上一章说明单调函数几乎处处可导，但 Cantor 函数表明：即使导数几乎处处存在且可积，也未必能由导数的积分恢复原函数。

有界变差函数刻画“总振荡量有限”，绝对连续函数则给出 Newton–Leibniz 公式成立的准确条件。本文的函数均定义在有限闭区间 [a,b][a,b] 上并取实值。

1. 分割与变差和

1.1 区间分割

定义（分割）
区间 [a,b][a,b] 的一个分割是有限点列

P:a=x0<x1<⋯<xm=b.P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b.

若 PP 包含 QQ 的所有分点，则称 PP 是 QQ 的加细。

1.2 变差和

给定函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 和分割 PP，定义

V(f,P)=∑j=1m∣f(xj)−f(xj−1)∣.V(f,P) =\sum_{j=1}^{m} |f(x_j)-f(x_{j-1})|.

它记录函数沿该分割发生的总变化，而不是只计算首尾净变化。

总有

∣f(b)−f(a)∣≤V(f,P).|f(b)-f(a)| \le V(f,P).

若 PP 是 QQ 的加细，则

V(f,Q)≤V(f,P).V(f,Q)\le V(f,P).

加入分点只会增加或保持变差和。

2. 有界变差函数

2.1 总变差

定义（总变差）
函数 ff 在 [a,b][a,b] 上的总变差定义为

Vab(f)=sup⁡PV(f,P),V_a^b(f) =\sup_P V(f,P),

其中上确界遍历 [a,b][a,b] 的所有有限分割。

2.2 有界变差

定义（有界变差函数）
若

Vab(f)<∞,V_a^b(f)<\infty,

则称 ff 在 [a,b][a,b] 上是有界变差函数，记作

f∈BV([a,b]).f\in BV([a,b]).

“有界变差”比“函数有界”强得多。它要求函数全部振荡的累积量有限。

2.3 基本例子

  1. 若 ff 单调增加，则

    Vab(f)=f(b)−f(a).V_a^b(f)=f(b)-f(a).

  2. 若 ff 单调减少，则

    Vab(f)=f(a)−f(b).V_a^b(f)=f(a)-f(b).

  3. 阶梯函数属于 BV([a,b])BV([a,b])。

  4. 连续函数不一定有界变差。例如

    f(x)={xsin⁡(1/x),x>0,0,x=0f(x)= \begin{cases} x\sin(1/x), & x>0,\\ 0, & x=0 \end{cases}

    在 [0,1][0,1] 上连续，但总变差为无穷。

3. 总变差函数

3.1 定义

若 f∈BV([a,b])f\in BV([a,b])，定义

Tf(x)=Vax(f),x∈[a,b].T_f(x)=V_a^x(f), \qquad x\in[a,b].

TfT_f 称为 ff 的总变差函数。

3.2 性质

总变差函数满足：

  1. Tf(a)=0T_f(a)=0；

  2. TfT_f 单调增加；

  3. 对 a≤c≤ba\le c\le b，

    Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f);V_a^b(f) = V_a^c(f)+V_c^b(f);

  4. 对任意 a≤x<y≤ba\le x<y\le b，

    ∣f(y)−f(x)∣≤Tf(y)−Tf(x).|f(y)-f(x)| \le T_f(y)-T_f(x).

最后一个不等式说明，TfT_f 控制了 ff 在每个子区间上的变化。

4. Jordan 分解

4.1 定理

定理（Jordan 分解）
函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 有界变差，当且仅当它可以表示为两个单调增加函数之差：

f=g−h.f=g-h.

一种标准分解为

g(x)=Tf(x)+f(x)2,h(x)=Tf(x)−f(x)2.g(x)=\frac{T_f(x)+f(x)}{2}, \qquad h(x)=\frac{T_f(x)-f(x)}{2}.

gg 与 hh 都单调增加。

4.2 正变差与负变差

定义

Pf(x)=Tf(x)+f(x)−f(a)2,P_f(x)=\frac{T_f(x)+f(x)-f(a)}{2}, Nf(x)=Tf(x)−f(x)+f(a)2.N_f(x)=\frac{T_f(x)-f(x)+f(a)}{2}.

则 Pf,NfP_f,N_f 单调增加，并且

f(x)−f(a)=Pf(x)−Nf(x),f(x)-f(a)=P_f(x)-N_f(x), Tf(x)=Pf(x)+Nf(x).T_f(x)=P_f(x)+N_f(x).

PfP_f 和 NfN_f 分别记录累计的正变化与负变化。

4.3 直接推论

由 Jordan 分解和单调函数的性质可得：

  1. 有界变差函数有界；
  2. 有界变差函数在每一点都存在有限的左右极限；
  3. 有界变差函数的间断点至多可数；
  4. 有界变差函数几乎处处可导。

5. BVBV 的运算性质

若 f,g∈BV([a,b])f,g\in BV([a,b])，c∈Rc\in\mathbb R，则

f±g,cf,fgf\pm g,\qquad cf,\qquad fg

都属于 BV([a,b])BV([a,b])。

总变差满足

Vab(f+g)≤Vab(f)+Vab(g),V_a^b(f+g) \le V_a^b(f)+V_a^b(g), Vab(cf)=∣c∣Vab(f).V_a^b(cf) =|c|V_a^b(f).

由于 BVBV 函数有界，

Vab(fg)≤∥f∥∞Vab(g)+∥g∥∞Vab(f).V_a^b(fg) \le \|f\|_\infty V_a^b(g) +\|g\|_\infty V_a^b(f).

若 ϕ:R→R\phi:\mathbb R\to\mathbb R 是 LL-Lipschitz 函数，则

Vab(ϕ∘f)≤L Vab(f).V_a^b(\phi\circ f) \le L\,V_a^b(f).

6. BVBV 函数的导数

6.1 几乎处处可导

定理
若 f∈BV([a,b])f\in BV([a,b])，则 ff 几乎处处存在有限导数，并且

f′∈L1([a,b]).f'\in L^1([a,b]).

6.2 变差估计

有

∫ab∣f′(x)∣ dx≤Vab(f).\int_a^b|f'(x)|\,dx \le V_a^b(f).

这个不等式可能严格成立。

对 Cantor 函数 CC，

∫01∣C′(x)∣ dx=0,\int_0^1|C'(x)|\,dx=0,

而

V01(C)=1.V_0^1(C)=1.

导数积分没有记录 Cantor 函数集中在零测集上的奇异增长。

7. 绝对连续函数

7.1 定义

定义（绝对连续）
函数 F:[a,b]→RF:[a,b]\to\mathbb R 称为绝对连续函数，如果对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在 δ>0\delta>0，使得对任意有限个两两不交的开区间

(ak,bk)⊆[a,b],(a_k,b_k)\subseteq[a,b],

只要

∑k=1m(bk−ak)<δ,\sum_{k=1}^{m}(b_k-a_k)<\delta,

就有

∑k=1m∣F(bk)−F(ak)∣<ε.\sum_{k=1}^{m} |F(b_k)-F(a_k)| <\varepsilon.

记作

F∈AC([a,b]).F\in AC([a,b]).

绝对连续性要求：定义域中一组总长度很小的区间，只能引起函数值总变化很小。

7.2 与一致连续的区别

一致连续只控制一个点对：

∣x−y∣<δ⟹∣F(x)−F(y)∣<ε.|x-y|<\delta \Longrightarrow |F(x)-F(y)|<\varepsilon.

绝对连续同时控制任意有限多个不交区间的累计变化，因此明显更强。

8. 函数类之间的关系

在有限闭区间上，

Lipschitz⟹绝对连续⟹有界变差⟹可表示为两个单调函数之差.\text{Lipschitz} \Longrightarrow \text{绝对连续} \Longrightarrow \text{有界变差} \Longrightarrow \text{可表示为两个单调函数之差}.

同时，

绝对连续⟹一致连续⟹连续.\text{绝对连续} \Longrightarrow \text{一致连续} \Longrightarrow \text{连续}.

这些逆命题一般都不成立。

8.1 绝对连续但非 Lipschitz

函数

F(x)=x,x∈[0,1],F(x)=\sqrt{x}, \qquad x\in[0,1],

绝对连续，因为

F′(x)=12x∈L1([0,1]),F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\in L^1([0,1]),

但它在 00 附近不是 Lipschitz 函数。

8.2 有界变差但非绝对连续

Cantor 函数连续、单调，因而属于 BV([0,1])BV([0,1])，但它不是绝对连续函数。

8.3 有界变差但不连续

阶跃函数

H(x)=1[0,∞)(x)H(x)=\mathbf 1_{[0,\infty)}(x)

在任意有限区间上有界变差，但在 00 处不连续。

9. Lebesgue 不定积分的绝对连续性

设 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])，定义

F(x)=∫axf(t) dt.F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.

定理
FF 在 [a,b][a,b] 上绝对连续。

这是 Lebesgue 积分绝对连续性的函数形式：当若干区间的总长度很小时，∣f∣|f| 在这些区间并集上的积分也很小。

此外，

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)

几乎处处成立。

因此，每个 L1L^1 函数都是某个绝对连续函数的几乎处处导数。

10. 微积分基本定理

10.1 由积分得到导数

定理
若 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])，并定义

F(x)=F(a)+∫axf(t) dt,F(x)=F(a)+\int_a^x f(t)\,dt,

则 F∈AC([a,b])F\in AC([a,b])，且

F′=fF'=f

几乎处处成立。

10.2 由导数恢复函数

定理（Lebesgue 形式的微积分基本定理）
若 F∈AC([a,b])F\in AC([a,b])，则：

  1. FF 几乎处处可导；

  2. F′∈L1([a,b])F'\in L^1([a,b])；

  3. 对每个 x∈[a,b]x\in[a,b]，

    F(x)=F(a)+∫axF′(t) dt.F(x)=F(a)+\int_a^xF'(t)\,dt.

因此，

F∈AC([a,b])F\in AC([a,b])

当且仅当存在 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])，使

F(x)=F(a)+∫axf(t) dt.F(x)=F(a)+\int_a^x f(t)\,dt.

这就是 Newton–Leibniz 公式成立的准确函数类。

11. 绝对连续函数的总变差

定理
若 F∈AC([a,b])F\in AC([a,b])，则

Vab(F)=∫ab∣F′(x)∣ dx.V_a^b(F) =\int_a^b|F'(x)|\,dx.

更局部地，总变差函数满足

TF(x)=∫ax∣F′(t)∣ dt.T_F(x) =\int_a^x|F'(t)|\,dt.

这时全部变差都能被导数积分捕获，不存在 Cantor 函数那样的奇异变化。

11.1 单调绝对连续函数

若 FF 单调增加且绝对连续，则

F′(x)≥0F'(x)\ge0

几乎处处，并且

F(x)−F(a)=∫axF′(t) dt.F(x)-F(a) =\int_a^xF'(t)\,dt.

特别地，

F(b)−F(a)=∫abF′(t) dt.F(b)-F(a) =\int_a^bF'(t)\,dt.

12. 零测集的像

12.1 Lusin 的性质 (N)(N)

定义（性质 (N)(N)）
若对每个零测集 N⊆[a,b]N\subseteq[a,b]，都有

∣F(N)∣=0,|F(N)|=0,

则称 FF 具有 Lusin 性质 (N)(N)。

12.2 绝对连续函数保持零测集

定理
绝对连续函数具有性质 (N)(N)。

Cantor 函数不具有性质 (N)(N)：Cantor 集 CC 的测度为 00，但

C(C)=[0,1],C(C)=[0,1],

其像具有测度 11。

这从另一个角度解释了 Cantor 函数为什么不是绝对连续函数。

12.3 Banach–Zarecki 定理

定理（Banach–Zarecki）
函数 F:[a,b]→RF:[a,b]\to\mathbb R 绝对连续，当且仅当：

  1. FF 连续；
  2. FF 有界变差；
  3. FF 具有 Lusin 性质 (N)(N)。

这个定理把绝对连续性分解为拓扑条件、变差条件和测度条件。

13. 奇异函数

13.1 定义

定义（奇异函数）
若函数 S:[a,b]→RS:[a,b]\to\mathbb R 连续、单调增加，并且

S′(x)=0S'(x)=0

几乎处处成立，则称 SS 为奇异函数。

非恒定奇异函数不可能绝对连续。

13.2 Cantor 函数

Cantor 函数是最典型的奇异函数。它的增长全部集中在 Cantor 零测集上。

这说明单调函数的变化可以分成两部分：

  • 能由导数积分描述的绝对连续变化；
  • 集中在零测集上的奇异变化。

若还允许跳跃间断，则还会出现跳跃变化。

13.3 单调函数的三部分分解

定理（Lebesgue 分解的实函数形式）
适当选取归一化后，单调增加函数可以分解为

F=Fac+Fs+Fj,F=F_{\mathrm{ac}}+F_{\mathrm{s}}+F_{\mathrm{j}},

其中：

  • FacF_{\mathrm{ac}} 绝对连续；
  • FsF_{\mathrm{s}} 是连续奇异函数；
  • FjF_{\mathrm{j}} 是由至多可数个跳跃组成的跳跃函数。

三部分分别对应绝对连续变化、奇异连续变化和原子型跳跃变化。

14. 绝对连续函数的运算

若 F,G∈AC([a,b])F,G\in AC([a,b])，c∈Rc\in\mathbb R，则

F±G,cF,FGF\pm G,\qquad cF,\qquad FG

都属于 AC([a,b])AC([a,b])。

并且几乎处处有

(F+G)′=F′+G′,(F+G)'=F'+G', (FG)′=F′G+FG′.(FG)'=F'G+FG'.

如果 GG 在 [a,b][a,b] 上不为零，则

FG∈AC([a,b]).\frac FG\in AC([a,b]).

定理（链式法则的一种常用形式）
若 F∈AC([a,b])F\in AC([a,b])，ϕ\phi 在包含 F([a,b])F([a,b]) 的区间上 Lipschitz，则

ϕ∘F∈AC([a,b]),\phi\circ F\in AC([a,b]),

并且在相应导数存在的几乎每一点有

(ϕ∘F)′=ϕ′(F)F′.(\phi\circ F)'=\phi'(F)F'.

15. 概念速查

概念核心要求
总变差所有分割变差和的上确界
有界变差 BVBV总变差有限
Jordan 分解BVBV 函数等于两个单调增加函数之差
绝对连续 ACAC小总长度区间族只产生小总函数变化
性质 (N)(N)零测集的像仍是零测集
奇异函数连续单调、导数几乎处处为零
Newton–Leibniz 公式对绝对连续函数准确成立

16. 常见误区

16.1 函数有界不等于有界变差

xsin⁡(1/x)x\sin(1/x) 在 [0,1][0,1] 上连续有界，但总变差无穷。

16.2 连续且有界变差不等于绝对连续

Cantor 函数连续、单调且有界变差，但不绝对连续。

16.3 几乎处处导数为零不等于常函数

对绝对连续函数可以推出；对一般连续函数或 BVBV 函数不能推出。

16.4 F′∈L1F'\in L^1 不足以恢复 FF

还必须排除奇异变化和跳跃变化。绝对连续性正是所需条件。

16.5 绝对连续不等于 Lipschitz

x\sqrt{x} 在 [0,1][0,1] 上绝对连续，但不是 Lipschitz 函数。

16.6 BVBV 函数的导数积分可能小于总变差

总变差还可能含有跳跃和奇异连续部分。只有绝对连续函数满足

Vab(F)=∫ab∣F′∣.V_a^b(F)=\int_a^b|F'|.

17. 本篇要点

  1. 总变差衡量函数全部局部变化的累积量，而不是首尾净变化。
  2. BVBV 函数恰好是两个单调增加函数之差。
  3. BVBV 函数具有左右极限、至多可数个间断点，并且几乎处处可导。
  4. 对一般 BVBV 函数，导数绝对值的积分可能严格小于总变差。
  5. Lipschitz 函数必绝对连续，绝对连续函数必有界变差。
  6. Lebesgue 不定积分是绝对连续函数，并且其导数几乎处处等于被积函数。
  7. 绝对连续函数可以由其导数积分完全恢复。
  8. 对绝对连续函数，总变差恰好等于导数绝对值的积分。
  9. 绝对连续函数把零测集映为零测集。
  10. 单调函数的变化可以分为绝对连续、奇异连续和跳跃三部分。

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参考教材

  1. 江泽坚、吴智泉、纪友清，《实变函数论》，第 4 版，高等教育出版社。
  2. 胡适耕，《实变函数》，第 2 版，高等教育出版社。
  3. H. L. Royden and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th ed.
  4. G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed.
  5. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed.