的积分，再用单调逼近推广到任意非负可测函数。

6. 简单函数逼近定理

6.1 非负可测函数

定理（简单函数逼近）
若

f:E→[0,+∞]f:E\to[0,+\infty]

可测，则存在一列非负简单函数 {φk}\{\varphi_k\}，使

0≤φ1≤φ2≤⋯≤f0\le\varphi_1\le\varphi_2\le\cdots\le f

并且

φk(x)↑f(x),x∈E.\varphi_k(x)\uparrow f(x), \qquad x\in E.

若 ff 有界，则可以选取 φk\varphi_k 使其一致收敛于 ff。

6.2 一种标准构造

把函数值轴以步长 2−k2^{-k} 分割，并在高度 kk 处截断。可定义

φk(x)={j2k,j2k≤f(x)<j+12k,k,f(x)≥k,\varphi_k(x)= \begin{cases} \dfrac{j}{2^k}, & \dfrac{j}{2^k}\le f(x)<\dfrac{j+1}{2^k}, \\[6pt] k, & f(x)\ge k, \end{cases}

其中

j=0,1,…,k2k−1.j=0,1,\ldots,k2^k-1.

这样得到

0≤φk(x)≤f(x),φk(x)↑f(x).0\le\varphi_k(x)\le f(x), \qquad \varphi_k(x)\uparrow f(x).

6.3 一般实值可测函数

若 ff 为实值可测函数，则存在简单函数列 {ψk}\{\psi_k\} 逐点收敛于 ff，并且可以安排

∣ψk(x)∣≤∣f(x)∣.|\psi_k(x)|\le|f(x)|.

通常先分别逼近 f+f^+ 和 f−f^-，再利用

f=f+−f−.f=f^+-f^-.

7. 几种函数列收敛

设 fk,ff_k,f 是 EE 上的可测函数。

7.1 处处收敛

若对每个 x∈Ex\in E，

fk(x)→f(x),f_k(x)\to f(x),

则称 fkf_k 在 EE 上处处收敛于 ff。

7.2 几乎处处收敛

若存在零测集 N⊆EN\subseteq E，使得对每个 x∈E∖Nx\in E\setminus N，

fk(x)→f(x),f_k(x)\to f(x),

则称 fkf_k 几乎处处收敛于 ff，记作

fk→fa.e. on E.f_k\to f\quad\text{a.e. on }E.

7.3 一致收敛

若

sup⁡x∈E∣fk(x)−f(x)∣→0,\sup_{x\in E}|f_k(x)-f(x)|\to0,

则称 fkf_k 一致收敛于 ff。

一致收敛比处处收敛强，因为它要求同一个序号同时控制所有点。

7.4 几乎一致收敛

定义（几乎一致收敛）
若对任意 δ>0\delta>0，都存在可测集 Aδ⊆EA_\delta\subseteq E，满足

λn(Aδ)<δ,\lambda^n(A_\delta)<\delta,

并且 fkf_k 在 E∖AδE\setminus A_\delta 上一致收敛于 ff，则称 fkf_k 几乎一致收敛于 ff。

7.5 依测度收敛

定义（依测度收敛）
若对任意 ε>0\varepsilon>0，

λn({∣fk−f∣≥ε})→0,\lambda^n\bigl(\{|f_k-f|\ge\varepsilon\}\bigr) \to0,

则称 fkf_k 依测度收敛于 ff，记作

fk→λf.f_k\xrightarrow{\lambda}f.

依测度收敛不要求每个固定点上的函数值最终稳定，而是要求误差超过阈值的点集测度趋于零。

8. 各种收敛方式的关系

8.1 基本蕴含

总有

一致收敛⟹处处收敛⟹几乎处处收敛.\text{一致收敛} \Longrightarrow \text{处处收敛} \Longrightarrow \text{几乎处处收敛}.

几乎一致收敛蕴含依测度收敛。

若 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty，则几乎处处收敛蕴含依测度收敛；这一结论可以由 Egorov 定理得到。

8.2 依测度收敛的子列原理

定理（Riesz 子列定理）
若

fk→λf,f_k\xrightarrow{\lambda}f,

则存在子列 {fkj}\{f_{k_j}\}，使

fkj→fa.e.f_{k_j}\to f \quad\text{a.e.}

因此，依测度收敛虽然不保证整个函数列逐点收敛，却总能抽出一个几乎处处收敛的子列。

8.3 依测度极限的唯一性

定理
若 fkf_k 同时依测度收敛于 ff 和 gg，则

f=ga.e.f=g\quad\text{a.e.}

所以依测度极限在几乎处处相等的意义下唯一。

9. Egorov 定理

定理（Egorov）
设 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty，fkf_k 和 ff 在 EE 上可测且几乎处处取有限值。若

fk→fa.e. on E,f_k\to f\quad\text{a.e. on }E,

则对任意 δ>0\delta>0，存在可测集 Aδ⊆EA_\delta\subseteq E，满足

λn(Aδ)<δ,\lambda^n(A_\delta)<\delta,

并且 fkf_k 在 E∖AδE\setminus A_\delta 上一致收敛于 ff。

简言之：

有限测度集上的 a.e. 收敛⟹几乎一致收敛.\text{有限测度集上的 a.e. 收敛} \Longrightarrow \text{几乎一致收敛}.

Egorov 定理不能直接删除 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty 这一条件。

10. Lusin 定理

定理（Lusin）
设 λn(E)<∞\lambda^n(E)<\infty，函数

f:E→Rf:E\to\mathbb R

可测。则对任意 δ>0\delta>0，存在闭集 F⊆EF\subseteq E，使

λn(E∖F)<δ,\lambda^n(E\setminus F)<\delta,

并且限制函数

f∣Ff|_F

连续。

Lusin 定理可以概括为：

有限测度集上的可测函数，在除去任意小测度的集合后就是连续函数。

它并不是说可测函数本身几乎处处连续，而是说可以在一个大闭集上获得连续性。

11. 典型例子

11.1 幂函数列

在 [0,1][0,1] 上令

fk(x)=xk.f_k(x)=x^k.

则

fk(x)→{0,0≤x<1,1,x=1.f_k(x)\to \begin{cases} 0, & 0\le x<1,\\ 1, & x=1. \end{cases}

因此 fk→0f_k\to0 几乎处处且依测度收敛于 00，但不一致收敛于 00。

11.2 移动到无穷远的示性函数

在 R\mathbb R 上令

fk=1[k,k+1].f_k=\mathbf 1_{[k,k+1]}.

对每个固定 xx，都有 fk(x)→0f_k(x)\to0，所以 fkf_k 处处收敛于 00。但当 0<ε≤10<\varepsilon\le1 时，

λ({∣fk∣≥ε})=1,\lambda(\{|f_k|\ge\varepsilon\})=1,

所以 fkf_k 不依测度收敛于 00。

这说明在无限测度空间上，几乎处处收敛不一定蕴含依测度收敛。

11.3 高而窄的尖峰

在 (0,1)(0,1) 上令

fk(x)=k 1(0,1/k)(x).f_k(x)=k\,\mathbf 1_{(0,1/k)}(x).

则

fk→0a.e.f_k\to0\quad\text{a.e.}

并且依测度收敛于 00，但

∫01fk(x) dx=1.\int_0^1 f_k(x)\,dx=1.

这说明几乎处处收敛或依测度收敛本身不足以交换极限与积分。

11.4 打字机序列

把 [0,1][0,1] 的所有二进区间按层依次排列，并令 fkf_k 是相应区间的示性函数。随着区间长度趋于 00，

fk→λ0,f_k\xrightarrow{\lambda}0,

但每个 x∈[0,1)x\in[0,1) 都会无穷多次取到 11，也会无穷多次取到 00，所以整个序列几乎处处不收敛。

这说明依测度收敛不蕴含几乎处处收敛，只能保证存在几乎处处收敛的子列。

12. 分布函数

定义（分布函数）
可测函数 ff 的分布函数定义为

df(t)=λn({x∈E:∣f(x)∣>t}),t≥0.d_f(t) =\lambda^n(\{x\in E:|f(x)|>t\}), \qquad t\ge0.

df(t)d_f(t) 单调不增，并且右连续。

分布函数描述函数超过不同高度的点集有多大。下一篇中的 Markov–Chebyshev 不等式会把积分大小与分布函数联系起来。

13. 概念速查

概念核心要求
可测函数所有水平集 {f>a}\{f>a\} 可测
简单函数只取有限多个值的可测函数
处处收敛每个点都收敛
几乎处处收敛除一个零测集外逐点收敛
一致收敛同一序号统一控制所有点
几乎一致收敛删除任意小测度集合后一致收敛
依测度收敛大误差点集的测度趋于零
Egorov 定理有限测度集上 a.e. 收敛可提升为几乎一致收敛
Lusin 定理可测函数删除小测度集合后可限制为连续函数

14. 常见误区

14.1 可测不等于连续

Dirichlet 函数处处不连续，但它可测。

14.2 几乎处处收敛不等于一致收敛

xkx^k 在 [0,1][0,1] 上几乎处处收敛于 00，但不一致收敛于 00。

14.3 几乎处处收敛未必依测度收敛

在有限测度集上可以推出；在无限测度集上不一定成立。

14.4 依测度收敛未必逐点收敛

打字机序列依测度收敛于 00，但整个序列几乎处处不收敛。

14.5 函数列收敛不保证积分收敛

尖峰函数列 k1(0,1/k)k\mathbf 1_{(0,1/k)} 几乎处处趋于 00，但每项积分都等于 11。交换极限与积分需要额外条件。

15. 本篇要点

  1. 可测函数通过水平集或 Borel 集的原像定义。
  2. 连续函数、单调函数、示性函数和简单函数都是基本可测函数。
  3. 可测函数对代数运算、连续复合、可数上下确界以及逐点极限封闭。
  4. 任意非负可测函数都可以由递增的非负简单函数列逐点逼近。
  5. 一致、处处、几乎处处、几乎一致和依测度收敛是不同层次的概念。
  6. 依测度收敛必能抽出几乎处处收敛的子列，其极限在 a.e. 意义下唯一。
  7. Egorov 定理把有限测度集上的 a.e. 收敛提升为几乎一致收敛。
  8. Lusin 定理说明可测函数在除去小测度集合后具有连续性。
  9. 几乎处处收敛本身不足以保证积分与极限可以交换。

下一篇将定义 Lebesgue 积分，并整理 Fatou 引理、单调收敛定理、控制收敛定理以及 Tonelli–Fubini 定理。

参考教材

  1. 江泽坚、吴智泉、纪友清，《实变函数论》，第 4 版，高等教育出版社。
  2. 邓东皋、常心怡，《实变函数简明教程》，高等教育出版社。
  3. H. L. Royden and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th ed.
  4. G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed.
  5. D. L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed.