经典微积分从连续函数出发讨论导数；实变函数论则进一步追问：可积函数能否由局部平均恢复，单调函数或 Lipschitz 函数是否必须可微，以及变上限 Lebesgue 积分能否求导。

这些问题的共同工具是覆盖定理和极大函数。本文主要在 Rn\mathbb R^n 中陈述结果；涉及普通导数和单调函数时，定义域取实轴上的区间。

1. 局部可积函数

1.1 定义

定义（局部可积）
可测函数 f:Rn→R‾f:\mathbb R^n\to\overline{\mathbb R} 称为局部可积函数，如果对每个紧集 K⊆RnK\subseteq\mathbb R^n 都有

∫K∣f(x)∣ dx<∞.\int_K|f(x)|\,dx<\infty.

记作

f∈Lloc1(Rn).f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n).

等价地，只需对每个有界长方体或每个球验证积分有限。

1.2 局部平均

设 B(x,r)B(x,r) 是以 xx 为中心、半径为 rr 的开球。函数 ff 在该球上的平均值记作

-∫B(x,r)f(y) dy=1∣B(x,r)∣∫B(x,r)f(y) dy.\fint_{B(x,r)}f(y)\,dy =\frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)}f(y)\,dy.

符号 -∫\fint 表示积分平均。

若 ff 在 xx 连续，则

lim⁡r→0-∫B(x,r)f(y) dy=f(x).\lim_{r\to0} \fint_{B(x,r)}f(y)\,dy=f(x).

Lebesgue 微分定理把这个结论推广到局部可积函数的几乎每一点。

2. 覆盖定理

2.1 Vitali 覆盖

定义（Vitali 覆盖）
设 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n。球族 V\mathcal V 称为 EE 的 Vitali 覆盖，如果对每个 x∈Ex\in E 和每个 δ>0\delta>0，都存在以 xx 为中心、半径小于 δ\delta 的球属于 V\mathcal V。

这表示在 EE 的每一点附近，都能从球族中找到任意小的球。

2.2 Vitali 覆盖定理

定理（Vitali 覆盖定理）
设 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n 可测且 ∣E∣<∞|E|<\infty，V\mathcal V 是 EE 的 Vitali 覆盖。则可以从 V\mathcal V 中选出至多可数个两两不交的球 {Bk}\{B_k\}，使

∣E∖⋃k=1∞Bk∣=0.\left|E\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right|=0.

因此，虽然原球族可能高度重叠，仍能选出一个几乎覆盖 EE 的不交子族。

2.3 有限覆盖引理

定理（5r5r 覆盖引理）
设 B\mathcal B 是一族半径有统一上界的球。可以选出至多可数个两两不交的球 {Bk}⊆B\{B_k\}\subseteq\mathcal B，使

⋃B∈BB⊆⋃k5Bk,\bigcup_{B\in\mathcal B}B \subseteq \bigcup_k 5B_k,

其中 5Bk5B_k 表示与 BkB_k 同心、半径为原来 55 倍的球。

不同版本中的膨胀常数可能不同，但只依赖于空间维数和所采用的几何形状。

3. Hardy–Littlewood 极大函数

3.1 定义

定义（中心极大函数）
设 f∈Lloc1(Rn)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)。定义

Mf(x)=sup⁡r>0-∫B(x,r)∣f(y)∣ dy.Mf(x) =\sup_{r>0} \fint_{B(x,r)}|f(y)|\,dy.

Mf(x)Mf(x) 记录所有尺度上包含点 xx 的局部平均绝对值中的最大者。

由于取了绝对值，

∣-∫B(x,r)f(y) dy∣≤Mf(x).\left| \fint_{B(x,r)}f(y)\,dy \right| \le Mf(x).

3.2 弱型 (1,1)(1,1) 不等式

定理（Hardy–Littlewood 极大不等式）
若 f∈L1(Rn)f\in L^1(\mathbb R^n)，则对任意 α>0\alpha>0，

∣{x∈Rn:Mf(x)>α}∣≤Cnα∥f∥1,\left|\{x\in\mathbb R^n:Mf(x)>\alpha\}\right| \le \frac{C_n}{\alpha}\|f\|_1,

其中常数 CnC_n 只依赖于维数 nn。

这称为极大算子的弱型 (1,1)(1,1) 估计。它不表示 Mf∈L1Mf\in L^1，而是控制 MfMf 的超水平集大小。

3.3 强型 (p,p)(p,p) 不等式

定理
若 1<p≤+∞1<p\le+\infty，则存在只依赖于 n,pn,p 的常数 Cn,pC_{n,p}，使

∥Mf∥p≤Cn,p∥f∥p.\|Mf\|_p \le C_{n,p}\|f\|_p.

因此极大算子在 LpL^p 上有界，但在 L1L^1 上通常只有弱型估计。

4. Lebesgue 微分定理

4.1 Lebesgue 点

定义（Lebesgue 点）
设 f∈Lloc1(Rn)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)。若

lim⁡r→0-∫B(x,r)∣f(y)−f(x)∣ dy=0,\lim_{r\to0} \fint_{B(x,r)} |f(y)-f(x)|\,dy=0,

则称 xx 是 ff 的 Lebesgue 点。

在 Lebesgue 点处，函数在足够小邻域内的大部分取值都接近 f(x)f(x)。

4.2 微分定理

定理（Lebesgue 微分定理）
若

f∈Lloc1(Rn),f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n),

则几乎每个 x∈Rnx\in\mathbb R^n 都是 ff 的 Lebesgue 点。

因此对几乎每个 xx，

lim⁡r→0-∫B(x,r)f(y) dy=f(x).\lim_{r\to0} \fint_{B(x,r)}f(y)\,dy=f(x).

这里的结论与函数在零测集上的取值无关。严格地说，局部平均恢复的是 ff 的某个几乎处处代表元。

4.3 一维形式

若 f∈Lloc1(R)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)，则对几乎每个 xx，

lim⁡h→0+12h∫x−hx+h∣f(t)−f(x)∣ dt=0.\lim_{h\to0^+} \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} |f(t)-f(x)|\,dt=0.

也可以使用单侧区间：

lim⁡h→0+1h∫xx+hf(t) dt=f(x)\lim_{h\to0^+} \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=f(x)

对几乎每个 xx 成立。

5. Lebesgue 密度定理

5.1 集合在点附近的密度

设 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n 可测。定义 EE 在点 xx 的密度为

DE(x)=lim⁡r→0∣E∩B(x,r)∣∣B(x,r)∣,D_E(x) =\lim_{r\to0} \frac{|E\cap B(x,r)|}{|B(x,r)|},

只要该极限存在。

这个比值表示：在越来越小的球中，属于 EE 的部分所占比例。

5.2 密度点

若

DE(x)=1,D_E(x)=1,

则称 xx 是 EE 的密度点；若 DE(x)=0D_E(x)=0，则称 xx 是 EE 的稀疏点。

5.3 密度定理

定理（Lebesgue 密度定理）
若 E⊆RnE\subseteq\mathbb R^n 可测，则

DE(x)=1D_E(x)=1

对几乎每个 x∈Ex\in E 成立；同时

DE(x)=0D_E(x)=0

对几乎每个 x∈Ecx\in E^c 成立。

等价地，

lim⁡r→0-∫B(x,r)1E(y) dy=1E(x)\lim_{r\to0} \fint_{B(x,r)}\mathbf 1_E(y)\,dy =\mathbf 1_E(x)

几乎处处成立。

密度定理正是 Lebesgue 微分定理应用于示性函数 1E\mathbf 1_E 的结果。

5.4 拓扑内部与密度点的区别

如果 xx 是 EE 的内点，则它一定是密度点；反向不成立。一个点附近可以始终存在补集中的点，但这些点所占比例仍趋于零。

例如，Smith–Volterra–Cantor 集内部为空，却有正测度，因此其中几乎每个点都是密度点。

6. 变上限积分的求导

6.1 不定积分

设 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])，定义

F(x)=∫axf(t) dt,x∈[a,b].F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, \qquad x\in[a,b].

FF 称为 ff 的 Lebesgue 不定积分。

6.2 几乎处处求导

定理（微积分基本定理的第一部分）
若 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])，则

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)

对几乎每个 x∈[a,b]x\in[a,b] 成立。

其核心计算是

F(x+h)−F(x)h=1h∫xx+hf(t) dt,\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt,

右侧是 ff 在小区间上的平均值，Lebesgue 微分定理保证它几乎处处趋于 f(x)f(x)。

6.3 连续情形

若 ff 在点 xx 连续，则无需忽略零测集，直接有

F′(x)=f(x).F'(x)=f(x).

Lebesgue 理论把经典结论从连续函数推广到所有 L1L^1 函数，但结论相应改为几乎处处成立。

7. Dini 导数

设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R，x∈(a,b)x\in(a,b)。

7.1 四个 Dini 导数

定义右上、右下 Dini 导数：

D+f(x)=lim sup⁡h→0+f(x+h)−f(x)h,D^+f(x) =\limsup_{h\to0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, D+f(x)=lim inf⁡h→0+f(x+h)−f(x)h.D_+f(x) =\liminf_{h\to0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

定义左上、左下 Dini 导数：

D−f(x)=lim sup⁡h→0−f(x+h)−f(x)h,D^-f(x) =\limsup_{h\to0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, D−f(x)=lim inf⁡h→0−f(x+h)−f(x)h.D_-f(x) =\liminf_{h\to0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

它们允许取扩充实数值。

7.2 与普通导数的关系

函数 ff 在 xx 可导，当且仅当四个 Dini 导数都有限且相等。此时共同的值就是

f′(x).f'(x).

Dini 导数适合描述普通导数不存在时差商的上下振荡，也是证明单调函数几乎处处可微的重要工具。

8. 单调函数的微分

8.1 可微性定理

定理（Lebesgue）
定义在 [a,b][a,b] 上的单调函数几乎处处存在有限导数。

若 ff 单调增加，则

f′(x)≥0f'(x)\ge0

几乎处处成立。

8.2 导数的可积性

定理
若 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 单调增加，则 f′f' 可测且可积，并有

∫abf′(x) dx≤f(b)−f(a).\int_a^b f'(x)\,dx \le f(b)-f(a).

不等号可能严格成立。

8.3 Cantor 函数

标准 Cantor 函数 C:[0,1]→[0,1]C:[0,1]\to[0,1] 连续、单调增加，并且

C′(x)=0C'(x)=0

几乎处处成立，但

C(1)−C(0)=1.C(1)-C(0)=1.

因此

∫01C′(x) dx=0<C(1)−C(0).\int_0^1 C'(x)\,dx=0 < C(1)-C(0).

这说明连续、单调且几乎处处可导，仍不足以保证函数增量可以由导数积分恢复。缺少的条件是绝对连续性。

9. Lipschitz 函数与 Rademacher 定理

9.1 Lipschitz 条件

定义（Lipschitz 函数）
若存在常数 L≥0L\ge0，使

∣f(x)−f(y)∣≤L∥x−y∥|f(x)-f(y)| \le L\|x-y\|

对定义域中任意 x,yx,y 成立，则称 ff 为 Lipschitz 函数。

9.2 一维情形

若 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 是 LL-Lipschitz 函数，则 ff 几乎处处可导，并且

∣f′(x)∣≤L|f'(x)|\le L

几乎处处成立。

9.3 多维情形

定理（Rademacher）
若

f:Rn→Rmf:\mathbb R^n\to\mathbb R^m

局部 Lipschitz，则 ff 几乎处处可微。

这里的可微指存在一个线性映射 Df(x)Df(x)，使

lim⁡h→0∥f(x+h)−f(x)−Df(x)h∥∥h∥=0.\lim_{h\to0} \frac{\|f(x+h)-f(x)-Df(x)h\|}{\|h\|}=0.

Rademacher 定理是“较弱正则性仍蕴含几乎处处微分结构”的典型结果。

10. 导数与积分之间的三个层次

设 F:[a,b]→RF:[a,b]\to\mathbb R。

10.1 从积分到导数

若

F(x)=F(a)+∫axf(t) dt,f∈L1([a,b]),F(x)=F(a)+\int_a^x f(t)\,dt, \qquad f\in L^1([a,b]),

则

F′=fF'=f

几乎处处成立。

10.2 从导数到函数增量

即使 F′F' 几乎处处存在且可积，也不一定有

F(x)−F(a)=∫axF′(t) dt.F(x)-F(a)=\int_a^xF'(t)\,dt.

Cantor 函数就是反例。

10.3 准确条件

要使

F(x)=F(a)+∫axF′(t) dtF(x)=F(a)+\int_a^xF'(t)\,dt

对所有 x∈[a,b]x\in[a,b] 成立，需要 FF 具有绝对连续性。下一篇将系统整理这一条件。

11. 概念速查

概念核心内容
局部可积在每个紧集上绝对可积
Vitali 覆盖每点附近包含任意小的覆盖球
极大函数 MfMf所有尺度局部平均绝对值的上确界
Lebesgue 点局部平均振荡趋于零的点
密度点集合在小球中所占比例趋于 11
Dini 导数单侧差商的上极限或下极限
单调函数几乎处处存在有限导数
Lipschitz 函数距离按统一常数控制，几乎处处可微

12. 常见误区

12.1 几乎处处可导不等于处处可导

单调函数和 Lipschitz 函数都只保证几乎处处可导，例外点集仍可能非空甚至不可数。

12.2 导数几乎处处为零不等于函数为常数

Cantor 函数连续、单调且导数几乎处处为零，但不是常函数。

12.3 局部平均收敛不要求处处连续

Lebesgue 微分定理适用于 Lloc1L^1_{\mathrm{loc}} 函数，但只保证几乎处处成立。

12.4 密度点不等于内点

密度点只要求补集所占比例趋于零，不要求存在完整邻域包含于集合。

12.5 极大函数的弱型估计不等于 L1L^1 有界性

一般不能由 f∈L1f\in L^1 推出 Mf∈L1Mf\in L^1。弱型 (1,1)(1,1) 只控制超水平集。

12.6 可积导数不能自动恢复原函数

要由 F′F' 的积分恢复 FF，还需要绝对连续性等额外条件。

13. 本篇要点

  1. Vitali 覆盖定理把高度重叠的局部球族化为几乎覆盖集合的不交子族。
  2. Hardy–Littlewood 极大函数控制所有尺度上的局部平均。
  3. 极大算子满足弱型 (1,1)(1,1) 估计，并在 1<p≤∞1<p\le\infty 时满足强型估计。
  4. 局部可积函数几乎每一点都是 Lebesgue 点。
  5. Lebesgue 密度定理是微分定理应用于示性函数的结果。
  6. 变上限 Lebesgue 积分的导数几乎处处等于原函数。
  7. Dini 导数描述普通导数不存在时差商的上下行为。
  8. 单调函数几乎处处可导，但导数积分可能严格小于函数总增量。
  9. Lipschitz 函数几乎处处可微；多维版本是 Rademacher 定理。
  10. 由导数积分完全恢复函数的准确条件是绝对连续性。

下一篇将整理 有界变差函数、Jordan 分解、绝对连续函数以及 Lebesgue 形式的微积分基本定理。

参考教材

  1. 江泽坚、吴智泉、纪友清，《实变函数论》，第 4 版，高等教育出版社。
  2. 胡适耕，《实变函数》，第 2 版，高等教育出版社。
  3. H. L. Royden and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th ed.
  4. G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed.
  5. E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces.