有限差分格式的精度分析

对一阶导数 $f'(x)$ 的数值逼近是有限差分方法的核心。本文从 Taylor 展开出发，分析三种基本差分格式的截断误差，并通过数值实验直观展示不同格式的收敛速度差异。

差分格式的定义

令 $h > 0$ 为步长，在点 $x$ 处定义：

\begin{aligned} \text{向前差分：}\quad D_+ f(x) &= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[4pt] \text{向后差分：}\quad D_- f(x) &= \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\[4pt] \text{中心差分：}\quad D_0 f(x) &= \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{aligned}

将 $f(x+h)$ 在 $x$ 处作 Taylor 展开：

f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \frac{h^3}{6} f'''(\xi_+)

代入向前差分的定义：

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \frac{h}{2} f''(x) + O(h^2)

因此，向前差分的截断误差为：

\tau_+ = \left| D_+ f(x) - f'(x) \right| = \frac{h}{2} |f''(x)| + O(h^2) = O(h)

该格式具有 一阶精度。

类似地，将 $f(x-h)$ 展开：

f(x-h) = f(x) - h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) - \frac{h^3}{6} f'''(\xi_-)

得到：

\tau_- = \left| D_- f(x) - f'(x) \right| = \frac{h}{2} |f''(x)| + O(h^2) = O(h)

向后差分同样具有 一阶精度。

将 $f(x+h)$ 与 $f(x-h)$ 的展开式相减：

f(x+h) - f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{2h^3}{6} f'''(x) + O(h^5)

整理得：

\tau_0 = \left| D_0 f(x) - f'(x) \right| = \frac{h^2}{6} |f'''(x)| + O(h^4) = O(h^2)

中心差分格式具有 二阶精度，收敛速度远快于单侧差分。

对于具有足够光滑性的函数 $f$ ，当步长 $h \to 0$ 时，误差与 $h$ 满足幂律关系：

\log(\text{error}) \approx C + p \cdot \log(h)

其中 $p$ 即为收敛阶。在双对数坐标系下，误差曲线的斜率即为 $p$ 。

实验提示： 在下方实验区选择测试函数，观察不同差分格式在双对数图（ $\log h$ vs $\log$ error）中的表现。向前/向后差分的斜率约为 $1$ ，中心差分的斜率约为 $2$ 。