复变函数 02：复导数与解析函数

复函数的极限与连续性可以逐分量地归结为二元实函数，但复可导性要严格得多：差商必须在复平面中的所有方向上趋于同一个值。这一要求把函数的实部和虚部紧密联系起来，并最终导出解析函数特有的刚性。

本文承接“复变函数 01”，系统整理复导数、Cauchy–Riemann 方程、解析函数、保角性与调和函数，并介绍后续复积分中反复使用的初等解析函数。仍以定义和定理为主，不展开证明。

除非特别说明，本文设

$$z=x+iy,\qquad f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$

其中 $u,v$ 为实值函数。

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1. 复导数

1.1 复可导的定义

定义（复导数）
设 $f$ 定义在点 $z_0$ 的某个邻域内。若极限

$$\lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

存在，则称 $f$ 在 $z_0$ 处复可导，并把这个极限称为 $f$ 在 $z_0$ 处的导数，记作

$$f'(z_0) =\lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}.$$

这里 $\Delta z$ 可以沿复平面中的任意路径趋于 $0$。只有所有方向和路径得到同一个有限极限，复导数才存在。

等价地，$f$ 在 $z_0$ 处可导，当且仅当存在复数 $A$，使

$$f(z_0+\Delta z) =f(z_0)+A\Delta z+o(|\Delta z|), \qquad \Delta z\to0.$$

此时 $A=f'(z_0)$。

实函数的导数只比较左右两个方向；复导数则要同时兼容平面中的无穷多个方向。这是复可导远强于实可导的根本原因。

1.2 可导与连续

定理
若 $f$ 在 $z_0$ 处复可导，则 $f$ 在 $z_0$ 处连续。

反之不成立。例如

$$f(z)=\overline z$$

在整个 $\mathbb C$ 上连续，却在任何点都不复可导。

1.3 基本求导法则

若 $f,g$ 在 $z_0$ 处可导，$c\in\mathbb C$，则

$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf',$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$

若 $g(z_0)\ne0$，则

$$\left(\frac fg\right)' =\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

若复合函数有意义，则链式法则为

$$(g\circ f)'(z_0) =g'(f(z_0))f'(z_0).$$

特别地，

$$(z^n)'=nz^{n-1}, \qquad n\in\mathbb N_+.$$

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2. Cauchy–Riemann 方程

2.1 Cartesian 坐标形式

设

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$$

定理（必要条件）
若 $f$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 处复可导，则 $u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 处满足 Cauchy–Riemann 方程

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$

并且导数可以写成

$$f'(z_0) =u_x+iv_x =v_y-iu_y.$$

这是分别让增量沿实轴方向和虚轴方向趋于 $0$ 所得到的一致性条件。

2.2 充分条件

仅在一点满足 Cauchy–Riemann 方程，通常不足以保证复可导。

定理（常用充分条件）
若 $u,v$ 在 $z_0$ 的某个邻域内具有一阶偏导数，这些偏导数在 $z_0$ 处连续，并且在 $z_0$ 满足

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x,$$

则 $f=u+iv$ 在 $z_0$ 处复可导。

更本质地说，只要 $u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 处作为二元实函数可微，并在该点满足 Cauchy–Riemann 方程，就足以推出 $f$ 在 $z_0$ 处复可导。

2.3 反例：只验证方程还不够

定义

$$f(z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^3+iy^3}{x^2+y^2}, &z=x+iy\ne0,\\[6pt] 0,&z=0. \end{cases}$$

在原点，

$$u_x=1,\quad u_y=0,\quad v_x=0,\quad v_y=1,$$

所以 Cauchy–Riemann 方程成立。

但是沿实轴 $z=t$ 有

$$\frac{f(z)-f(0)}z=1,$$

而沿直线 $z=t(1+i)$ 有

$$\frac{f(z)-f(0)}z=\frac12.$$

两个方向的差商极限不同，因此 $f'(0)$ 不存在。这个例子说明，还必须控制函数在该点附近的整体线性逼近。

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3. 三个基本例子

3.1 多项式 $f(z)=z^2$

将

$$f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$$

写成

$$u=x^2-y^2,\qquad v=2xy.$$

则

$$u_x=2x=v_y,\qquad u_y=-2y=-v_x.$$

Cauchy–Riemann 方程在整个复平面成立，并且

$$f'(z)=2x+2iy=2z.$$

3.2 共轭函数 $f(z)=\overline z$

此时

$$u=x,\qquad v=-y,$$

所以

$$u_x=1,\qquad v_y=-1.$$

Cauchy–Riemann 方程处处不成立，因此 $\overline z$ 处处不可导。

从差商也可以直接看出：

$$\frac{\overline{z_0+\Delta z}-\overline{z_0}}{\Delta z} =\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}.$$

当 $\Delta z$ 沿实轴趋于 $0$ 时结果为 $1$，沿虚轴趋于 $0$ 时结果为 $-1$。

3.3 模平方 $f(z)=|z|^2$

因为

$$f(z)=x^2+y^2,$$

Cauchy–Riemann 方程只在原点成立。函数在原点的差商为

$$\frac{|z|^2}{z}=\overline z\to0,$$

所以

$$f'(0)=0.$$

在其他点它均不可导。这个例子说明：一个函数可以只在孤立点复可导，却不在任何区域内解析。

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4. 解析函数

4.1 解析与全纯

定义（点处解析）
若 $f$ 在 $z_0$ 的某个邻域内处处可导，则称 $f$ 在 $z_0$ 处解析。

定义（区域上解析）
若 $f$ 在区域 $D$ 的每一点都可导，则称 $f$ 在 $D$ 上解析，也称 $f$ 在 $D$ 上全纯，记作

$$f\in\mathcal H(D).$$

若 $f$ 在整个复平面 $\mathbb C$ 上解析，则称 $f$ 为整函数。

多项式、指数函数、正弦和余弦函数都是整函数；有理函数在分母不为零的区域内解析。

“在一点可导”只是一点上的性质；“在一点解析”要求它在该点的整个邻域内都可导。二者不能混用。

4.2 解析函数的刚性

定理
解析函数具有任意阶复导数。

定理（幂级数展开）
若 $f$ 在 $z_0$ 的某个邻域内解析，则 $f$ 可以在 $z_0$ 附近展开为收敛幂级数

$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n.$$

因此在复变函数论中，“解析”与“局部可展开为幂级数”等价。这个结论远强于实函数中“可导”或“无穷次可导”的情形，它将在 Cauchy 积分公式之后得到。

定理
若 $D$ 是区域，$f\in\mathcal H(D)$ 且

$$f'(z)=0,\qquad z\in D,$$

则 $f$ 在 $D$ 上是常值函数。

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5. Wirtinger 导数

5.1 定义

对关于 $x,y$ 可微的函数，引入形式微分算子

$$\frac{\partial}{\partial z} =\frac12\left( \frac{\partial}{\partial x} -i\frac{\partial}{\partial y} \right),$$ $$\frac{\partial}{\partial\overline z} =\frac12\left( \frac{\partial}{\partial x} +i\frac{\partial}{\partial y} \right).$$

相应地，

$$f_z =\frac12(f_x-if_y), \qquad f_{\overline z} =\frac12(f_x+if_y).$$

它们称为 Wirtinger 导数。

5.2 与 Cauchy–Riemann 方程的关系

若 $f=u+iv$，则

$$f_{\overline z} =\frac12 \bigl[(u_x-v_y)+i(v_x+u_y)\bigr].$$

因此，在实可微的前提下，

$$f\text{ 复可导} \quad\Longleftrightarrow\quad f_{\overline z}=0,$$

并且此时

$$f'(z)=f_z.$$

例如，

$$\frac{\partial z}{\partial\overline z}=0, \qquad \frac{\partial\overline z}{\partial\overline z}=1.$$

Wirtinger 记号把两个 Cauchy–Riemann 方程压缩成一个方程，在复偏微分方程和拟共形映射中尤其常用。

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6. 极坐标形式的 Cauchy–Riemann 方程

令

$$z=re^{i\theta},\qquad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,$$

并把 $u,v$ 看作 $r,\theta$ 的函数。

当 $r>0$ 时，Cauchy–Riemann 方程等价于

$$u_r=\frac1r v_\theta, \qquad v_r=-\frac1r u_\theta.$$

导数可以写成

$$f'(z) =e^{-i\theta}(u_r+iv_r),$$

也可以写成

$$f'(z) =-\frac{i}{r}e^{-i\theta} (u_\theta+iv_\theta).$$

极坐标形式适合处理含 $|z|$、$\arg z$、径向函数或圆对称区域的问题。由于极坐标在 $r=0$ 处退化，这组公式不能直接用于原点。

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7. Jacobian 与局部几何

7.1 实 Jacobian

把复函数视为平面映射

$$(x,y)\longmapsto(u(x,y),v(x,y)).$$

它的 Jacobian 矩阵为

$$Df= \begin{pmatrix} u_x&u_y\\ v_x&v_y \end{pmatrix}.$$

若 $f$ 复可导，则由 Cauchy–Riemann 方程，

$$Df= \begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}, \qquad a+ib=f'(z).$$

这正是“先按 $|f'(z)|$ 伸缩，再按 $\arg f'(z)$ 旋转”的线性变换。

7.2 Jacobian 行列式

若 $f$ 复可导，则

$$J_f =\det Df =u_xv_y-u_yv_x =u_x^2+u_y^2 =|f'(z)|^2.$$

因此

$$f'(z_0)\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad J_f(z_0)>0.$$

这说明非退化的解析映射局部保持定向。

7.3 局部可逆

定理（复逆函数定理）
若 $f$ 在 $z_0$ 附近解析，且

$$f'(z_0)\ne0,$$

则 $f$ 在 $z_0$ 的某个邻域内一一对应，并存在局部解析反函数。若 $w_0=f(z_0)$，则

$$(f^{-1})'(w_0) =\frac1{f'(z_0)}.$$

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8. 保角映射

8.1 保角性

定义（保角）
若映射在一点保持两条光滑曲线交角的大小和方向，则称它在该点保角。

定理
若 $f$ 在 $z_0$ 处解析且

$$f'(z_0)\ne0,$$

则 $f$ 在 $z_0$ 处保角。

局部地，

$$f(z_0+\Delta z)-f(z_0) =f'(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|).$$

因此 $f'(z_0)$ 的作用可以分解为：

• 按 $|f'(z_0)|$ 进行局部伸缩；
• 按 $\arg f'(z_0)$ 进行局部旋转。

8.2 导数为零的点

若 $f'(z_0)=0$，上面的非退化线性近似失效，不能直接断言保角。

例如，

$$f(z)=z^n,\qquad n\ge2,$$

在原点的导数为零。它把经过原点的角在局部放大为原来的 $n$ 倍，因此在原点不保角。

解析并不自动意味着处处保角；还必须排除导数为零的临界点。

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9. 调和函数

9.1 调和函数

定义（调和函数）
设实值函数 $u\in C^2(D)$。若

$$\Delta u =u_{xx}+u_{yy}=0$$

在区域 $D$ 内成立，则称 $u$ 在 $D$ 内调和。

算子

$$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$

称为二维 Laplace 算子。

9.2 解析函数与调和函数

定理
若

$$f=u+iv$$

在区域 $D$ 内解析，则 $u,v$ 都在 $D$ 内调和：

$$u_{xx}+u_{yy}=0, \qquad v_{xx}+v_{yy}=0.$$

解析函数的实部和虚部因此构成一对相互关联的调和函数。

例如，

$$e^z=e^x\cos y+i\,e^x\sin y,$$

所以

$$u=e^x\cos y,\qquad v=e^x\sin y$$

都满足 Laplace 方程。

9.3 调和共轭

定义（调和共轭）
若实值函数 $u,v$ 满足 Cauchy–Riemann 方程，使

$$f=u+iv$$

解析，则称 $v$ 是 $u$ 的调和共轭。

在连通区域中，给定 $u$ 后，其调和共轭若存在，则至多相差一个实常数。

定理
单连通区域上的每个调和函数都存在全局调和共轭。

单连通条件不能随意删除。例如

$$u(z)=\log|z|$$

在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上调和，但它的局部调和共轭是 $\arg z$；由于辐角绕原点一周会增加 $2\pi$，不存在定义在整个穿孔平面上的单值调和共轭。

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10. 复指数函数

10.1 定义与基本性质

定义

$$e^z=e^{x+iy} =e^x(\cos y+i\sin y).$$

复指数函数是整函数，并满足

$$(e^z)'=e^z,$$ $$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2},$$ $$e^z\ne0,\qquad z\in\mathbb C.$$

它的模和辐角满足

$$|e^z|=e^x,\qquad \arg(e^z)=y+2k\pi.$$

10.2 周期性

复指数函数具有纯虚周期：

$$e^{z+2k\pi i}=e^z, \qquad k\in\mathbb Z.$$

反过来，

$$e^{z_1}=e^{z_2} \quad\Longleftrightarrow\quad z_1-z_2=2k\pi i$$

对某个 $k\in\mathbb Z$ 成立。

因此 $e^z$ 在整个复平面上不是一一映射，但限制在任意高度为 $2\pi$ 的适当水平带内后可以成为单射。

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11. 复对数与复幂

11.1 多值对数

定义（复对数）
若 $e^w=z\ne0$，则 $w$ 称为 $z$ 的一个对数值。全部对数值为

$$\log z =\ln|z|+i(\arg z) =\ln|z|+i(\theta+2k\pi), \qquad k\in\mathbb Z.$$

因此复对数本质上是多值的。

11.2 对数分支

要得到单值解析函数，必须在不绕过原点的区域上连续选择辐角。

定义（对数的解析分支）
若区域 $D\subseteq\mathbb C\setminus\{0\}$ 上的解析函数 $L$ 满足

$$e^{L(z)}=z,$$

则称 $L$ 是 $D$ 上的一个对数分支。

任意对数分支都满足

$$L'(z)=\frac1z.$$

定理
若 $D\subseteq\mathbb C\setminus\{0\}$ 是单连通区域，则 $D$ 上存在对数的解析分支。

在割平面

$$\mathbb C\setminus(-\infty,0]$$

上取

$$\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi),$$

得到主值对数

$$\operatorname{Log}z =\ln|z|+i\operatorname{Arg}z.$$

11.3 复幂

对 $\alpha\in\mathbb C$，形式上定义

$$z^\alpha=e^{\alpha\log z}.$$

由于 $\log z$ 多值，$z^\alpha$ 通常也是多值的。选定对数分支 $L$ 后，才得到相应的单值分支

$$z^\alpha=e^{\alpha L(z)}.$$

在该分支的定义域内，

$$\frac{d}{dz}z^\alpha =\alpha z^{\alpha-1}.$$

当 $\alpha$ 是整数时，通常的整数幂不依赖对数分支；非整数幂则必须留意分支切割。

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12. 复三角函数与双曲函数

12.1 三角函数

通过指数函数定义

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2.$$

它们都是整函数，并满足

$$(\sin z)'=\cos z, \qquad (\cos z)'=-\sin z,$$ $$\sin^2z+\cos^2z=1.$$

复正弦和复余弦仍以 $2\pi$ 为周期，但在复平面上无界。

将 $z=x+iy$ 展开，有

$$\sin z =\sin x\cosh y +i\cos x\sinh y,$$ $$\cos z =\cos x\cosh y -i\sin x\sinh y.$$

12.2 双曲函数

定义

$$\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2, \qquad \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}2.$$

它们也是整函数，并满足

$$(\sinh z)'=\cosh z, \qquad (\cosh z)'=\sinh z,$$ $$\cosh^2z-\sinh^2z=1.$$

三角函数与双曲函数通过纯虚变量相互联系：

$$\sin(iz)=i\sinh z, \qquad \cos(iz)=\cosh z.$$

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13. 概念速查

概念	判定或含义
在一点复可导	复差商沿所有方向趋于同一值
在一点解析	在该点的某个邻域内处处复可导
区域上解析	在区域每一点复可导，也称全纯
整函数	在整个 $\mathbb C$ 上解析
Cauchy–Riemann 方程	$u_x=v_y,\ u_y=-v_x$
Wirtinger 判据	实可微时，$f_{\overline z}=0$
临界点	$f'(z_0)=0$ 的点
保角点	解析且 $f'(z_0)\ne0$ 时保持有向角
调和函数	满足 $u_{xx}+u_{yy}=0$
调和共轭	与 $u$ 组成解析函数 $u+iv$ 的函数 $v$
对数分支	在指定区域内对多值对数作连续解析选择

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14. 常见误区

14.1 一点可导不等于一点解析

$f(z)=|z|^2$ 只在 $0$ 处可导，但它在 $0$ 处并不解析，因为原点的任何邻域都包含不可导点。

14.2 Cauchy–Riemann 方程不是无条件充分条件

只验证某一点的偏导数满足方程还不够。常用充分条件还要求实部、虚部在该点实可微；偏导数在邻域存在并在该点连续，是保证实可微的一种方便条件。

14.3 解析不等于处处保角

只有在 $f'(z_0)\ne0$ 时，解析函数才在 $z_0$ 保角。导数为零的点需要单独分析。

14.4 调和函数不一定有全局调和共轭

局部调和共轭总能构造，但要把它扩展为整个区域上的单值函数，通常需要单连通性。

14.5 $\log z$ 不是全平面上的单值函数

绕原点一周会使辐角增加 $2\pi$。必须指定区域和分支，才可以把复对数当作普通解析函数并使用

$$(\log z)'=\frac1z.$$

14.6 实变量恒等式未必能直接照搬

许多由代数或幂级数得到的恒等式可以延拓到复数，例如

$$\sin^2z+\cos^2z=1.$$

但涉及大小、次序、单调性、主值或分支的实变量结论通常不能直接照搬。

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15. 本篇要点

1. 复导数要求差商沿复平面中的所有趋近方式具有同一极限。
2. 复可导必连续；连续函数未必在任何点复可导。
3. Cauchy–Riemann 方程是复可导的必要条件，配合实可微性后也是充分条件。
4. 在一点可导与在一点解析不同；解析要求在整个邻域内可导。
5. 解析函数具有任意阶导数，并能在每一点附近展开成幂级数。
6. Wirtinger 导数用 $f_{\overline z}=0$ 简洁表达 Cauchy–Riemann 方程。
7. 当 $f'(z_0)\ne0$ 时，解析函数局部表现为旋转与伸缩，因而保角并局部可逆。
8. 解析函数的实部和虚部均为调和函数；单连通区域上的调和函数存在全局调和共轭。
9. 指数函数是整函数，复对数和一般复幂则必须处理多值性与分支。
10. 复三角函数和双曲函数可统一地由指数函数定义。

下一篇将整理 复积分、光滑曲线、Cauchy 积分定理、原函数与 Cauchy 积分公式。

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参考教材

1. 钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
2. 余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
3. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
4. James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
5. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.