数学分析 02：数列极限

数列极限是数学分析中第一个严格描述“无限接近”的概念，也是函数极限、连续、导数和积分的基础。

本文沿用上一篇的约定：

$$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\},\qquad \mathbb N_+=\{1,2,3,\ldots\}.$$

除非特别说明，本文中的数列均为实数列，并从 $n=1$ 开始编号。

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1. 数列与子列

1.1 数列

定义（数列）
从正整数集 $\mathbb N_+$ 到实数集 $\mathbb R$ 的映射

$$a:\mathbb N_+\to\mathbb R$$

称为实数列。通常把 $a(n)$ 记作 $a_n$，把整个数列记作

$$\{a_n\},\qquad a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$$

$a_n$ 称为数列的第 $n$ 项或通项。

数列可以从任意整数 $n_0$ 开始编号。增加、删除或修改有限个初始项，不会改变数列是否收敛以及收敛到哪个极限。

1.2 子列

定义（子列）
设 $\{n_k\}$ 是严格递增的正整数列，即

$$n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots.$$

从 $\{a_n\}$ 中依次取出

$$a_{n_1},a_{n_2},\ldots,a_{n_k},\ldots$$

所得数列 $\{a_{n_k}\}$ 称为 $\{a_n\}$ 的子列。

由于 $\{n_k\}$ 严格递增，所以必有

$$n_k\ge k,\qquad n_k\to+\infty.$$

子列保持原数列各项的先后顺序，但可以跳过任意多项。例如 $\{a_{2k}\}$ 和 $\{a_{2k-1}\}$ 分别是偶数项子列与奇数项子列。

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2. 数列极限

2.1 $\varepsilon$-$N$ 定义

定义（数列收敛）
设 $\{a_n\}$ 为实数列，$a\in\mathbb R$。若对任意 $\varepsilon>0$，都存在正整数 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，

$$|a_n-a|<\varepsilon,$$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，或称 $a$ 是 $\{a_n\}$ 的极限，记作

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a$$

或

$$a_n\to a\qquad(n\to\infty).$$

若不存在这样的实数 $a$，则称 $\{a_n\}$ 发散。

2.2 定义的直观解释

$\varepsilon$ 表示事先给定的任意误差，$N$ 表示为了达到该误差要求，需要舍去多少个初始项。定义可以改写为：

无论给定多小的邻域 $U(a,\varepsilon)$，数列从某一项开始的所有项都落在这个邻域内。

这里强调的是“从某项开始全部进入”，而不是“有无穷多项进入”。后者只足以说明可能存在收敛子列。

量词顺序必须是

$$\forall\varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb N_+,\quad \forall n\ge N.$$

$N$ 可以依赖于 $\varepsilon$，但不能依赖于 $n$。

2.3 例：证明型估计的基本形式

考虑

$$a_n=\frac1n.$$

为了使 $|a_n-0|<\varepsilon$，只需令 $n>1/\varepsilon$。因此可以取

$$N=\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1,$$

从而

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

这个例子体现了使用定义时的核心工作：把误差条件转化为对 $n$ 的下界。

2.4 极限的唯一性

定理（极限唯一性）
若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其极限唯一。

因此，一个数列不可能同时收敛于两个不同的实数。

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3. 收敛数列的基本性质

3.1 有界性

定理（收敛数列必有界）
若 $a_n\to a$，则存在 $M>0$，使得

$$|a_n|\le M,\qquad \forall n\in\mathbb N_+.$$

逆命题不成立。例如 $a_n=(-1)^n$ 有界，但不收敛。

3.2 保号性

定理（保号性）
若 $a_n\to a$ 且 $a>0$，则存在 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，

$$a_n>0.$$

更强地，可以取充分大的 $N$，使

$$a_n>\frac a2.$$

当 $a<0$ 时有相应的负号结论。

若所有充分大的 $n$ 都满足 $a_n\ge0$，且 $a_n\to a$，则只能推出 $a\ge0$，不能保证 $a>0$。

3.3 保序性

定理（极限的保序性）
若从某一项开始总有 $a_n\le b_n$，并且

$$a_n\to a,\qquad b_n\to b,$$

则

$$a\le b.$$

即使对每个 $n$ 都有 $a_n<b_n$，取极限后也可能只有 $a\le b$。例如

$$0<\frac1n,\qquad \lim_{n\to\infty}0=\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

3.4 四则运算

定理（极限的四则运算）
若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，$c\in\mathbb R$，则

$$\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b,$$ $$\lim_{n\to\infty}(c a_n)=ca,$$ $$\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=ab.$$

若 $b\ne0$，则从某一项开始 $b_n\ne0$，且

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab.$$

此外，

$$a_n\to a\quad\Longrightarrow\quad |a_n|\to|a|.$$

反向一般不成立。例如 $|(-1)^n|=1$，但 $\{(-1)^n\}$ 不收敛。

3.5 夹逼定理

定理（夹逼定理）
若从某一项开始有

$$a_n\le b_n\le c_n,$$

并且

$$\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}c_n =L,$$

则

$$\lim_{n\to\infty}b_n=L.$$

常用形式是：若

$$|b_n-L|\le c_n,\qquad c_n\to0,$$

则 $b_n\to L$。

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4. 无穷小量与无穷大量

4.1 无穷小量

定义（无穷小数列）
若

$$\lim_{n\to\infty}\alpha_n=0,$$

则称 $\{\alpha_n\}$ 为无穷小数列，简称无穷小量。

定理
数列 $a_n\to a$ 当且仅当

$$a_n=a+\alpha_n,$$

其中 $\alpha_n$ 是无穷小量。

运算性质

1. 有限个无穷小量之和仍是无穷小量；
2. 有界数列与无穷小量的乘积仍是无穷小量；
3. 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。

这里不能把“有限个”任意改成“无穷多个”。无穷多个量的求和需要级数理论。

4.2 无穷大量

定义（趋于正无穷）
若对任意 $M>0$，都存在 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，

$$a_n>M,$$

则称 $a_n$ 趋于正无穷，记作

$$a_n\to+\infty.$$

趋于负无穷 $a_n\to-\infty$ 类似定义。

定义（无穷大量）
若

$$|a_n|\to+\infty,$$

则称 $\{a_n\}$ 为无穷大量。

无穷大量不一定趋于正无穷或负无穷。例如 $a_n=(-1)^n n$ 满足 $|a_n|\to+\infty$，但符号不断变化。

符号 $+\infty$ 与 $-\infty$ 不是实数，所以“趋于无穷”不是实数范围内的收敛。

4.3 无穷小量与无穷大量的关系

定理

1. 若从某一项开始 $a_n\ne0$ 且 $|a_n|\to+\infty$，则 $1/a_n\to0$；
2. 若从某一项开始 $\alpha_n\ne0$ 且 $\alpha_n\to0$，则 $|1/\alpha_n|\to+\infty$；
3. 若 $a_n>0$ 且 $a_n\to0$，则 $1/a_n\to+\infty$。

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5. 单调数列与单调收敛定理

5.1 单调数列

定义

• 若对所有 $n$ 都有 $a_{n+1}\ge a_n$，则称 $\{a_n\}$ 单调增加；
• 若对所有 $n$ 都有 $a_{n+1}\le a_n$，则称 $\{a_n\}$ 单调减少；
• 把上述不等号换成严格不等号，分别得到严格增加与严格减少。

5.2 单调收敛定理

定理（单调收敛定理）

1. 单调增加且有上界的数列必收敛；
2. 单调减少且有下界的数列必收敛。

更准确地，

$$a_n\uparrow,\quad \{a_n\}\text{有上界} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb N_+\},$$ $$a_n\downarrow,\quad \{a_n\}\text{有下界} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb N_+\}.$$

因此，单调数列收敛当且仅当它有界。

5.3 典型例子

数列

$$a_n=1-\frac1n$$

单调增加且以 $1$ 为上界，所以

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)=1.$$

递推数列

$$x_1=\sqrt2,\qquad x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$

单调增加且以 $2$ 为上界，因此收敛；结合递推关系可得其极限为 $2$。

数列

$$\left(1+\frac1n\right)^n$$

单调增加且有上界，其极限用于定义自然常数 $e$：

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n.$$

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6. Cauchy 收敛准则

6.1 Cauchy 数列

定义（Cauchy 数列）
若对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $N\in\mathbb N_+$，使得当 $m,n\ge N$ 时，

$$|a_m-a_n|<\varepsilon,$$

则称 $\{a_n\}$ 为 Cauchy 数列。

Cauchy 条件不预先指定极限，而是要求充分靠后的任意两项彼此接近。

6.2 Cauchy 收敛准则

定理（Cauchy 收敛准则）
实数列 $\{a_n\}$ 收敛，当且仅当它是 Cauchy 数列。

定理
每个 Cauchy 数列都是有界数列。

Cauchy 准则依赖实数的完备性。在有理数域 $\mathbb Q$ 中，可以构造趋近 $\sqrt2$ 的有理 Cauchy 数列，但它在 $\mathbb Q$ 中没有极限。

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7. 子列与聚点

7.1 收敛数列的子列

定理
若 $a_n\to a$，则 $\{a_n\}$ 的每个子列都收敛于同一个极限 $a$：

$$a_{n_k}\to a.$$

因此，只要找到两个极限不同的收敛子列，就能判定原数列发散。

例如 $a_n=(-1)^n$ 有

$$a_{2k}=1,\qquad a_{2k-1}=-1.$$

两个子列的极限分别为 $1$ 和 $-1$，所以原数列发散。

7.2 聚点

定义（数列的聚点）
若存在子列 $\{a_{n_k}\}$ 使

$$a_{n_k}\to a,$$

则称 $a$ 为数列 $\{a_n\}$ 的一个聚点，也称子列极限。

7.3 Bolzano–Weierstrass 定理

定理（Bolzano–Weierstrass）
每个有界实数列都至少存在一个收敛子列。

因此：

• 收敛数列只有一个聚点，即其极限；
• 有界数列不一定收敛，但一定具有聚点；
• 无界数列也可能具有收敛子列，例如 $a_{2k}=0$、$a_{2k-1}=2k-1$。

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8. 上极限与下极限

设 $\{a_n\}$ 是有界实数列。定义尾部集合

$$A_n=\{a_k:k\ge n\},$$

并令

$$u_n=\sup A_n,\qquad \ell_n=\inf A_n.$$

数列 $\{u_n\}$ 单调减少，$\{\ell_n\}$ 单调增加，因此二者都收敛。

定义（上极限与下极限）

$$\limsup_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}u_n,$$ $$\liminf_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\ell_n.$$

定理

1. $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}a_n$；

2. 上极限是最大的子列极限；

3. 下极限是最小的子列极限；

4. 有界数列 $\{a_n\}$ 收敛，当且仅当

   $$\liminf_{n\to\infty}a_n =\limsup_{n\to\infty}a_n.$$

例如对 $a_n=(-1)^n$，

$$\limsup_{n\to\infty}a_n=1,\qquad \liminf_{n\to\infty}a_n=-1.$$

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9. 两个常用定理

9.1 Cesàro 平均定理

定理（Cesàro）
若 $a_n\to a$，则其算术平均数列

$$s_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$

也收敛于 $a$：

$$s_n\to a.$$

逆命题不成立。例如 $a_n=(-1)^n$ 不收敛，但其算术平均趋于 $0$。

由 $1/n\to0$ 和 Cesàro 定理可立即得到

$$\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1k\to0.$$

9.2 Stolz–Cesàro 定理

定理（Stolz–Cesàro）
设 $\{y_n\}$ 严格增加且 $y_n\to+\infty$。若极限

$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$$

存在，其中 $L$ 可以是有限实数或正负无穷，则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L.$$

这个定理是数列版本的“差分比求极限”，特别适合处理和式、阶乘、幂以及 $\infty/\infty$ 型数列。

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10. 常见数列极限

以下结论常作为计算其他极限的基础。

10.1 有理式

对同次数多项式之比，只需比较最高次项。例如

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2.$$

10.2 根式差

通过乘以共轭式，

$$\sqrt{n^2+n}-n =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} =\frac1{\sqrt{1+1/n}+1},$$

所以

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12.$$

10.3 几何数列

若 $|q|<1$，则

$$\lim_{n\to\infty}q^n=0.$$

若 $q>1$，则 $q^n\to+\infty$；若 $q=-1$，则 $q^n$ 发散。

10.4 $n$ 次根

若 $a>0$，则

$$\lim_{n\to\infty}a^{1/n}=1.$$

特别地，

$$\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1.$$

10.5 指数函数压倒幂函数

若 $p>0$ 且 $|q|<1$，则

$$\lim_{n\to\infty}n^p q^n=0.$$

等价地，若 $a>1$，则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{a^n}=0.$$

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11. 判定方法速查

已知条件或结构	优先考虑的方法
能直接控制 $\lvert a_n-a\rvert$	$\varepsilon$-$N$ 定义
和、差、积、商	极限的四则运算
变量夹在两个同极限数列之间	夹逼定理
递推数列或能判断单调性	单调有界定理
不知道候选极限	Cauchy 收敛准则
怀疑数列振荡发散	构造极限不同的子列
平均值或前 $n$ 项和	Cesàro 或 Stolz–Cesàro
有界但不一定收敛	聚点、上极限与下极限

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12. 常见误区

12.1 有界不等于收敛

收敛数列一定有界，但有界数列未必收敛。$(-1)^n$ 是最基本的反例。

12.2 无界不等于趋于无穷

数列

$$a_{2k}=0,\qquad a_{2k-1}=2k-1$$

无界，但既不趋于 $+\infty$，也不趋于 $-\infty$。

12.3 相邻两项之差趋于零不保证收敛

例如

$$a_n=\sqrt n$$

满足 $a_{n+1}-a_n\to0$，但 $a_n\to+\infty$。

12.4 相邻两项之比趋于一不保证收敛

例如

$$\frac{n+1}{n}\to1,$$

但数列 $a_n=n$ 发散到正无穷。

12.5 存在收敛子列不保证原数列收敛

数列 $(-1)^n$ 有两个收敛子列，但原数列不收敛。只有当原数列本身收敛时，其所有子列才必然收敛于同一极限。

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13. 本篇要点

1. $\varepsilon$-$N$ 定义要求数列从某一项开始全部落入极限的任意邻域。
2. 收敛数列的极限唯一，并且收敛数列一定有界。
3. 四则运算、夹逼定理和保序性是计算与比较极限的基础。
4. 单调有界定理把实数的确界性质转化为数列收敛性。
5. Cauchy 准则刻画了实数系的完备性。
6. 子列是研究振荡、发散和聚点的主要工具。
7. Bolzano–Weierstrass 定理保证有界数列必有收敛子列。
8. 上极限与下极限描述有界数列的长期振荡范围。
9. Cesàro 与 Stolz–Cesàro 定理适合处理平均值、和式与差分比。

下一篇将整理函数极限的定义、单侧极限、无穷远处的极限及函数极限的基本性质。

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参考教材

1. 华东师范大学数学系，《数学分析（上册）》，高等教育出版社。
2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
3. Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed.
4. Terence Tao, Analysis I, 4th ed.