复变函数 01：复数、复平面与复函数

复变函数论研究定义在复数域上的函数。与实函数相比，复函数的自变量和函数值都同时包含两个实分量；但也正因为复数乘法把伸缩与旋转统一起来，复可导会产生远强于实可导的结构。

本文作为复变函数系列的预备篇，按照常见教材“复数与复平面—复函数的极限与连续—解析函数—复积分”的顺序，先整理进入复微分之前所需的基本概念。集合与一般映射的基础知识已在“数学分析 01”中介绍，这里不再重复。

本文约定

$$\mathbb C=\{x+iy:x,y\in\mathbb R\},\qquad i^2=-1,$$

并用 $\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$ 表示扩充复平面。

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1. 复数及其代数运算

1.1 复数

定义（复数）
形如

$$z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb R,$$

的数称为复数，其中 $x$ 称为 $z$ 的实部，$y$ 称为 $z$ 的虚部，分别记作

$$\operatorname{Re}z=x,\qquad \operatorname{Im}z=y.$$

需要注意，虚部是实数 $y$，不是 $iy$。

两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等：

$$x_1+iy_1=x_2+iy_2 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1=x_2,\ y_1=y_2.$$

当 $y=0$ 时，$z=x$ 是实数。因此 $\mathbb R\subset\mathbb C$。

1.2 四则运算

设

$$z_1=x_1+iy_1,\qquad z_2=x_2+iy_2.$$

则

$$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2),$$ $$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1).$$

当 $z_2\ne0$ 时，

$$\frac{z_1}{z_2} =\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}.$$

例如，

$$\frac{1+2i}{1-i} =-\frac12+\frac32i.$$

复数在通常加法和乘法下构成域，但不存在与这些运算相容的全序关系。因此，一般不能写 $z_1<z_2$；比较复数“大小”时通常比较它们的模。

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2. 共轭复数与模

2.1 共轭复数

定义（共轭复数）
若 $z=x+iy$，则 $z$ 的共轭复数定义为

$$\overline z=x-iy.$$

共轭运算满足

$$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}, \qquad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2},$$ $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \quad(z_2\ne0), \qquad \overline{\overline z}=z.$$

实部与虚部可以写成

$$\operatorname{Re}z=\frac{z+\overline z}{2}, \qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\overline z}{2i}.$$

并且

$$z\in\mathbb R \quad\Longleftrightarrow\quad z=\overline z.$$

2.2 复数的模

定义（模）
复数 $z=x+iy$ 的模定义为

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

它满足

$$|z|\ge0,\qquad |z|=0\Longleftrightarrow z=0,$$ $$z\overline z=|z|^2,\qquad |\overline z|=|z|,$$ $$|z_1z_2|=|z_1||z_2|, \qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| =\frac{|z_1|}{|z_2|} \quad(z_2\ne0).$$

因此，非零复数的倒数可以写成

$$\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}.$$

2.3 三角不等式

定理（三角不等式）

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

定理（反三角不等式）

$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \le |z_1-z_2|.$$

等号

$$|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$$

成立，当且仅当 $z_1,z_2$ 中至少一个为零，或者二者方向相同，即存在实数 $\lambda>0$ 使 $z_1=\lambda z_2$ 或 $z_2=\lambda z_1$。

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3. 复平面及其几何意义

3.1 复平面

把复数 $z=x+iy$ 与平面上的点 $(x,y)$ 对应，就得到复平面，也称 Gauss 平面。

• 横轴称为实轴；
• 纵轴称为虚轴；
• 原点对应复数 $0$；
• $|z|$ 是点 $z$ 到原点的 Euclid 距离；
• $|z_1-z_2|$ 是点 $z_1,z_2$ 之间的距离。

因此，

$$|z-z_0|=r$$

表示以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆，而

$$|z-z_0|<r$$

表示这个圆的内部。

3.2 加法、乘法的几何意义

复数加法对应平面向量的加法。若 $a\in\mathbb C$，则变换

$$w=z+a$$

表示把平面平移向量 $a$。

非零复数乘法则同时改变长度和方向。若

$$a=\rho(\cos\alpha+i\sin\alpha),\qquad \rho>0,$$

则

$$w=az$$

把每个向量的长度放大为原来的 $\rho$ 倍，并逆时针旋转角 $\alpha$。

特别地，乘以 $i$ 表示逆时针旋转 $\pi/2$。

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4. 辐角、三角形式与指数形式

4.1 辐角

设 $z\ne0$。从正实轴到向量 $z$ 的有向角称为 $z$ 的一个辐角。若 $\theta$ 是一个辐角，则全部辐角为

$$\arg z=\theta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

小写 $\arg z$ 常表示所有辐角组成的多值集合。本文把区间 $(-\pi,\pi]$ 中的唯一辐角称为主辐角，记作

$$\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi].$$

不同教材也可能采用 $[0,2\pi)$ 等主值区间，使用主辐角公式时必须先确认约定。

零没有辐角，即 $\arg 0$ 无定义。

4.2 三角形式

设 $z=x+iy\ne0$，$r=|z|$，$\theta\in\arg z$，则

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$

从而

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$$

这称为复数的三角形式或极坐标形式。

例如，

$$z=-1+\sqrt3\,i$$

满足

$$|z|=2,\qquad \operatorname{Arg}z=\frac{2\pi}{3},$$

所以

$$z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3} +i\sin\frac{2\pi}{3}\right).$$

4.3 Euler 公式

Euler 公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

因此复数可以写成指数形式

$$z=re^{i\theta}.$$

若

$$z_1=r_1e^{i\theta_1},\qquad z_2=r_2e^{i\theta_2},$$

则

$$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)},$$ $$\frac{z_1}{z_2} =\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \quad(z_2\ne0).$$

模相乘、辐角相加是复数乘法最重要的几何特征。

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5. 复数的乘方与方根

5.1 De Moivre 公式

对任意整数 $n$，

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$

等价地，若 $z=re^{i\theta}$，则

$$z^n=r^ne^{in\theta}.$$

5.2 $n$ 次方根

设 $w=\rho e^{i\varphi}\ne0$，$n\in\mathbb N_+$。方程

$$z^n=w$$

在复数域中恰有 $n$ 个不同的根：

$$z_k=\rho^{1/n} \exp\left(i\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right), \qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

这些根均匀分布在以原点为中心、$\rho^{1/n}$ 为半径的圆上，相邻两根的辐角相差 $2\pi/n$。

例如，方程

$$z^4=-16$$

的四个根为

$$z_k=2\exp\left(i\left(\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\right)\right), \qquad k=0,1,2,3,$$

也就是

$$\sqrt2(1+i),\quad \sqrt2(-1+i),\quad \sqrt2(-1-i),\quad \sqrt2(1-i).$$

符号 $\sqrt[n]{w}$ 在复数范围内通常是多值的。只有指定某个分支或主值之后，它才表示单值函数。

5.3 单位根

方程

$$z^n=1$$

的根称为 $n$ 次单位根：

$$\omega_k=e^{2k\pi i/n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

它们是单位圆上的正 $n$ 边形顶点，并满足

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0 \qquad(n\ge2).$$

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6. 扩充复平面与 Riemann 球面

6.1 扩充复平面

在复平面上添加一个无穷远点 $\infty$，得到

$$\widehat{\mathbb C} =\mathbb C\cup\{\infty\},$$

称为扩充复平面。

这里所有趋向不同方向的无穷远过程都对应同一个点 $\infty$。无穷远点的邻域可以写成

$$\{z\in\mathbb C:|z|>R\}\cup\{\infty\}, \qquad R>0.$$

在扩充复平面上通常约定

$$z+\infty=\infty,\qquad z\cdot\infty=\infty\quad(z\ne0),$$ $$\frac z0=\infty\quad(z\ne0),\qquad \frac z\infty=0.$$

但

$$\infty-\infty,\qquad 0\cdot\infty,\qquad \frac00,\qquad \frac\infty\infty$$

仍然没有定义。

6.2 Riemann 球面

将复平面与单位球面的北极作球极投影，可以在扩充复平面和球面之间建立一一对应：

• 每个有限复数对应球面上除北极外的一点；
• 无穷远点 $\infty$ 对应北极。

因此 $\widehat{\mathbb C}$ 也称为 Riemann 球面。

在普通复平面中，“趋于无穷”是离开每个有界集合；在 Riemann 球面上，它就是趋于一个普通的点 $\infty$。

扩充复平面的这种紧化，使有理函数在无穷远处的行为可以与有限点统一处理。

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7. 复平面上的点集

设 $E\subseteq\mathbb C$，$z_0\in\mathbb C$。

7.1 邻域、圆盘与圆环

定义（邻域）
点 $z_0$ 的 $\delta$-邻域为

$$U(z_0,\delta) =\{z:|z-z_0|<\delta\}.$$

它是以 $z_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的开圆盘。

去心邻域为

$$\mathring U(z_0,\delta) =\{z:0<|z-z_0|<\delta\}.$$

集合

$$\{z:r<|z-z_0|<R\}, \qquad 0\le r<R,$$

称为圆环域。

7.2 内点、聚点与边界点

定义

• 若存在 $\delta>0$ 使 $U(z_0,\delta)\subseteq E$，则 $z_0$ 是 $E$ 的内点；
• 若每个去心邻域 $\mathring U(z_0,\delta)$ 都与 $E$ 相交，则 $z_0$ 是 $E$ 的聚点；
• 若每个邻域 $U(z_0,\delta)$ 都同时与 $E$ 和 $E^c$ 相交，则 $z_0$ 是 $E$ 的边界点；
• 若 $z_0\in E$ 且不是聚点，则 $z_0$ 是 $E$ 的孤立点。

聚点不一定属于原集合，边界点也不一定属于原集合。

7.3 开集、闭集与有界集

定义

• 若 $E$ 的每个点都是内点，则 $E$ 是开集；
• 若 $E$ 包含自己的全部聚点，则 $E$ 是闭集；
• 若存在 $M>0$ 使每个 $z\in E$ 都满足 $|z|\le M$，则 $E$ 是有界集。

在 $\mathbb C$ 中，集合紧当且仅当它闭且有界。

需要注意，$\mathbb C$ 本身既是开集也是闭集，但不是有界集；在 Riemann 球面中，整个 $\widehat{\mathbb C}$ 是紧的。

7.4 区域与连通性

定义（区域）
连通的开集称为区域，也常称为域。

定义（单连通区域）
若区域 $D$ 内任意闭曲线都可以在 $D$ 内连续收缩为一点，则称 $D$ 为单连通区域。

直观地说，单连通区域没有“洞”。例如：

• 圆盘 $\{z:|z|<1\}$ 是单连通区域；
• 去心圆盘 $\{z:0<|z|<1\}$ 不是单连通区域；
• 圆环 $\{z:1<|z|<2\}$ 不是单连通区域。

在复平面中，区域 $D$ 单连通，当且仅当它在 Riemann 球面中的补集 $\widehat{\mathbb C}\setminus D$ 连通。

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8. 复数列

8.1 复数列的极限

定义（收敛）
复数列 $\{z_n\}$ 收敛于 $z_0$，是指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb N_+$，使得当 $n>N$ 时，

$$|z_n-z_0|<\varepsilon.$$

记作

$$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0.$$

设

$$z_n=x_n+iy_n,\qquad z_0=x_0+iy_0.$$

定理（分量判别）

$$z_n\to z_0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_n\to x_0\ \text{且}\ y_n\to y_0.$$

因此复数列的收敛仍可归结为两个实数列的收敛。

收敛复数列的极限唯一，并且每个收敛复数列都有界。

8.2 Cauchy 收敛准则

定义（Cauchy 列）
若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb N_+$，使得当 $m,n>N$ 时，

$$|z_n-z_m|<\varepsilon,$$

则称 $\{z_n\}$ 为 Cauchy 列。

定理（Cauchy 收敛准则）
复数列收敛，当且仅当它是 Cauchy 列。

这表明 $\mathbb C$ 是完备度量空间。

8.3 极限的运算

若 $z_n\to z$，$w_n\to w$，则

$$z_n+w_n\to z+w, \qquad z_nw_n\to zw.$$

若 $w\ne0$，则从某一项开始 $w_n\ne0$，并且

$$\frac{z_n}{w_n}\to\frac zw.$$

此外，

$$\overline{z_n}\to\overline z, \qquad |z_n|\to|z|.$$

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9. 复函数

9.1 复函数及其实部、虚部

设 $D\subseteq\mathbb C$。映射

$$f:D\to\mathbb C$$

称为定义在 $D$ 上的复函数。

令

$$z=x+iy,\qquad f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$

其中 $u,v$ 是两个二元实函数，分别称为 $f$ 的实部函数与虚部函数。

复函数可以视为从 $\mathbb R^2$ 到 $\mathbb R^2$ 的映射，但复可导绝不只是两个分量分别可导。下一篇的 Cauchy–Riemann 方程将刻画这种额外约束。

9.2 复函数的极限

设 $z_0$ 是 $D$ 的聚点。

定义（有限极限）
若存在 $A\in\mathbb C$，使对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，当

$$z\in D,\qquad 0<|z-z_0|<\delta$$

时均有

$$|f(z)-A|<\varepsilon,$$

则称 $f(z)$ 在 $z\to z_0$ 时以 $A$ 为极限，记作

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=A.$$

极限存在时与 $z$ 趋近 $z_0$ 的路径无关。因此，只要沿两条路径得到不同结果，就可以断定极限不存在；但检查有限条路径结果相同，不能证明极限存在。

定理（Heine 归结原则）

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=A$$

当且仅当对 $D\setminus\{z_0\}$ 中任意满足 $z_n\to z_0$ 的数列，都有

$$f(z_n)\to A.$$

9.3 极限的分量判别

若

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\qquad A=a+ib,$$

则

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=A$$

当且仅当

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a, \qquad \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b.$$

复函数极限的和、积、商法则与实函数相同，其中商的极限要求分母的极限不为零。

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10. 连续性与无穷远处的极限

10.1 连续性

定义（点处连续）
若 $f$ 在 $z_0\in D$ 处满足

$$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in D}}f(z)=f(z_0),$$

则称 $f$ 在 $z_0$ 处连续。

若 $f$ 在 $D$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

设 $f=u+iv$。函数 $f$ 在 $z_0$ 连续，当且仅当 $u,v$ 作为二元实函数都在 $(x_0,y_0)$ 连续。

连续函数的和、差、积仍连续；在分母不为零处，商也连续；连续函数的复合仍连续。

特别地：

• 多项式在整个 $\mathbb C$ 上连续；
• 有理函数在分母不为零的点连续；
• $z\mapsto\overline z$、$z\mapsto|z|$、$\operatorname{Re}z$、$\operatorname{Im}z$ 都在 $\mathbb C$ 上连续。

连续不等于复可导。例如共轭函数 $f(z)=\overline z$ 处处连续，但它在任何点都不复可导。

10.2 与无穷远有关的极限

定义

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty$$

是指对任意 $M>0$，存在 $\delta>0$，使

$$0<|z-z_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(z)|>M.$$

而

$$\lim_{z\to\infty}f(z)=A$$

是指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $R>0$，使

$$|z|>R \quad\Longrightarrow\quad |f(z)-A|<\varepsilon.$$

这两类极限可以通过变量替换 $w=1/z$ 化为有限点处的极限：

$$\lim_{z\to\infty}f(z)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{w\to0}f\left(\frac1w\right)=A.$$

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11. 概念速查

概念	记号或判定要点
共轭复数	$\overline z=x-iy$
模	$
辐角	$\arg z=\theta+2k\pi$，是多值的
主辐角	本文约定 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]$
三角形式	$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
指数形式	$z=re^{i\theta}$
扩充复平面	$\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$
区域	连通的开集
单连通区域	区域内闭曲线均可在区域内收缩为一点
复数列收敛	实部数列和虚部数列分别收敛
复函数极限	对所有趋近路径必须得到同一结果
连续	极限等于函数在该点的值

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12. 常见误区

12.1 虚部不是含有 $i$ 的项

若 $z=3-2i$，则

$$\operatorname{Im}z=-2,$$

而不是 $-2i$。

12.2 $\arg z$ 与 $\operatorname{Arg}z$ 不同

$\arg z$ 表示相差 $2k\pi$ 的全部辐角；$\operatorname{Arg}z$ 是选定区间中的一个主值。主辐角通常不满足无条件的普通加法：

$$\operatorname{Arg}(z_1z_2) \ne \operatorname{Arg}z_1+\operatorname{Arg}z_2$$

时有发生，右侧可能还需要加减 $2\pi$ 才回到主值区间。

12.3 共轭与倒数不可混淆

一般来说，

$$\frac1z\ne\overline z.$$

只有当 $|z|=1$ 时，才有 $1/z=\overline z$。

12.4 复数方根通常有多个值

方程 $z^n=w\ne0$ 有 $n$ 个不同的根。写 $\sqrt[n]{w}$ 时，如果没有指定分支，就不能把它当然地视为全平面上的单值连续函数。

12.5 无穷远点不是普通复数

$\infty\notin\mathbb C$。加入 $\infty$ 是为了得到扩充复平面，包含 $\infty$ 的运算也不是普通域运算，不定式仍然没有定义。

12.6 检查几条路径不能证明极限存在

沿不同路径得到不同极限足以否定极限；但沿有限条路径结果相同，只能提供线索，不能代替 $\varepsilon$-$\delta$ 证明或其他充分判据。

12.7 连续远弱于解析

复函数可以处处连续却处处不复可导。复可导要求差商对复平面中的所有趋近方向具有同一个极限。

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13. 本篇要点

1. 复数域把平面点与代数运算统一起来，但复数之间没有与域运算相容的大小顺序。
2. 共轭和模满足良好的代数性质，模同时给出复平面上的 Euclid 距离。
3. 非零复数可以写成三角形式或指数形式；乘法对应模相乘、辐角相加。
4. 非零复数的 $n$ 次方根共有 $n$ 个，均匀分布在同一个圆周上。
5. 扩充复平面把所有无穷远方向合并为一点，并可等同于 Riemann 球面。
6. 区域是连通开集；单连通区域直观上没有洞。
7. 复数列收敛等价于实部、虚部分别收敛，$\mathbb C$ 是完备的。
8. 复函数极限必须与趋近路径无关；连续性可以按实部和虚部分别判定。
9. 连续不保证复可导，复可导所需的额外结构将在下一篇展开。

下一篇将整理 复导数、解析函数、Cauchy–Riemann 方程、调和函数以及初等解析函数。

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参考教材

1. 钟玉泉，《复变函数论》，第 5 版，高等教育出版社。
2. 余家荣，《复变函数》，高等教育出版社。
3. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed.
4. James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th ed.
5. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.